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杨之先生在其名著[1 ] 中倡导研究的“双圆多边形”是指既有外接圆又有内切圆的多边形 .仿此 ,我们给出下面的定义 若一条封闭折线的顶点都在一个圆上 ,每条边都与另一个圆相切 ,则称该折线为双圆封闭折线 .相应地 ,若它的边数为 n,环数为 k,则称为 n边 k环双圆封闭折线 .图 1 相似文献
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为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为 相似文献
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一个几何模型的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
《数学通报》1 999年第 7期中《一个几何模型的构建及其应用》一文 (以下简称原文 )提出了一个颇有实用价值的几何模型 :“平面内的任意n边形都可经过折线的刚体运动而内接于唯一的一个圆 .”但笔者认为原文的证明是错误的 .下面 ,本文将指出其错误并重新对此模型进行证明 .一、原文中用ai2 =rsinαi 推出αi =arcsin ai2r是错误的 (r是圆的半径 ,ai是圆的弦 ,2αi是弦对应的圆心角 ) .我们知道 ,圆内接多边形中最长边对应的圆心角可能大于π ,则αi 可能是钝角 ,而- π2 ≤arcsinai2r≤ π2 ,所以说原文此… 相似文献
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用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 … 相似文献
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我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样 相似文献
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怎样用测量的方法来分别求由无解析表达式或由积分法很难求面积或体积的已知表达式的平面封闭曲线或空间封闭曲面所围的面积或体积?本文分别给出了简单易行的求面积的“改进了的方格法”及求体积的“立方体分割法”,并且证明了对于满足一定条件的平面封闭曲线或空间封闭曲面,当测量所用单位(平面小正方形的边长或空间小立方体的边长)充分小时,所测得的面积或体积与实际的面积或体积之差的绝对值是所用单位的二阶无穷小.并且,当曲线或曲面的某些性质已知或至少可以估计出其范围的情况下,本文给出了为使测量结果达到任意精度,应当使用多大的测量单位. 相似文献
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为了更好掌握凸性理论与有关技巧,我们在老师的指导下,考虑了 Banach 平面上圆周率的上下界问题,并证明了如下有趣的事实:Banach 平面上的圆周率介于3与4之间,且3和4是可达的.一、Banach 平面及圆周率Banach 平面即为二维的线性赋范空间.鉴于二维线性空间必线性同构于 R~2,故不妨设 Banach 平面即为赋有范数‖·‖_*的 R~2空间,记为 (R~2,‖·‖_*).定义1.设 (R~2,‖·‖_*)上以 x_0为圆心,r 为半径的圆为 O={x|‖x-x_0‖_*=r,x∈R~2}.圆周长定义为圆内接多边形当边长一致趋于零时边长之和的极限.注.这里的边长是指关于范数‖·‖_* 的长度,以后若无特殊说明,均按此理解. 相似文献
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文[1]中的定理1如下:
若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均为定值. 相似文献
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我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线.那么,任意一条封闭折线(不一定是平面的),它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢?本文将探讨此问题. 为此,先给出如下引理: 引理 1 △ABC中,AB+AC≤ BC·cscA/2.其中当且仅当AB=AC时取等号. 证明 在△ABC中,由余弦定理,得BC~2=AB~2+ AC~2—2·AB·AC·cos A 引理2 设P1>0,a1>0(i=1,2,…,n),则 引理2是加权幂平均不等式M1(a,p)≤M2(a,p),在许多文献(例如文[1]… 相似文献
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一条由203条线段组成的封闭折线,且任两线段都不在一直线上(即这种折线的任3个顶点不共线).对于这种折线,自身相交的交点最多能有多少个? 上题是本刊1988年第5期《一些非标准数学问题的解法》一文的例8.原文所导出的由 相似文献
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用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:
定理1 若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r.则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值. 相似文献
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空间折线与其中点折线周长间的一个关系 总被引:1,自引:0,他引:1
我们知道,依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半.一般地,依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线.那么,任意一条封闭折线(不一定是平面的),它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢?先给出如下引理引理1 △ABC中,AB+AC≤BC·cscA2.其中当且仅当AB=AC时取等号.证 在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cosA=(AB+AC)2sin2A2+(AB-AC)2cos2A2≥(AB+AC)2sin2A2,∴AB+AC≤BC·cscA2.… 相似文献
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凸多边形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做多边形的外角,我们知道任意多边形的外角和等于360°.这个结论说明多边形的外角和与多边形的边数n无关,是一个固定不变的量360°.就让我们从不同的角度一起回顾和感受其探索的过程吧. 相似文献
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样条函数变差缩减逼近法的迭代极限 总被引:1,自引:0,他引:1
本文是[1]的进一步推广,即把[1]中所考虑的三次等距节点的样条函数推广为任意(非等距)节点与任意幂次的多项式样条函数情形.对于最一般的多项式样条函数,我们证明了它的变差缩减逼近法当其迭代次数趋于无穷时也是收敛的,并且它的极限函数由折线多边形所组成(详见本文定理3). 相似文献