说一道例题的改编题

原题 (初中几何第三册第 1 74页例 4) :已知如图 1 ,⊙O的半径为R ,直径AB⊥CD .以B为圆心 ,以BC为半径作CED ,求 :CED与CAD围成的新月形ACED的面积S .改编 :问 :CED与CAD围成的新月形ACED的面积与△BCD的面积有何关系 ?并证明你的结论 .已知不变 ,只是改变问题的形成 ,如此一改 ,可以增强题目的探索性 ,使之成为开放型的题目 ,便于学生探索解法 ,有利于培养学生的发散思维 ,并且为解答课本第 1 81页第 1 3题 (即变式 (一 ) )打好基础 .以下从几方面说此改编题 :1 .说已知与未知已知 :⊙O的半径为R ,直径AB⊥CD ,CED的圆…     

剪切·粘贴·替换

求不规则图形的面积,同学们往往束手无策.如果学会剪切、粘贴、替换,解决这类问题就会得心应手.下面举例说明. 例1 如图1,矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B为圆心,BC为半径画弧,交AD于F,交BA的延长线于E,求图中阴影部分的面积. 分析先剪切梯形BCDF,得到扇形BFE,再剪切三角形ABF,剩余图形就是阴影部分.即S阴影=S扇形BFE-S△ABF.     

例谈阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解.本文介绍在转化过程中的几种常用方法.1直接法当已知图形是读者所熟悉的基本图形时,先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.图1例1如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为A.32πB.43πC.43πD.π3解析依题设,有EN=PE=AB=1,EC=21BC=23.在Rt△ECN中,NC=EN2-EC2=1-43=21.从而有∠NEC=30°,同理:∠MEB=30°,所以∠MEN=180°-2×30°=120°,因此S扇形MEN=1203π6.012=π3.故选D.2和差法当图形比较复杂时,可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉图形的面积的和或差来计算.例2如图2,AB和AC是⊙O的切线,B、C为切点,∠BAC=60°,⊙O的半径为1,则阴影部分的面积是图2A.3-32πB.3-3πC.23-3πD.23-π解析连结OB、OC,则S阴影=S四边形ABOC-S扇形OBC,由于∠BOC=180°-60°=120°,所以S扇形OBC=1326...     

用三角法妙证欧拉不等式

本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明　设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得　a=2RsinA　b=2RsinB　c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-…     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

一道几何题的变化和推广

初级中学数学课本《几何》第二册第39页有这样一道题目: 已知:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线.求证:(1)BD=AD。(2)△ABC∽△BCD。(3)BC=(5~(1/2)-1)/2AB≈0.618AB。     

善分割 速解题

巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解 ,同样适当地分割图形 ,也可使某些立几问题趋于简单 ,从而为问题的顺利解决提供了方便 .【例 1】　如图 ,三棱锥P -ABC中 ,已知PA⊥BC ,PA=BC =l,PA、BC的公垂线段DE =h .求三棱锥P-ABC的体积 .( 87年高考理 )分析 :直接考虑会因条件用不上感到束手无策 .如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P -ABC为两个三棱锥P -BCD和A-BCD .则问题简捷解出 .解 :∵PA⊥BC ,PA⊥DE ,∴PA⊥面BCD .∴VP-BCD =13 ·S△BDC·PD= 13 ·12 ·l·h·PD VA-BCD =13 ·S△BCD·AD= 13 ·12 ·l·h…     

公式a/sinA=2R的妙用

初中几何第二册162页第6题给出了正弦定理的完整形式。在△ABC中BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R,则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,此公式揭示了三角形的边和角与外接圆直径之间的关系,它有时能在解题或证题中起到绝妙的作用。     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

正方形与圆组成的阴影部分面积求法

图1问题1(人教版新课标九年级上P114习题24.4复习巩固3)如图1,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.解如图1,过正方形对角线交点O作OO1⊥AB,垂足为O1,连AO.S弓AO=S扇AO1O-S△AO1O=14π·(a2)2-12·(a2)2=πa216-a28.S阴=8S弓AO=8×(πa216-a28)=πa22-a2.图2问题2如图2,正方形的边长为a,以正方形ABCD的四个顶点为圆心,a2为半径画弧,求图中阴影部分图形的面积.解S阴=S正-4S扇EAF=S正-S圆=a2-π(a2)2=4-π4·a2.     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

锐角三角函数在计算圆的半径中的应用

<正>已知三角形一边和对角可以计算三角形外接圆半径,附加三角形为等腰三角形条件,可以确定三角形内切圆的半径.例1(2012年湖北武汉中考第22题)在锐角△ABC中,BC=5,sinA=4/5,(1)如图1,求△ABC的外接圆的直径;(2)如图2,点I为△ABC的内心,若BA=BC,求AI的长.     

一道初中几何竞赛题的解答

<正>如图1,在凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=120°,BC=CD=10,则AC=_.本题为2017年北京市中学生数学竞赛初二年级填空第2题,可以利用全等得出问题的解答.解法1 (利用全等)如图2,以AC为一边构造∠ACA′=120°,在射线CA′上截取CA′=CA,连接A′B,A′A,BD.∵∠BAD=∠BCD=120°,∴∠ACD=∠A′CB.又∵CB=CD,∴△A′CB≌△ACD(SAS).∴A′B=DA,∠A′BC=∠ADC,∵∠BAD=∠BCD=120°,     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

开拓思维 妙证几何题

人教版初中几何第二册P68的例3:已知:点D、E在△ABC 的边BC上,AB= AC,AD=AE.求证: BD=CE. 教材中给出的证明是: 证明作AF⊥BC,垂足为F,则AF ⊥DE. ∵AB=AC, AD=AE,AF⊥BC, AF⊥DE,     

面积公式变形之中的优美统一

<正>1.扇形面积公式:S=1/2rl.如图1,已知扇形OAB的半径为r,圆心角为n°,扇形的弧长为l.则扇形面积公式为:S=nπ/360r2,同时该扇形的弧长为:l=nπ/180r.利用等量代换可以得到扇形面积的另一个公式:S=1/2lr.一看到这个公式我就想起了三角形的面积公式S=1/2ah,太相似了,这个公式给我很大的震惊.那么,还有没有类似的面积公式,让我们有这种震惊呢?这引起了我进一步的思考.在接下来的探究过程中,惊喜地得到了三个类似的公式.     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

两个几何不等式

设P是ΔABC内部任意一点,P至边BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,且分别交于D、E、F.令PA=R1,PB=R2,PC=R3;BC=a,CA=b,AB=c.ha,hb,hc分别表示△ABC的高,R,r,△分别表示ΔABC的外接圆半径、内切圆半径和面积;以∑,∏分别表示循环求和与循环求积.