Buckling of orthotropic and nonhomogeneous spherical shells

Summary Critical loads of clamped spherical shells, made up of orthotropic, heterogeneous material are obtained using a linear eigenvalue problem. The nonlinear differential equations of the prebuckled state are solved by Parametric Differentiation technique. The influence of varying the elastic moduli of the material has been studied. Continuously heterogeneous shells (heterogenity along the thickness) are investigated. Attention is further given to two layered shells, each layer being homogeneous and orthotropic. The effect of reversing the layers, on the buckling behaviour, is also analyzed.

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Übersicht Die Bestimmung der kritischen Lasten von eingespannten kugelförmigen Schalen aus orthotropem, heterogenem Material wird als lineares Eigenwertproblem behandelt. Die nichtlinearen Differentialgleichungen für den Beulzustand werden durch parametrische Differentiation gelöst. Dabei wird der Einfluß von Veränderungen der elastischen Parameter des Materials untersucht. Es werden Schalen betrachtet, deren Heterogenität stetig längs der Schalendicke verteilt ist, sowie Schalen, die aus zwei homogenen und orthotropen Schichten zusammengesetzt sind. Der Einfluß einer Vertauschung der beiden Schichten auf das Beulverhalten wird analysiert.

     

Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular planform

Summary A multi-mode solution to the dynamic Marguerre-type nonlinear equations is presented for the nonlinear free vibration of doubly curved, symmetrically laminated, imperfect shallow shells of rectangular planform on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The shell edges are assumed to be transversely supported and the variation of rotational stiffness is identical along opposite edges. Generalized double Fourier series with time-dependent coefficients and the method of harmonic balance are used in the solution. The boundary condition for the varying rotational stiffness is fulfilled by replacement of bending moments along the four edges by an equivalent lateral pressure. Based on a single-mode approximation numerical results for the amplitude-frequency response of doubly curved isotropic, orthotropic, cross-ply and angle-ply shallow shells with square planform are presented for various boundary conditions, material properties, curvature ratios, initial imperfections, edge tensions, and moduli of the elastic foundation. Graphical results for postbuckling behavior of an imperfect angle-ply cylindrical panel are also presented as a special case.

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Nichtlineares Verhalten zweifach gekrümmter, symmetrisch geschichteter dünner Schalen mit rechteckigem Grundriß

Übersicht Vorgestellt wird eine Mehrfachwellenform-Lösung der dynamischen Gleichungen vom Marguerre-Typ für die nichtlinearen Eigenschwingungen zweifach gekrümmter dünner Schalen aus symmetrischen Schichtungen, die geometrisch imperfekt sind und über einen rechteckigen Grundriß auf einer elastischen Winkler-Pasternak-Bettung lagern. Angenommen wird eine gelenkige Lagerung der Plattenränder mit einer veränderlichen Drehbehinderung, die auf gegenüberliegenden Rändern gleich ist. Zur Lösung werden verallgemeinerte zweifache Fourier-Reihen mit zeitabhängigen Koeffizienten und die Methode der harmonischen Balance benutzt. Die Randbedingung für die veränderliche Drehbehinderung wird dadurch erfüllt, daß die Randmomente durch einen äquivalenten Vertikaldruck ersetzt werden. Mit der Näherung nur einer Wellenform werden numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Amplitude und Frequenz angegeben; variiert werden dabei die Randbedingungen, die anfänglichen Imperf ektionen, die Krümmungsverhältnisse, die Bettungszahlen und die Materialkonstanten, wobei die Platte entweder isotrop oder bei recht- und schiefwinkliger Schichtung orthotrop ist. Als Sonderfall wird auch das Nachbeulverhalten einer imperfekten, schiefwinklig geschichteten Zylinderschale graphisch dargestellt.

     

Der zylindrische Schalenstreifen oberhalb der Beulgrenze

Zusammenfassung Oberhalb der Beulgrenze versagt die linearisierte Elastizitätstheorie. Man erhält eine erste Näherung für das elastische Verhalten ausgebeulter Bauteile, wenn man von den Potenzentwicklungen der Deformationen bei der Ausbiegung die Glieder zweiter Ordnung hinzunimmt, während man sich bei den Verschiebungen senkrecht zur Ausbeulrichtung weiterhin auf die linearen Glieder beschränken darf. Ferner darf man schwach gekrümmte Schalen als vorgekrümmte Platten behandeln.Unter diesen Voraussetzungen wurde mit Hilfe der energetischen Methode in der von Marguerre angegebenen Form ein sehr langer, schwach gekrümmter Schalenstreifen unter Schubund axialer Druckbelastung untersucht. Für ein bestimmtes Krümmungsmaß wurden Diagramme angegeben, aus denen die berechneten elastischen Größen für die beiden Grenzfälle vollkommen nachgiebiger und vollkommen steifer Querstützen entnommen werden können.     

