具有代数精度的降维展开式与边界型求积公式

在著作[1]中曾研究了高维积分的边界型求积公式的构造法.本文主要研究具有代数精度的边界型求积公式的构造问题,针对较为一般类型的积分区域,我们给出了具有指定代数精度的边界型求积公式的一股构造原则,其中应用了具有较高代数精度的降维展开式,並对降维展开式的余项给出了估计.     

不带微商的边界型求积公式

本文在不带微商项的条件下,对一些特殊区域构造了具有最高代数精确度的边界型求积公式。还对某些较广泛的区域解决了构造3次边界型或非边界型求积公式的“最少结点数”的问题。 首先,我们在立方体区域上将Sadowsky的42点5次边界型求积公式的结点个数减少到32点,并证明了要构造立方体区域上的5次边界型对称求积公式,结点个数不能少于32。文中还构造出n维双层球壳区域上具有最高(3次)代数精度和最少结点个数((2n+2)点)的边界型求积公式。因此,[5]中构造出的3维双层球壳区域上的8点3次边界型求积公式是“最少结点数”的求积公式。最后,证明了对于2维、3维轴对称区域(即关于所有坐标轴都对称的区域)构造3次求积公式,至少分别用到4个和6个结点。对于n维球域构造3次求积公式至少要用到2n个结点。 本文出现的求积公式都是不带微商项的。     

球域上的某种意义下的最佳求积公式

关于高维球域上的求积公式,美国的Stroud曾利用代数方法构造了“乘积型求积公式”(见[1])。所谓区域R_n上的求积公式为“乘积型公式”,意即它是由n次迭加一维求积公式所产生的公式。这种公式所用结点个数随着维数的增大而迅速增大,所以对于大维数的积分不宜去构造“乘积型求积公式”。本文应用[2]中给出的矩形域、立方域上的最佳边界型求积公式,给出构造球域上求积公式的一种方法。这种方法的优点是对n维球域的求积公式,只须用一个n-1维的边界型求积公式和一个一维求积公式     

Cotes数值求积公式的校正

本文研究了Cotes数值求积公式代数精度的问题,给出了Cotes求积公式余项"中间点"的渐进性定理.利用该定理得到了改进的Cotes求积公式,并证明了改进后的Cotes求积公式比原来的公式具有较高的代数精度.     

构造边界型求积公式的代数方法

众所周知,在被积函数具有连续性时,可以用代数方法构造不带微商项的边界型求积公式。但是这类公式的代数精度均有无法超越的先天界限,所以对低度光滑的被积函数(比如说具有一阶连续可微性)而言,构造这类边界型公式不能充分利用被积函数光滑性的条件,因而所得求积公式的代数精度较低,且一般无法再提高。另外,由于被积函数的光滑程度较低,用降维法构造边界型求积公式也不太适宜。在此种情况下,我们提出用代数方法构造带有一阶微商项的边界型求积公式。这类公式保留了简洁的特点,而且它的代数精度突破了不带微商的同类公式的先天界限。构造这类公式的基本原则仍然是     

一类轴对称平面域上的求积公式

§1 引 言 设二维区域Ω,权函数p(x,y)0,(x,y)∈Ω。寻求以下的求积公式 y≈sum from j=1 to N(c_j(x_j,y_j)), (1.1)使其具有m次代数精度而结点数N为最小,其中c_j为权系数,(x_j,y_j)为结点,j=1,2,…N。我们称具有这种性质的求积公式为具有m次代数精度的最少结点求积公式,简称为最少结点求积公式。 研究各种求积公式中结点数下界,以及构造出各种区域上最少结点求积公式是很有意义的问题。由于求积公式的结点数下界对于固定的代数精度而言,是随积分区域而变化的。因此,只能对各种具体的区域来研究结点数下界的问题。例如和H.Moller     

一类高维沙德意义下的最佳求积公式

Schoenberg,I.J.证明了由一元自然样条插值得到的求积公式和沙德意义下最佳求积公式是一致的。后者是指在具有同样代数精度的求积公式中其余项的皮亚诺核最小者。从而样条插值型求积公式是定积分在一定意义下的最佳逼近。李岳生教授提出了一类多元     

插值型求积公式的代数精度

借助于勒让德多项式的零点性质,证明了N阶插值型求积公式的代数精度可取N到2 N+1之间的任意整数值,计算得到了两点插值型求积公式的代数精度与求积节点位置的关系.简化了[1]中关于3次代数精度的条件的讨论.     

