方程组■的极限环线的位置

<正> 方程组■的 Hilbert问题包括两部分,即问(E_2)在全平面上最多有几个极限环钱及它们的位置(它们如何分布).在一篇独具风格的论文中,(?)及(?)用创见的方法以惊人的气魄处理了方程组.(E_2),得到了(E_2)的极限环线在全平面土最多有三个的结果.本文是[2]的继续,目的是讨论方程组(E_2)的极限环线的位置,把它们的拓扑分布问题给以最后的解决.我们现在的问题是:设方程组(E_2)有三个极限环线,以 L_c~i(i=1,2,3)表之,以 I_i 表L_c~i 之补集 c(L_c~i)之有界分量,问位置     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

在平衡点附近dx/dt=P,dy/dt=Q出现三个极限环的例子(P,Q 为二次多项式)

<正> ■院士曾经证明方程 dx/dt=P,dy/dt=Q,其中 P,Q 是关于 x,y的二次多项式,在全平面至多能出现三个极限环线.(?)在中证明在焦点和中心型的平衡点附近,如果变动方程的系数可能出现三个极限环线,但至今还不见有出现三个极限环的实际例子.用(?)证明可能性的无穷级数方法要作出一个具体的方程实际上存在着不可克服的困难.本文利用(?)的理论,结合 M.Fr(o)mmer 的求无切环线的方法发展出一套计算法,由它作出了出现三个极限环线的具休方程.最后利用方向场的旋转又得出在平面上有且仅有两个极限环的例子.     

在有限部分具有三个奇点的二次系统的极限环分布问题

本文讨论了在有限部分具有三个奇点的二次系统Ｅ_２^３的极限环线分布问题．证明了Ｅ_２^３在有一个高次奇点的条件下，极限环线是集中分布的．     

一类具有连续输入互补型营养基的捕食者-食饵恒化器模型

研究了一类具有连续输入双营养基的捕食者-食饵恒化器模型,极限营养基的吸收采用Monod型.通过构造Lyapunov函数把四维双营养基模型化为二维模型,研究了极限系统非负平衡点的稳定性和极限环存在的条件.最后,通过数值模拟验证了结论的正确性.     

一类非线性二维自治系统的两个重合着的极限环

利用《微分积分法软件》和微分方程定性理论研究了一类二维非线性自治系统的动力学性质.探讨了五个平衡点的存在性、稳定性和极限集等一些几何性质,并通过描绘系统的图像解,得到两个重合的横置的葫芦形极限环.在解题的过程中首次发现了一个反常的现象:此系统所描述的周期性运动其周期的大小随自变量的微分的减小而增大.     

一个带毒生化反应竞争模型正平衡解的全局稳定性

研究两个微生物竞争同一营养,而其中一个竞争者会产生毒素抑制另一竞争者且产物系数γi(S)(i=1,2)为一般的非减可导函数时的生化反应模型,指出两篇文献中存在的问题,分析系统平衡点的稳定性,三维系统经历Hopf分支的条件和由此产生的周期解的稳定性.证明系统中某一微生物物种处于竞争劣势而趋于灭绝时另一微生物物种和营养在二维稳定流形上极限环的存在性.并用具体的实例验证文中所得结论.     

三分子模型的定性分析

本文讨论三分子模型dx/dt=By-Bx-xy~2 2x~y-x~3,dy/dt=A-(y-x)(A,B>0)(1)极限环的存在性、唯一性等问题。 G.Nicolio和I.Prigogine指出,(1)是生物化学反应中最基本的模型,因此对方程的分析具有一定的实用价值。 本文证明了系统(1)当B>A~2 1时存在唯一的稳定的极限环,当B≤A~2 1时无极限环,并给出极限环线的位置及随参数的变化情况。     

无限维无限时区LQ问题的近似解

研讨一种求无限时区上无限维LQ问题的近似解的计算方法, 此方法基于适当的有限时区上有限维LQ问题族之解, 证明了当其时区长度与状态空间维数都趋于无穷时, 它们的二重强极限存在且就是原无限时区无限维问题的解.     

