浅谈二项式定理的基本应用

二项式定理实际上是初中学习的多项式乘法的继续,是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,与概率理论中的二项分布有其内在联系,是学习概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识,二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数的认识．下面我就二项式定理的应用谈几个问题：     

排列、组合和概率排列、组合和概率

1　本单元重、难点分析本单元重点知识有排列与组合、二项式系数、等可能性事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件等概念 ;排列数与组合数公式 ,二项式定理及其通项公式 ,各类事件的概率计算公式 ;组合数的性质及二项式系数的性质等 .求解排列组合问题的重要方法有分类求和、逆向思考、先选后排、特元优先、捆绑法、插空法、枚举法及二项展开式中的赋值法等 .本单元难点是关于排列、组合与概率的应用问题、二项式定理的应用、含排列数或组合数的证明或求解等 .学好本单元知识 ,对解决一些实际问题的计算以及对进一步学习概率与统计等内容…     

用二项式定理证明幂不等式的六种情形

有关幂不等式的证明方面的资料较少见 ,现本文通过应用二项式定理 ,同时配以证明不等式的一些方法、技巧 ,可以解决证明幂不等式问题 .今按其操作先后顺序 ,作出分类举例说明 .1　先用二项式定理 ,后用放缩法例 1　求证 :2≤ ( 1 1ｎ) ｎ<3(ｎ∈Ｎ) .证　∵ｎ =1时 ,( 1 1ｎ) ｎ=2 ;ｎ >1时 ,( 1 1ｎ) ｎ=2 Ｃ2 ｎ·1ｎ2 Ｃ3 ｎ·1ｎ3 … >2 .∴ ( 1 1ｎ) ｎ≥ 2 .又∵ ( 1 1ｎ) ｎ=Ｃ0ｎ Ｃ1ｎ·1ｎ Ｃ2 ｎ·1ｎ2 … Ｃｎｎ·1ｎｎ =1 1 ｎ(ｎ - 1 )2 !·1ｎ2 ｎ(ｎ - 1 ) (ｎ - 2 )3!·1ｎ3 … 1ｎ !·( 1 - 1ｎ) (…     

§5.二项式定理(第一课时)

1 教学分析本节课是北师大版高中数学(选修2-3)第一章(计数原理),主要内容是二项式定理及其运用.它是初中多项式乘法公式的推广,研究的是一类特殊多项式——二项式乘方的展开式.通过本节的探究学习,不仅强化了之前刚学的组合等知识,也为学习后面概率中的二项分布做了很好的铺垫,具有承上启下的作用.本节知识具有较高的应用价值和思维训练价值,所以,教学中既要关注二项式定理的结果,也要关注学生对定理的探索发现过程和证明思路的分析过程,努力营造学生自主探究的情境,发挥他们的自主精神,尽力引导学生的发现和创新意识,使他们能在再创造的氛学习.     

2001年全国各地高考数学模拟试题评析——排列、组合、二项式定理

排列、组合、二项式定理在高考中虽然所占比例不大 ,8— 10分 ,但它是近代组合数学、概率统计的基础 ,因而它是高考每年必考内容这一 ,每年一至两题 .着重考察学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学应用意识与实践能力 .在过去十多年内 ,这部分内容一直是以选择填空题出现 ,排列组合与二项式定理各占一道 .但是值得注意的是在 2 0 0 1年的高考试题中却以解答题形式出现 ,并且所占比例有所增加 .作为每年一道的排列组合试题大多以应用题形式出现 ,并且具有融知识性与趣味性、能力型与应用性于一体 ,小、巧、新、活的特点 ,在复习本节内容时…     

如何求三项展开式的项

二项式定理一节中,常遇到求三项式(ａ ｂ ｃ)ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式的项.求解方法主要是转化为二项式利用二项式定理展开或用组合观点直接求解.例题　求(1 2ｘ-3ｘ2)6展开式中ｘ5的系数.解法1　(1 2ｘ-3ｘ2)6=[1 (2ｘ-3ｘ2)]6的一般项可写成Ｔｋ 1=Ｃｋ6(2ｘ-3ｘ2)ｋ,ｋ=0,1,2,…,6.又(2ｘ-3ｘ2)ｋ的一般项可写成Ｔｒ 1=Ｃｒｋ·(2ｘ)ｋ-ｒ·(-3ｘ2)ｒ=Ｃｒｋ·2ｋ-ｒ·(-3)ｒ·ｘｋ ｒ,ｒ=0,1,…,ｋ.所以原式展开式的一般项为Ｃｋ6Ｃｒｋ(-3)ｒ·2ｋ-ｒ·ｘｋ ｒ.欲求ｘ5的系数,则ｋ ｒ=5即ｋ=5-ｒ.∵ｒ≤ｋ,所以当ｋ值是5,4,3时,对应的ｒ=0,1…     