含Cauchy核奇异积分高精度求积公式

用分离奇异性方法构造了具有高代数精度的含Cauchy核奇异积分的Gauss-Kronrod求积公式,给出了计算求积系数的简洁方法和表达式,导出了求积公式余项表达式.对求积公式在计算机上用Matlab编程进行了数值实验,数值实验结果与理论分析一致.     

关于Euler-Maclaurin公式的一个注记

利用梯形公式的余项,将被积函数的二阶导数做幂级数展开,证明了余项是关于求积区间长度的奇数次幂级数.推导出了复合梯形公式的一类渐近展开式,从另一方面印证了Euler-Maclaurin公式.     

一类Gauss-Jacobi数值求积公式的极限性质

讨论了形如∫aa+h(x-a)βf(x)dx的Gauss-Jacobi求积公式,当积分区间长度趋向于零时,确定了求积公式的余项中介点η的渐近性,并给出了校正公式,比原公式提高了两次代数精度.此外,本文的结论包含了文[3]的结果.     

二维带边界偏导数值的复化数值积分公式

构建了一类二维带边界偏导数值的复化数值积分公式,给出了所建立的两种数值积分公式的稳定性分析、误差分析和代数精度.与二维复化四点高斯数值积分公式相对比,所建立的带边界偏导数值的复化梯形、复化辛普森求积公式在达到相同精度时所需积分节点大大减少,积分的时间复杂度也随之大大减少,实例验证结果良好.     

带重结点的H_m~T(θ)型求积公式

本文讨论了2π周期函数的正常积分带重结点的具有最大三角精度m-1的HTm(θ)型求积公式;当结点组取定后,得到了求积公式具体的型,并且构造出HTm(θ)型求积公式.     

数值积分的计算复杂性

本文研究Smale仅开了个头的关于数值积分的计算复杂性.就具有k—1次代数精度的一般求积泛函,求得了其复化求积公式在空间(?)的平均误差.本文所用的运算方法,对于其它的线性逼近也许都是有用的.     

一种确定求积公式误差最优估计的简单方法

利用求积公式代数精度的概念,给出一种确定Newton-Cotes和Hermite插值型求积公式截断误差最优估计的简单方法,并通过实例验证其有效性.     

基于Thiele型连分式的数值积分

基于Thiele型连分式构造求积公式,这类求积公式能再生由Thiele型连分式前三项渐近式的线性组合所表示的任意有理函数,接着算出求积余项,并推导出分母在给定区间上无零点的充分条件.更进一步,通过等分给定区间,构造相应的复化求积公式,并算出求积余项.研究表明,在若干条件满足的前提下,复化求积公式序列能一致收敛于积分真值,一些数值算例说明了这一点.     

关于Gauss-Turán求积公式的注记

1.引言 设w(x)是区间[-1,1]上的权函数,N是自然数集,X1,…,Xn(n∈N)是对应于权函数w(x)的n次正交多项式的零点,则具有最高代数精度2n-1,其中Πn表示所有次数≤n的多项式空间. 1950年,Turan[1]将上述经典的Gauss求积公式予以推广,证明了,若     

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式

该文将研究二维分数阶发展型方程的正式的二阶向后微分公式(BDF)的交替方向隐式(ADI)紧致差分格式.在时间方向上用二阶向后微分公式离散一阶时间导数,积分项用二阶卷积求积公式近似,在空间方向上用四阶精度的紧致差分离散二阶空间导数得到全离散紧致差分格式.基于与卷积求积相对应的实二次型的非负性,利用能量方法研究了差分格式的稳定性和收敛性,理论结果表明紧致差分格式的收敛阶为O(k~(a+1)+h_1~4+h_2~4),其中k为时间步长,h_1和h_2分别是空间x和y方向的步长.最后,数值算例验证了理论分析的正确性.     

带重结点的HTm(θ)型求积公式

本文讨论了2π周期函数的正常积分带重结点的具有最大三角精度m-1的HTm（θ）型求积公式;当结点组取定后，得到了求积公式具体的型，并且构造出HTm（θ）型求积公式.     

基于连分式与Newton-Padé逼近的数值积分

首先利用Newton-Pade表中部分序列推导出连分式,提出逆差商算法,算出关于高阶导数与高阶差商的连分式插值余项.接着,构造基于此类连分式的有理求积公式与相应的复化求积公式,算出相应的求积余项,研究表明,在一定条件下,求积公式序列一致收敛于积分真值.然后,为保证连分式计算顺利进行,研究连分式分母非0的充分条件.最后,若干数值算例表明,对某些函数采用新提出的复化有理求积公式计算数值积分,所得结果优于采用Simpson公式.