用导数证不等式的函数构造法

高中教材导数内容的增加，为我们证明不等式提供了新方法，开辟了新途径．利用导数证明不等式，也是近年高考的热点与难点．其证明的总体思路是将所证的不等式，通过构造函数的形式，利用导数判定原函数的单调性，找出最值（值域）使之获证．基于此，如何合理地构造函数，成为我们能否有效解决问题的核心．本文试就一些常见的构造方法作出例析如下．     

构造不等式证题

不等式在证题中有着广泛的应用.有些问题用构造不等式去推导,不蹈常规,见解独到,证明简捷. 一、寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”     

运用函数模型证不等式

很多不等式题目都是伴随着某些特殊函数的性质而产生的,特别是在近些年的高考题中尤为突出,通过挖掘不等式的函数背景,结合函数的性质可简化不等式的证明过程,降低证明的技巧性,下面就一些常见的函数模型加以说明.……     

构造长方体巧证不等式

我们知道:长方体有如下性质(为了节省篇幅,本文约定所构造的长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线长为l,本文中所有角均为锐角.):     

运用函数思想证不等式

1.利用一次函数证明不等式 由一次函数y=kx+b的图像可知,如果 f(m)>0,f(n)>0,则对一切x∈(m,n)均有 f(x)>0,反之,如果f(m)<0,f(n)<0,则对 一切x∈(m,n)均有f(x)<0,把这一性质称 为保号性,利用一次函数的保号性可以证明一 些不等式. 例1 设a,b,c都是绝对值小于1的实 数,求证:ab+bc+ca>-1 (*) 证明 ∵ab+bc+ca+1     

巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

构造正方形巧证不等式

例1设a、b、c∈(0,1),求证,abc(1-a)(1-b)(1-c)≤(1/4)^3.     

构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数，然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值，是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例．谈谈构造函数的常用方法．     

构造三次函数证明不等式

我们先来看一个引例：已知a,b,c∈R,且a＋b＋c〉0,ab＋bc＋ca〉0,abc〉0.求证：     

构造向量证三元分式不等式

本文利用高中数学新教材中新增的重要内容——向量，对中学数学期刊上的一些三元分式不等式给出简证、加强和推广．     

构造向量,巧证不等式

现行新教材 (试验修订本必修 )中新增加的平面向量 ,具有代数形式和几何直观的双重身份 .向量引入中学课本 ,大大拓宽了解题的思路与方法 ,本文举例说明如何构造向量 ,利用其性质证明不等式 .1　应用 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ公式 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ 中等号在向量 ｐ , ｑ共线时才可能成立 .例 1　设ａ ,ｂ为不相等的实数 ,ｆ (ｘ) =1+ｘ2 ,求证 :ｆ(ａ) - ｆ(ｂ) <ａ -ｂ ,ａ +ｂ >ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) .分析 :构造向量 ｐ =(1,ａ) , ｑ =(1,ｂ) ,ａ ,ｂ为不相等的实数 ,因此向量 ｐ , ｑ不共线 …     

利用函数的凹凸性证不等式

利用函数的凹凸性,不仅可以用来深刻地研究函数的有关性质和绘制函数图象,同时还可以用来证明一类不等式。因此尽管在中学数学教学大纲中没有为此设立知识点,但通过第二课堂,适当介绍有关知识,无疑是有益的。     

利用函数的单调性证不等式

250一+b城特‘)证明按已知东件,原不等式等价于 a’+石.①a,+‘.② 一、、.J了 ︸.台,.巴十2 二口丫 了户,龟、、 目 的 了,J 数 函. 透 构 .易知式l)禅1二③故不等式0决走牙函数⑧为(非严榕)增函数.f(,+,)一少(,)二a’+气+6.十1 2。’+‘’ 2︵+2︸a一一‘︸一一)一”(扎狱黔少一全畏概护少一乳心托羚‘一“‘’一久一兰业二哪扛扩+ai-‘石土:?..+,6 》O 即l(。+1)>l(。)‘二争函数②为增函数、又由③知,不等式中真,从而原不等式真. 椒上方法可归纳为. 欲证不等式刀(,)》B(。)(>o),(,〔N)可构造函数f(。)‘A(。)一B(。)‘或“(·,一粼).…     

几个精彩的平方和不等式

本文旨在建立几个新颖有趣的平方和不等式. 　　定理1 若a,b,c是不同的实数,则有……     

构造辅助函数应用导数证明不等式

构造辅助函数,然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值,是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例,谈谈构造函数的常用方法．一、通过移项,集中自变量构造函数例1 证明: 分析不等号两边均是关于x的函数,通     

构造定比巧证一类不等式

证明某数在两数之间是不等式证明中的一类常见题型,常见的证法是单个地分别比较大小,因而显得较难、较繁。本文通过构造定比的方法给出这类问题的一个简捷巧妙的整体证法。     

构造法简证一类三角不等式

１９９６年,周永良先生在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出如下三角不等式在锐角三角形ＡＢＣ中,有ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｃ－Ａ）ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ≥６（１）ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓＢｃｏｓ（Ｃ－Ａ）＋ｃｏｓ...     

构造二次函数证两个母不等式

有些不等式证明问题,按常规的方法受阻时,不妨将不等式变形,转化为二次不等式,本文用构造二次函数的方法证明两个重要的母不等式。     

构造圆锥曲线解(证)不等式

构造法就是从问题的结构和特点出发 ,进行广泛联想 ,构造出一个与问题相关的数学模型 ,实现问题的转化 ,从而解决问题的方法 .构造圆锥曲线 ,是解、证不等式的一种有效的方法 ,可以做到数形结合 ,达到锻炼思维 ,培养创新能力的目的 .下面通过举例加以阐述 .1　 构造圆例 1　解不等式 5- 4x - x2 ≥ x.解　构造函数　 y =5- 4x - x2 与y =x,要求满足上述不等式的 x值就是求使y = 5- 4x - x2 的图像在 y =x的上方(包括交点 )的 x值 ,如图 1 .易求得两曲线交点的横坐标为 - 1 +1 42 ,由图形可得出原不等式的解集为[- 5,- 1 + 1 42 ].图 1　　　…