2002年全国各地高考数学模拟试题选析——排列、组合、二项式定理

排列、组合是学习概率的基础 ,二项式定理与高等数学的知识有关 ,因而每年高考对本单元知识点的考查没有遗漏 .对它的考查 ,占高考全卷总分比率为 6 % ,在过去十多年内 ,这部分内容大多是以选择、填空题出现 ,排列组合与二项式定理各占一道 ,但是近两年高考试题中 (如 2 0 0 1年全国高考 ,2 0 0 2年上海高考 )却以解答题出现 ,并且所占比例有所增加 .高考对这部分内容要求的特点是基础和全面 .作为每年一道的排列组合试题大多以应用题的面孔出现 .从形式上看有以下几种为最常见 :数字问题 ,人或物的排列问题 ,几何问题 ,选代表或选样品的问…     

一道令人深思和回味的高考题——2001年高考理科数学第（20）题评析

20 0 1年高考理科数学第 (2 0 )题是一道难题 ,也是一道好题 !说其难 ,是指相当多的学生在考试时面对该题 ,茫然无措 ,一头雾水 .待到考试后查对答案估分时 ,又突然恍然大悟 ,同时追悔莫及 !说其好 ,是指该题综合性强 ,有效融入了排列、组合、二项式定理、不等式等知识 ,深刻地考察了学生的逻辑思维能力和应变能力 ,做到了在知识网络的交汇点上设计问题 ,体现了高考改革的命题方向 .例 1　 (2 0 0 1年高考理科第 (2 0 )题 )已知ｉ,ｍ ,ｎ是正整数 ,且 1<ｉ≤ｍ <ｎ .1)证明 :ｎｉＰｉｍ<ｍｉＰｉｎ;2 )证明 :(1 ｍ) ｎ>(1 ｎ) ｍ.解　 1)需…     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

数学竞赛中的二项式问题

可能是考虑到教学进度的原因 ,在国内的中学生数学竞赛中 ,与二项式有关的试题比较少 ,但也时有出现 .还有些竞赛题虽不明显属于二项式的范围 ,但运用二项式定理可以巧妙地加以解决 .对于二项式定理 ,应熟练掌握以下三个方面的内容 :1) (a +b) n(n∈N )的展开式的通项公式为Tr+ 1 =Crnan-rbr.2 ) (a +b) n=∑nr =0Crnan -rbr 的逆向应用 .3)二项式系数的两个性质 .构造二项式解题 ,是对二项式定理高层次的应用 ,关键在于发现所给问题与二项式的联系 ,常用于组合数求和、不等式证明、数的整除性、判断数的特征等 .例 1　已知 ( 3 x + 2x) n…     

二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

二元齐次对称多项式与二项式定理

对称多项式是高等代数的基本内容之一。本文从对称多项式的基本理论出发,首先介绍二项式定理的一个等价公式,接着推证出二项式定理的又一个新的等价公式,然后给出它们的一些应用、并推广之。§1.二项式定理的两个等价公式 1.第一等价公式多项式f(a,b)=a~n+b~n是关于a,b的二元对称多项式。根据对称多项式的基本理论,一定可以找到它的初等表达式(指初等对称多项式a+b和ab的多项式,下同)。事实上,著作[2]已经将它找到:     

关于2^m的末位数字问题的探讨

1　问题的由来本人曾于 1 998年在贵刊第 1 0期提出数学问题 1 1 56题并解答 ,其中利用了“2 ｋ· 2 50 0 ≡ 2 ｋ,及(2 50 0 ) ｍ ≡ 2 50 0 ≡ 9376(ｍｏｄ1 0 4 )”这个结论 .现研究探讨发现下面的更一般的结论 .2　定理定理　当 2 ｍ 具有 2 4 ×5ｎ 的形式时 (ｍ ,ｎ为正整数 ) ,则 (2 4 ×5ｎ- 1 )·2 ｋ ≡ 0 ,即 2 4 ×5ｎ· 2 ｋ ≡ 2 ｋ 及(2 4×5ｎ) ｔ ≡ 2 4×5ｎ(ｍｏｄ1 0 ｎ 1 ,ｋ≥ｎ 1 ,ｋ ,ｔ为正整数 )证明(1 )当ｎ=1时 ,2 2 0 =(2 1 0 ) 2 =(1 0 3 2 4 ) 2 ≡2 4 2 ≡ 76∴ (2 2 0 - 1 ) · 2 ｋ ≡ 3× 52 · 2 ｋ …     

