多自由度非线性系统的同伦分析方法

大部分工程实际问题可以用多自由度非线性系统来描述,这些系统的数学模型是许多个耦合的两阶常微分方程.一般地,要精确求解这些方程非常困难,因此可以考虑它们的解析近似解.同伦分析方法是解非线性系统响应的有用工具,本文将它应用于多自由度非线性系统的求解中.利用求两自由度耦合van del Pol振子周期解的实例,展示了同伦分析方法的有效性和巨大潜力.同时,把得到的解析近似解与系统的Runge-Kutta数值解作了比较,结果表明同伦分析方法是求解多自由度非线性系统的有效方法.     

一类平面Hamilton系统的大范围非线性化近似方法

在非线性动力系统的研究已经进入了占主导地位的时期,对其提出大范围的非线性化近似方法具有特别重要的意义.在本文中,我们主要对于一类典型的Hamilton系统,根据等势线有两个,或者三个交点的不同情形,给出7种不同的大范围最低次非线性化近似系统,并通过积分近似系统给出近似解(轨道).结果表明,近似椭圆周期轨道可通过线性化近似系统得到,而同(异)宿轨道则可通过2、3次非线性化近似系统得到.最后,将近似方法应用于一个具体Hamilton系统的分析.     

多自由度分段光滑非线性系统的近似解——-中华文物龙洗的自激振动

建立了由干摩擦引起的两个弹性体之间自激振动的数学模型. 利用平均法 求出了由干摩擦引起的多自由度分段光滑非线性动力系统的近似解析解，分析了搓动速度、 振动频率与振幅的关系曲线，相位角与搓动速度的关系曲线，分析结果与数值解基本吻合. 为研究多自由度分段光滑非线性系统提供了一种有效的近似解析分析方法.     

多关节机械臂系统非线性动力学分析

针对工程机械臂的非线性振动,研究了系统因周期运动失稳而产生Hopf分岔问题．工程机械臂在建模时往往忽略非线性因素,然而在特殊场合下非线性的影响不可忽略,本文利用拉格朗日法建立了新的非线性两关节机械臂系统的两自由度动力学方程,采用多尺度法对机械臂系统模型进行了求解,对系统发生主共振时的动力学行为进行了分析讨论．结果表明所求得的近似解析解与数值解具有较好的吻合性,同时由于系统方程中非线性项的影响,随着激励幅值与激励频率的变化,系统的振幅会发生跳跃,出现动态分岔现象．本研究为实际工程应用提供了一些理论依据和指导．     

Duffing系统的主-亚谐联合共振

以Duffing系统为研究对象,研究在多频激励下同时发生主共振和1/3次亚谐共振的动力学行为与稳定性.首先,通过多尺度法得到系统的近似解析解,利用数值方法检验近似程度,结果吻合良好,证明了求解过程和解析解的正确性.然后,从解析解中导出稳态响应的幅频方程和相频方程,从幅频曲线以及相频曲线中发现系统最多存在7个不同的周期解,这种多解现象可用于对系统状态进行切换.基于Lyapunov稳定性理论,得到联合共振定常解的稳定条件,利用该条件分析了系统的稳定性,并与Duffing系统的主共振和1/3次亚谐共振单独存在时比较.最后,通过数值方法分析了非线性项和外激励对系统动力学行为与稳定性的影响,发现了联合共振特有的现象:刚度软化时,非线性项不仅影响系统的响应幅值,同时还影响系统的多值性和稳定性;刚度硬化时,非线性项对系统的影响与单一频率下主共振和1/3次亚谐共振类似,仅影响系统的响应幅值.这些结果对Duffing系统动力学特性的研究具有重要意义.     

Duffing系统的主--亚谐联合共振

以Duffing系统为研究对象,研究在多频激励下同时发生主共振和1/3次亚谐共振的动力学行为与稳定性.首先,通过多尺度法得到系统的近似解析解,利用数值方法检验近似程度,结果吻合良好,证明了求解过程和解析解的正确性.然后,从解析解中导出稳态响应的幅频方程和相频方程,从幅频曲线以及相频曲线中发现系统最多存在7个不同的周期解,这种多解现象可用于对系统状态进行切换.基于Lyapunov稳定性理论,得到联合共振定常解的稳定条件,利用该条件分析了系统的稳定性,并与Duffing系统的主共振和1/3次亚谐共振单独存在时比较.最后,通过数值方法分析了非线性项和外激励对系统动力学行为与稳定性的影响,发现了联合共振特有的现象:刚度软化时,非线性项不仅影响系统的响应幅值,同时还影响系统的多值性和稳定性;刚度硬化时,非线性项对系统的影响与单一频率下主共振和1/3次亚谐共振类似,仅影响系统的响应幅值.这些结果对Duffing系统动力学特性的研究具有重要意义.     