Effect of interlaminar imperfections on a behaviour of laminated plates

Summary The effect of interlaminar bonding imperfections on behaviour of shells, investigated in [1], is elaborated here for a special case of laminated plates. The problem is stated for linear elastic materials, within the small displacement gradient theory. The obtained results are ilustrated by an example.

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Einfluß der Zwischenschichtdefekte auf das Verhalten geschichteter Platten

Übersicht Der in [1] beschriebene Einfluß der Zwischenschichtdefekte auf das Verhalten geschichteter Schalen wird hier speziell für den Sonderfall geschichteter Platten studiert. Das Problem wird unter Berücksichtigung der linearen Elastizitätstheorie und der Theorie der kleinen Verschiebungsgradienten betrachtet. Die erhaltenen Ergebnisse werden anhand eines Beispiels illustriert.

     

Approximate determinations of the center of shear by use of the St. Venant solution for the flexure problem of plates of variable thickness

Summary We extend a recent analysis of the shear center problem in the context of the linear theory of transverse bending of orthotropic elastic plates by an explicit comparison of results based on several differing definitions of the center of shear within the framework of the St. Venant flexure solution for the problem of orthotropic plates. We also consider transverse bending of anisotropic plates where we find a significant aspect ratio effect not present in the orthotropic, case, and the shear center problem for plates with combined midplane bending and stretching as a consequence of constitutive coupling.

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Näherungsweise Bestimmungen des Schubmittelpunks für Platten variabler Dicke im Rahmen der St. Venant'schen Querkraft-Biegungslösung

Übersicht Eine kürzliche Analyse des Schubmittelpunktproblems als ein Problem der linearen Theorie orthotroper elastischer Platten wird erweitert durch einen Vergleich von Resultaten auf Grund von verschiedenen Definitionen des Schubmittelpunkts im Rahmen des St. Venant'schen Ansatzes für das Querkraft-Biegeproblem. In Ergänzung dieser Betrachtungen wird eine Bestimmung des Schubmittelpunkts anisotroper Platten ausgeführt, welche, im Unterschied zum orthotropen Fall, einen ausgeprägten Einfluß der Plattenlänge zeigt. Weiterhin behandelt wird das Schubmittelpunktproblem für Platten, für welche Biegung und Streckung durch das Stoffgesetz gekoppelt sind.

     

Über die freien Bewegungen einfacher Schwinger mit nicht gerader Kennlinie

Zusammenfassung Zur Bestimmung der Schwingzeit von Systemen mit nicht gerader Kennlinie hatte man bisher, falls die Aufgabe sich nicht streng lösen ließ, entweder die Methoden der graphischen oder numerischen Integration auf Einzelfälle angewendet oder nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug auch ein graphisches, das ist auf den Einzelfall beschränktes, Verfahren benutzt; Ausdrücke, die, wenn auch nur angenähert, die Schwingzeit in allgemeinen Zeichen angaben, so daß auch der Einfluß der einzelnen Parameter erkennbar blieb, fehlten. Zwei Wege zu diesem Ziel werden aufgezeigt: Integration von Gleichung (3.4) nach der Simpsonschen Regel und Herstellung von rechnerischen Ausdrücken nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug. Im ersten Fall erhält man nur einen Näherungswert, der aber, wie man allgemein weiß und wie das Beispiel zeigt, sehr genau ist (Fehler < I). Die Näherungen, die man auf dem zweiten Weg erhält, sind gröber, wenn man nicht viel Rechenarbeit aufwendet. Dafür kennt man allerdings die Richtung des Fehlers.     