组合数求和的九种途径

1　逆向运用二项式定理求和例1　求和Ｓ1=3ｎ 3ｎ-1Ｃ1ｎ 3ｎ-2Ｃ2ｎ … 3Ｃｎ-1ｎ Ｃｎｎ.解　由二项式定理,易见Ｓ1=(3 1)ｎ=4ｎ.例2　求和Ｓ2=1-2Ｃ1ｎ 4Ｃ2ｎ-… (-2)ｎＣｎｎ.解　逆向运用二项式定理,易见Ｓ2=(1-2)ｎ=(-1)ｎ.2　利用Ｃ0ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2ｎ … Ｃｎｎ=2ｎ及Ｃ0ｎ Ｃ2ｎ Ｃ4ｎ …=Ｃ1ｎ Ｃ3ｎ Ｃ5ｎ …=2ｎ-1求和.例3　求和Ｓ3=2Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ 2Ｃ22ｎ Ｃ32ｎ … Ｃ2ｎ-12ｎ 2Ｃ2ｎ2ｎ.解　Ｓ3=(Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ) (Ｃ02ｎ Ｃ22ｎ Ｃ42ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ)=22ｎ 22ｎ-1=3·22ｎ-1.3　倒序求和法例4　求和Ｓ4=Ｃ0ｎ 2Ｃ1…     

注重内容前后衔接 促进知识逻辑生长——以“二项式定理”的教学为例

本文以“二项式定理”的教学为例,从宏观和微观两个角度出发,厘清本节内容在不同学段的学习要求,详细分析本节知识发生逻辑及教与学的矛盾,找到适合学生的“逻辑生长点”.同时,在基于逻辑生长的教学设计中通过提出合理问题,打破学生常见思维定势,激发学生主动求知,并通过“先异后同”的推导思路证明二项式定理,以取得更好的教学效果.     

上期课外练习参考解答

高一年级 1.设该等比数列为x1,x2,…,x10.公比为q. 则由等比数列的性质得 x1·x10=x2·x9=x3·x8=x4·x7=xx5·x6. 由已知x1=1,由韦达定理知, 即. 由韦达定理得     

对教材中一道习题的研究性学习

1　背景材料试验教材第三册 (限选·理科 )第一章《概率与统计》第一节内容是“离散型随机变量的分布列” .本节在引入了离散型随机变量的分布列之后 ,重点研究了二项分布 .习题 1.1配置了有关题目 ,其中第 7题标记了 号 .原题如下 :如果 ξ～Ｂ 2 0 ,13,求使Ｐ(ξ =ｋ)取得最大值的ｋ的值 .一般地 ,如果 ξ～Ｂ(ｎ ,ｐ) ,其中 0 <ｐ <1,讨论当ｋ由 0增加到ｎ时 ,Ｐ(ξ =ｋ)的变化情况 .ｋ取什么值时 ,Ｐ(ξ =ｋ)取最大值 ?该题有一定难度 ,在讲述完概率部分后 ,专门拿出一节课来师生共同研究 .2　教学对象高二学生 (程度较好 )3　教学过程…     

次线性期望下的一般中心极限定理

受Peng-中心极限定理的启发,本文主要应用G-正态分布的概念,放宽Peng-中心极限定理的条件,在次线性期望下得到形式更为一般的中心极限定理.首先,将均值条件E[X_n]=ε[X_n]=0放宽为|E[X_n]|+|ε[X_n]|=O(1/n);其次,应用随机变量截断的方法,放宽随机变量的2阶矩与2+δ阶矩条件;最后,将该定理的Peng-独立性条件进行放宽,得到卷积独立随机变量的中心极限定理.     

非线性弹性杆中孤波的演变

1.基本方程非线性弹性杆内的纵向应变波的广义Korteweg-de Vries-Burgers方程为(1·1)为了明确起见,本文研究n=2的硬非线性材料(软非线性材料μ<0仿此处理)情形,此时μ>0.作变换x→(6μ)~(1/2)x,t→6(6μ)~(1/2)t,u→-u,(1·1)变为(1·2)其中ε=(6/μ)~(1/2)δ,方程(1·1)与(1·2)右端项为粘弹性阻尼的贡献,右端第三项来自横向惯性所引起的应力.当忽略耗散时,ε=0,(1·2)就是通常的KdV方程,此时杆内有纵向传播的稳定孤波.本文研究当耗散较小(ε<<1),但不可忽略时,它对应变孤波运动的影响,此时(1·2)看作是含微扰的KdV方程.     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…