由三角形投影问题再探椭圆面积

椭圆面积公式S=πab,其中π为圆周率,a、b分别是椭圆半短轴、半长轴的长.关于椭圆面积公式的证法有多种,文献[1]利用仿射变换与仿射不变量推导出椭圆面积公式,文献[2]通过对单位正方形的拉伸(压缩)变换前后面积关系的讨论,给出了椭圆面积公式的又一证法.文献[3]利用初等数学的方法,推导出椭圆面积的计算公式.本文利用投影和定积分知识相结合的方法,给出了任意曲边形面积公式,进而给出椭圆面积公式的一种新的证法.     

一道初三课外练习题的多种证明和拓展

<正>贵刊2018年9月下(初中版)课外练习及参考答案初三年级第3题.如图1,正方形ABCD内接于⊙O,点P为劣弧AD上一点.求证:PB²-PD2-PD²=2PA·PC.本题是正方形中一道典型问题,有多种证法,由于结论是含端点相同的线段的二次齐次式,可以拓展.一、原练习题的多种证法为使多种证法简洁,我们把在多种证法中反复应用的结论,先给出证明,在多种证法中     

漫谈正方形

正方形和其它数学问题的关系,历来都是数学爱好者感兴趣的问题。著名的“几何三大难题”,其中一个就是求作一正方形,使它的面积等于一己知圆的面积.这个化圆为方的古典难题,经过二千多年来很多学者的研究、争论,于1982年,林德曼证明π是超越数后,才肯定尺规作图化圆为方是不行的。关于正方形与中学数学中某些问题的关系,是非常有趣的问题。本文就正方形与无理数2~(1/2)、数列、勾股定理,黄金分割,三等分角线、极值等有关的几个例题作一些介绍。上述的几个方面与正方形有些联系是不足为奇的。正方形的代数表达式是a~2,因此,许多涉及到平方数的问题可以联系正方形。例如1+3+5+7+…+(2n-1)=1/2n〔1+2n一1〕=n~2.故可用正方形表其结果(如图2)。正方形又是计量单位,不但a~2能与之联系,就是代数式ab亦能与正方形联系。例如商高定理的古老证法之一就是如此。如图1。正方形还是矩     

勾股定理变式在中考中的应用

著名的古希腊数学家欧几里得在其巨著《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明,证法如下: 如图1,分别以Rt△BC的直角边AB、AC及斜边BC为边向外作正方形ABFG、正方形ACKH和正方形BCED,连结CF、AD,作AL上DE分别交BC、DE于点M、L. 显然,四边形BDLM和四边形MLEC都是矩形,△ABD(S=)△FBC,∴S△ABD=S△FBC, 而S矩形BDLM=2S△ABD,S正方形ABFG=2S△FBC, ∴S矩形肋LM=S正方形ABFG.同理有S矩形MLEC=S正方形ACHK, ∴S正方形ABFG+S正方形ACHK=S矩形BDLM+S矩形MLEC=S正方形BCED,即AB2 +AC2=BC2.     

勾股定理一种证法及其在教学中的价值

勾股定理一种证法及其在教学中的价值哈家定（山东省济宁教育学院２７２１３７）我们知道，勾股定理的直观意义是：直角三角形中分别以直角边为一边的两个正方形面积合在一起恰好填满以斜边为一边的正方形．其直观性在于“填满”．但由于两个正方形难以合成一个正方形，因...     

由三角形投影问题再探椭圆面积

椭圆面积公式S=πab，其中π为圆周率，α、b分别是椭圆半短轴、半长轴的长．关于椭圆面积公式的证法有多种，文献[1]利用仿射变换与仿射不变量推导出椭圆面积公式，文献[2]通过对单位正方形的拉伸（压缩）变换前后面积关系的讨论，给出了椭圆面积公式的又一证法．文献[3]利用初等数学的方法，推导出椭圆面积的计算公式．本文利用投...     

一道例题的证明和拓展

<正>《中学生数学》2019年7月下(初中版)刊登周春荔教授专题讲座《等积变形与面积问题》其中例2:如图1,在△ABC的两边AB,AC上分别作正方形ACGH,BAFE.延长BC边上的高线AD交FH于点M.求证:MH=MF.周教授用面积方法给出巧妙的证明,简洁、干净、利落,妙不可言.本题是传统经典几何题,还有多种证法,笔者给出几种证明,证明的目的是为拓展本题开辟思路.     