Zur Theorie elastischer Schalen

Zusammenfassung Es wird in allgemeinen Koordinaten gezeigt, daß die elastischen Grund gleichungen gekrümmter, annähernd zweidimensionaler Gebilde nicht mit Hilfe der Bernoullischen. Hypothese aufgestellt werden dürfen, da sowohl die nicht beachteten Querkraftverformungen als auch die Spannungen in Normalenrichtung denselben Einfluß auf die Endergebnisse haben, wie eine Anzahl Glieder, die bei Benutzung der Bernoullischen Hypothese in den Endgleichungen auftreten.Die Berechnung der Tragwerke, für die die Querkraftverformungen von Bedeutung sind, verlangt die Berücksichtigung der Querspannungen, also eine dreidimensionale Theorie. Für Schalen ist der Einfluß der Querkraftverformungen vernachlässigbar klein. Auf Grund dieser Tatsache werden die in sich widerspruchsfreien Schalengrundgleichungen (31), (37) abgeleitet.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Schalenelemente in gemischer Darstellung: Theorie — Kritik — Beispiele

Übersicht Zur Berechnung dünnwandiger Schalen wird ein Satz von gekrümmten Elementen mit Ansatzfreiwerten in gemischter Weg- und Kraftgrößendarstellung entwickelt und deren Brauchbarkeit an Hand einiger Beispiele überprüft. Die theoretischen und numerischen Untersuchungen zeigen, daß die Genauigkeit gemischter Elemente in erster Linie von der Auswahl geeigneter Integrationsvariabler abhängt, während die Ordnung der Polynomansätze die Approximationsgüte nur geringfügig beeinflußt.

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Summary To analyse thin shell structures curved mixed elements are developed and studied from a theorctical vantage point and through the medium of numerical exampels. The investigations show, that the accuracy of mixed shell elements is dependent first of all on the choice of integration variables, while the influence of the order of polynoms is less.

     

Analysis of mode-1 crack-tip stress patterns in orthotropic materials

Summary A classification scheme of normal opening mode crack-tip stress patterns for static cracks in orthotropic (composite) materials is presented. Direct application within the framework of coating stress analysis technique as applied to unidirectional or multidirectional glass fibre reinforced epoxies weakened by a sharp crack and subjected to uniaxial and biaxial stress fields is developed. The mutual influence of changing parameters such as ratio of Young's moduli, prestressing parallel to the crack etc on the geometrical configuration of the iso-stress-lines can easily be identified from orthotropic stress loop diagrams.

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Analyse von Mode-1 Riss-Spitzen-Isospannungs-Feldern in orthotropen Materialien

Übersicht Dieser Beitrag umfaßt ein Klassifikationsschema für statische mode-1 Rißspitzenisospannungs-felder in orthotropen Kompositmaterialien. Die direkte Anwendung auf durch Risse geschwächte ein- oder mehrfachorientierte glasfaserverstärkte Kunststoffe im Rahmen des spannungsoptischen Oberflächenschichtverfahrens ist gegeben. Der Wechselwirkungseinfluß variabler Parameter wie z. B. Elastizitäts-moduln, homogene Spannung parallel zum Riß usw. auf die geometrische Konfiguration der Isospannungslinien ist leicht aus einem eigens entwickelten orthotropen Spannungslinien-Diagramm abzulesen.

     

Liquid-structure-foundation interaction of slender water towers

Summary The dynamic behaviour of a slender water tower based on a (deep) foundation is studied by a lumped model in which the parameters have been derived analytically from continuous models. The effects of the liquid and foundation on the structural dynamics can be studied analytically using this model, sensitivity analyses are easily performed. Ring baffles in the liquid tank and the local yielding of the pile-soil interaction along the shaft of the foundation piles may reduce the dynamic response.

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Wechselwirkung von Flüssigkeitsfüllung, Bauwerk und Fundament von schlanken Wassertürmen

Übersicht Das dynamische Verhalten eines auf ein tiefes Fundament gegründeten schlanken Wasserturms wird anhand eines diskreten Modells analysiert, in dem die Parameter analytisch aus kontinuierlichen Modellen hergeleitet wurden. Mit Hilfe des Modells kann der Einfluß des Wassers und des Fundamentes auf das dynamische Konstruktionsverhalten analytisch studiert werden. Empfindlichkeitsanalysen lassen sich somit leicht durchführen.Zwischenringe im Flüssigkeitsbehälter und lokales Fließen in den Kontaktflächen zwischen Gründungspfählen und Boden können die Strukturschwingungen mindern.