关于平面二次系统的极限环

本文对只有两个焦点和一个无限远鞍点的二次系统,用全局分析的方法得出极限环大范围存在的二组新型条件.在此基础上,联合Баутин,秦元勋扰动细焦点产生极限环的方法,在参数空间中找到一个十二维和一个十一维的流形,使对应的二次系统至少有四个极限环.顺便指出:Баутин算错了V₇的符号,它直接影响一个极限环的存在性.     

一类生化反应微分方程的定性分析

对一类生化反应模型x=δ-ax-xpyq,y=xpyq-by(δ>0,b>0,a>0,p 1,q>1)进行了研究.讨论了系统平衡点的稳定性态,对系统极限环的位置做出了估计.同时讨论了系统无环的充分条件以及极限环存在惟一性条件.     

一类平面微分系统极限环的存在唯一性

研究一类平面微分系统的极限环,利用Hopf分支理论得到了该系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件,利用Л.A.Чepkac和Л.ИЖилевьыч的唯一性定理得到了极限环唯一性的若干充分条件.     

逆极限空间的伪轨跟踪性

证明了对于由{xi,φi,fi}∞i=l生成的逆极限系统(X∞,f∞),如果每个fi具有伪轨跟踪性,则诱导映射f∞也具有伪轨跟踪性.并构造了一个例子说明它的逆命题不成立.还证明了零维紧致度量群的自同构拓扑共轭于一族有限型子转移生成的逆极限系统.     

一类平面微分系统极限环的存在唯一性

研究一类平面微分系统的极限环,利用Hopf分支理论得到了该系统极限环存在性的若干充分条件,利用Л.А.Чеpкас和Л..Иилевьтч的唯一性定理得到了极限环唯一性与稳定性的若干充分条件.     

一类平面微分系统的极限环

研究一类平面微分系统的极限环,利用Hopf分支理论得到了该系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件,利用ЧеркасЛА和ЖилевычЛИ的唯一性定理得到了极限环唯一性的若干充分条件.     

4维种群互斥系统的有界性绝灭性和稳定性*

本文探讨了一种较为典型的4维种群互斥系统的有界性绝灭性和稳定性,并给出了它们存在的充要条件,与之同时还阐述了它们的生态意义。     

关于一类非多项式平面微分系统的极限环及分支问题

旨在讨论一类非多项式平面微分系统.通过使用Dulac准则和Bendixson准则获得极限环不存在性的充分条件,引入广义Liénard系统理论以研究极限环的存在性及稳定性,应用Hopf分岔理论证明自原点分岔出极限环的充分条件.此外,给出一个范例以验证分析和结果的有效性.     

超α-平稳过程的泛函中心极限定理

在有限维分布意义下, 证明了超α-平稳过程占位时的泛函中心极限定理. 在低维α <d<2α (0<α≤2)情形, 极限过程是一Gauss过程, 并给出了其协方差; 在临界维d = 2α和高维d > 2α情形, 极限过程是Brown运动.     

具有分段感染率的传染病模型的研究

由于媒体报道对传染率的影响有着重要作用,建立了一个受媒体影响且具有分段感染率的传染病模型的研究.首先通过运用LambertW函数解出了系统的所有平衡态;其次,分析了各平衡态的稳定性;最后,利用排除极限环的存在性证明了各平衡态的全局稳定性.     

空间齐次和非齐次下活化-抑制模型动力学分析

该文讨论齐次Neumann边界条件下Gierer-Meinhardt活化-抑制扩散模型.对于空间均匀(ODE)系统,分析了内部平衡态的渐近行为及其附近极限环的存在性和稳定性;对于空间异质(PDE)系统,给出了内部平衡态的Turing不稳定性条件,说明了Turing模式和时空周期模式的存在性.最后,通过数值算例验证了相应理论结果.