一道正方形习题的证明与变式

<正>题目如图1,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形(两正方形边长不等),点G在边DC上,连接AF、DE.试证明AF=2^(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF²=AH2=AH²+HF2+HF²,因     

一道常见题的证明、一般化和拓展

<正>1问题呈现已知如图1,O是正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,分别交AB,AC与点E,G.求证:OG=1/2BE.本题的一种证法是应用梅涅劳斯定理,即如图1,△ABO被直线ED所截,     

整体思维 简求面积

贵刊 2 0 0 2年第 7期刊登了两篇关于求阴影面积的文章 .可谓思路新颖 ,方法独特 ,值得学习和借鉴 .对于某些阴影面积的问题 ,运用整体思维 ,可以简便地得到解答 ,现以上述两篇文章中的部分例题为例 ,加以说明 .图 1如图 1 ,ＡＢＣＤ是边长为ａ的正方形 ,分别以各顶点为圆心 ,以对角线的一半为半径作弧 ,交成图中的阴影部分 ,求阴影部分的面积 .分析　阴影部分为四个全等扇形的重叠部分 ,且四个扇形围成一个正方形 ,由图可知Ｓ阴影 =4Ｓ扇形ＡＥＦ-Ｓ正方形ＡＢＣＤ.图 2如图 2 ,已知边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,分别以正方形的各…     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;     

对一道竞赛题的变式探究

<正>试题(1991年全国初中数学联赛)如图1,正方形OPQR内接于△ABC.已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1,S2=3和S3=1.那么正方形OPQR的边长是().(A)21/2(B)31/2(C)2(D)3解析设正方形OPQR的边长是x,过A作AD⊥BC,垂足为D,AD交OR于点E,则     

一道中考题的解答探究

<正>1.题目呈现(2015年江苏泰州第25题)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH面积的最小值.2.解法探究本题的第(1)问是正方形性质和判定相结合的一道题目.证明的思路可以先证明四边形     

细微之处显提升,拓展之后见高度

题目如图1,平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度.正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线l1和l4上,该正方形的面积是平方单位.     

等腰梯形的正方形平行覆盖（英文）

设I是底边长为1和2,高为3~(1/2)/2的等腰梯形.假设S_1,S_2,…是正方形S的位似拷贝.本文研究了用正方形序列{S_n}平行覆盖等腰梯形I的问题,证明了对于任意正方形序列,若其正方形面积之和不小于4,则该正方形序列能平行覆盖等腰梯形I.     

扇形内的内接正方形

1　引言《数学通报》2 0 0 2年第 11期问题 14 0 5如下 :问题 14 0 5 [1] 在半径为 1,圆心角为α(0 <α <π2 )的扇形铁皮中剪出一块面积尽量大的正方形有甲、乙两种方案 (如图 1) .按哪种方案剪出的正方形面积最大 ,为什么 ?图 1《数学通报》2 0 0 2年第 12期上刊登了问题设计者提供的解答 .得出结论 :当 0 <α<π6 时 ,按乙种方案剪取所得的正方形面积较大 ;当α=π6 时 ,两种方案剪取所得的面积相等 ;当 π6 <α<π2 时 ,按甲种方案剪取所得的正方形的面积较大 .由于解答中正方形的边长是用三角函数表示的 ,实际操作时无法准确剪出欲求正…     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

帮你认识2~(1/2)

你认识2~(1/2)吗?1.2~(1/2)的代数意义:2~(1/2)是2的算术平方根;2.2~(1/2)的几何意义:将边长为4的正方形纸片的四个角向中心对折,如右图.阴影部分的正方形的面积为2.由此得到:2~(1/2)是面积为2的正方形的边长;是边长为1的正方形的对角线.3.2~(1/2)的值是多少呢?我们做如下的探讨.(1)因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来越大,所以2~(1/2)大于1而小于2;     

数的开方教与学

第1课 平方根(一) 一、启发提问 1.如果正方形铁皮的边长为2米,那么它的面积是__;如果正方形展厅的面积是50平方米,那么它的边长是__。 2.已知一个数的平方为4,那么这个数是__;一个数的平方为9/16,这个数是__。     

一道中考题的“进化”——“相似三角形的复习”

中考题(2010山东东营-24)如图1,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长; (2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于.x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.