     

Über die Kräfte auf beschleunigt bewegte,veränderliche Tragflügelprofile

Zusammenfassung Unter Zugrundelegung der Lambschen Theorie gelingt es, die Formeln für die Kräfte auf ein beliebiges, deformierbares Profil aufzustellen, auch bei Berücksichtigung von Wirbeln im Außenraum infolge der Änderung der Zirkulation um das Profil. Die allgemeinen Kräfte für dünne Profile, für die die Gültigkeit der Kutta-Joukowskischen Formel nachgewiesen wird, lassen sich durch einen einfachen Ansatz, ähnlich wie im Stationären, verhältnismäßig leicht auswerten. Einige Beispiele zeigen die Anwendbarkeit der gewonnenen Ergebnisse; dabei beschränken wir uns auf die einfachsten Fälle, bei denen bei quasistationärer Betrachtung näherungsweise der Einfluß der Wirbel im Außenraum des Profils zu vernachlässigen ist, um dafür den Einfluß einer kennzeichnenden Größe leicht erkennbar werden zu lassen.     

Kinetisches Durchschlagen des schwach gekrümmten Stabes

Zusammenfassung In der Statik ist das Durchschlagen des gekrümmten Stabes ein wohl-bekanntes Stabilitätsproblem. Ein ganz entsprechendes kinetisches Stabilitätsproblem entsteht, wenn der gekrümmte Stab unter der Einwirkung einer schwingenden Querbelastung steht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre und der Kirchhoffschen Näherung für die Stablängskraft kann man zur Beschreibung der Stabschwingungen eine inhomogene nichtlineare Integrodifferential-gleichung für die Biegeschwingung allein aufstellen. Ein Lösungsansatz mit zeitabhängigen Funktionen führt diese partielle Integrodifferentialgleichung für eine beliebige Lastverteilung auf ein System nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück. Aus diesem System lassen sich die erzwungenen Schwingungen mit einer Störungsrechnung berechnen; sie haben im wesentlichen den gleichen Frequenz-Amplituden-Zusammenhang, den man schon vom. Duffingschen Schwingungsproblem her kennt. Das Stabilitätsverhalten dieser Schwingungen ließ sich mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude näherungsweise ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des Duffingschen Schwingers verstehen. Es sind daher Amplitudensprünge zu erwarten, die sich in einer Weise deuten lassen, die erkennen läßt, daß sich das statische und das kinetische Problem weitgehend entsprechen.Herrn K. von Sanden zum 75. Geburtstag gewidmet     

Interaction of two curved cracks in an infinite plate

Summary The system of the singular integral equations for the double crack problem is presented. Basic idea is the approximation of the displacement jump function along the crack by a polynomial multiplied by a weight function. The single-valuedness condition of displacements is satisfied automatically, and the Cauchy singular integrals in the resulting integral equations can be evaluated in a closed form. Letting the integral equations be satisfied at some discrete points, the undetermined coefficients in the assumed polynomial can be obtained immediately. Therefore, theK-factors at the crack tips are obtainable. The problem of multiple curved cracks can be solved in a similar way. Several examples demonstrate the interaction effect between two cracks with the curve configuration.

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Wechselwirkung zwischen zwei gekrümmten Rissen in einer unendiichen Scheibe

Übersicht Vorgestellt wird das System der singulären Integralgleichungen für das Problem zweier gekrümmter Risse. Der grundlegende Lösungsgedanke ist die Approximation der Verschiebungsunstetigkeit längs des Risses durch ein mit einer Gewichtsfunktion multipliziertes Polynom. Die Bedingung eindeutiger Verschiebungen ist automatisch erfüllt, und die singulären Cauchy-Integrale der sich ergebenden Integralgleichungen können geschlossen bestimmt werden. Die Erfüllung der Integralgleichungen an einigen diskreten Punkten legt die Polynomkoeffizienten fest. Dann können die Spannungskonzentrationsfaktoren an den Rißspitzen bestimmt werden. Auf ähnliche Weise kann das Problem mehrerer gekrümmter Risse gelöst werden. Verschiedene Beispiele verdeutlichen die Wechselwirkung zwischen zwei Rissen in Abhängigkeit von ihrer gekrümmten Konfiguration.

     

Composite shells with interlaminar imperfections

Summary In this contribution the effect of interlaminar initial imperfections on a composite shell behavior is investigated. The constitutive equations for shells with initial interlaminar bonding imperfections are obtained.

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Verbundstoffschalen mit Zwischenschichtdefekten

Übersicht In diesem Beitrag wird der Einfluß von anfänglichen Zwischenschichtdefekten auf das Verhalten einer Verbundstoffschale untersucht und die Materialgesetze für solche Schalen werden aufgestellt.

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The main theses of this paper have been presented on EUROMECH 292, Sept. 1992     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

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Effect of shear on stability and nonlinear behavior of a rotating rod

Summary The nonlinear equations describing in-plane deformation of a rotating elastic rod, taking into account shear effect, are derived. It is shown that the critical rotation speed is determined from the linearized equation. The nonlinear equilibrium equations are solved numerically and the effect of shear on maximal deflection is studied.

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Der Einfluß der Schubspannungen auf die Stabilität und das nichtlineare Verhalten einer rotierenden Welle

Übersicht Die nichtlinearen Differentialgleichungen für die ebene Verformung einer rotierenden elastischen Welle mit Schubspannungseinfluß auf die Biegelinie wird hergeleitet. Wir zeigen, daß die kritische Rotationsgeschwindigkeit aus den linearen Gleichgewichtsbedingungen folgt. Die nichtlinearen Gleichungen werden numerisch gelöst und der Schubspannungseinfluß auf die Durchbiegung wird untersucht.

     

The stress intensity variation of an orthotropic perforated plate containing an internal crack

Summary The elastic problem of an infinite orthotropic plate with different roots of its characteristic equation, when the fibers are oriented perpendicularly to an internal crack, and is weakened by an elliptic hole, is solved using Lekhnitskii's theory. The plate is subjected to prescribed stresses at infinity, while the boundary conditions are given at the flanks of the crack, at the rim of the perforation and at infinity.Using the complex-variable method, the solution of the problem is reduced to the evaluation of Cauchy-type integrals concerning the analytic functions of the problem. The numerical solution of the problem revealed an intense variation of mode-I stress intensity factors (SIF) at the crack tips due to the increase of either the crack length, or the distance of the near-by rack tip from the center of the hole. Furthermore, it was found that orthotropy strongly influences the intensity of stresses at the crack tips. These findings are in complete agreement with results given in a previous work by the authors, concerning a similar problem for an orthotropic plate, which, however, constitutes a special case, where the material presents equal roots for its characteristic equation [1].

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Spannungsintensitätsvarianten einer orthotropen Platte mit einem Loch und innerem Riß

Zusammenfassung Das elastische Problem einer unendlichen, orthotropen Platte mit verschiedenen Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung wird im Falle, daß die Fasern senkrecht zu einem inneren Riß verlaufen und daß sie durch ein elliptisches Loch geschwächt sind, im Rahmen der Lekhnitskii-Theorie gelöst. Die Platte wird im Unendlichen einer vorgeschriebenen Spannung unterworfen, während die Randbedingungen an den Rißflanken, am Lochrand und im Unendlichen gegeben sind.Mit Hilfe der Methode der komplexen Variable wird die Lösung des Problems zurückgeführt auf die Berechnung von Cauchy-Integralen der analytischen Funktionen des Problems. Die numerische Lösung des Problems zeigt eine starke Abhängigkeit von Mode-I-Spannungsintensitätsfaktoren (SIF) an den Rißspitzen von der Rißlänge oder des Ligaments zwischen der Rißplatte und dem Loch. Weiterhin wurde gezeigt, daß Orthotropie starken Einfluß auf die Spannungsintensität hat. Diese Beobachtungen stehen in voller Übereinstimmung mit Resultaten aus der Arbeit [1] über ein ähnliches Problem für eine orthotrope Platte, wo allerdings die Wurzel der charakteristischen Gleichung identisch sind.

     

Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

Vibrations and transient responses of Timoshenko beams resting on elastic foundations

Summary A finite element technique is used to obtain the natural frequencies and transient responses of Timoshenko beams resting on elastic foundations. The beam is discretized into beam elements, each with four degrees of freedom. The equations of motion in terms of the nodal degrees of freedom are derived by applying Hamilton's principle. The numerical results for a hinged-hinged beam are given to show the effects of rotatory inertia, shear deformation and foundation constants on the natural frequencies of the beam. The transient responses of beams are subsequently presented and compared with the available solutions.

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Eigenschwingungen und transientes Verhalten von Timoshenko-Balken mit elastischer Bettung

Übersicht Mit einer Finit-Element-Technik werden die Eigenfrequenzen und das transiente Verhalten von Timoshenko-Balken mit elastischer Bettung ermittelt. Der Balken wird dabei in Elemente mit je vier Freiheitsgraden diskretisiert. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Numerische Ergebnisse für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken zeigen den Einfluß von Drehträgheit, Schubverformung und Bettungskonstanten auf die Eigenfrequenzen. Anschließend wird das transiente Verhalten dargestellt und mit bekannten Ergebnissen verglichen.