多尺度法在时滞弹性关节机械臂非线性振动问题中的应用

针对非线性弹性关节机械臂,研究传动过程中的时滞效应对机械臂系统周期振动的影响．本文改进了具有弹性关节的非线性机械臂动力学模型,引入时滞参数,应用多尺度法,得到系统的近似解析解,考察了时滞对机械臂系统周期运动的影响规律．数值软件计算结果表明解析解与数值解具有较好的吻合度．从而验证了本文多尺度方法的有效性和正确性．     

多自由度分段光滑非线性系统的近似解——中华文物龙洗的自激振动

建立了由于摩擦引起的两个弹性体之间自激振动的数学模型.利用平均法求出了由干摩擦引起的多自由度分段光滑非线性动力系统的近似解析解,分析了搓动速度、振动频率与振幅的关系曲线,相位角与搓动速度的关系曲线,分析结果与数值解基本吻合.为研究多自由度分段光滑非线性系统提供了一种有效的近似解析分析方法.     

多自由度参激系统稳定性分析的数值解法

现有参激系统的动力稳定性问题研究主要集中在主不稳定区域上。为获得组合不稳定区域,基于Floquet方法,采用Bolotin方法在不同周期数下设解形式,结合特征值分析法得到确定多自由度参激系统动力不稳定区域的数值解法。对一个两自由度受周期轴向力的旋转轴系算例的稳定性分析,发现通过增加设解近似项数可获得高阶不稳定区域,且各阶不稳定区域边界随近似次数的增加逐渐趋于稳定,此外,增大阻尼可使各不稳定区域边界变得更加平滑。本文方法可用于一般多自由度周期参激阻尼系统,是一种简明易操作的直接数值解法。     

平方非线性振动系统1／2亚谐解的分析

采用二次近似的平均法，利用maple和matlab编制程序，对一类具有平方非线性的受迫振动系统进行了研究。得到该类系统主共振和1／2亚谐共振时的性态，研究发现对于二次非线性的系统只有采用二次近似才能得到较好的结果，并将该结果与数值积分的结果比较，发现所用的设解形式及二次近似均能较好的反映平方非线性项的影响。另外，研究还发现只有在一定的参数范围内才存在1／2亚谐解。本文的研究方法对分析非对称振动系统有一定参考价值。     

动力吸振器复合非线性能量阱对线性镗杆系统的振动控制

研究了线性动力吸振器复合非线性能量阱对线性镗杆在外部简谐激励下的振动控制. 忽略镗杆系统中的非线性因素, 建立了附加线性动力吸振器和非线性能量阱的镗杆系统的三自由度运动方程, 研究了附加复合式动力吸振器的镗杆系统的受迫振动. 通过平均法得到了附加复合式动力吸振器的镗杆系统的近似解析解, 并利用数值解验证了近似解析解的准确性, 两者具有很好的一致性. 利用近似解析解详细分析了线性动力吸振器和非线性能量阱的参数对镗杆振动抑制性能的影响. 对给定质量的复合式动力吸振器进行了参数优化, 其中线性动力吸振器参数采用H_∞优化方法的近似解析解进行了优化, 非线性能量阱的阻尼利用系统的近似解析解进行了优化. 分析结果表明, 线性动力吸振器与非线性能量阱组合可以有效抑制线性镗杆系统的振动, 而且采用参数优化后的复合式动力吸振器可以获得更好的减振效果. 通过附加非线性能量阱, 不但可以提高线性动力吸振器的振动抑制效果, 而且还可以提高振动控制系统的鲁棒性.      

类Pade逼近方法在二维非线性振动系统的应用

提出一种求解强非线性系统同异宿轨道解析解的改进类Pad\'{e}逼近方法, 该方法在分析带有扰动参数的系统时无需预先限定参数的取值范围. 首先研究了具有三次非线性项的系统,分析其产生同宿或异宿轨道时参数的取值范围, 分别提出直接体现参数的同宿及异宿解的设解通式, 据此获得了一类强非线性下的自治系统方程的同宿及异宿解. 其次, 对于非自治系统, 研究了具有三次非线性项系统的强迫振动, 直接考虑扰动参数对整个系统的影响, 得到了满足同(异)宿边界条件的周期解. 最后, 构造了两种不同形式的异宿解, 从而减少了保守系统异宿解的计算量. 借助数值模拟验证了该方法的有效性及精确性.      

应用于具有二次,三次非线性系统的增量谐波平衡法

本文导出了适用于具有二次、三次非线性的微分方程组的增量谐波平衡法，研究了扁拱的相加型和相减型的联合共振问题以及二自由度系统的强非线性振动问题，算例表明，增量谐波平衡法是一个求解多自由度系统强非线性振动的有效的半解析的数值方法。     

非线性振动系统的多项式向量方法

对于常微分方程描述的非线性振动系统,当采用摄动方法求近似解时,先是给出满足各阶近似解的二阶常微分方程组,继而依次对每一个常微分方程进行求解,以致多自由度非线性振动系统的求解过程相当繁琐.文章针对常微分方程表示的非线性振动系统,提出了一种求解非线性振动系统近似解的多项式向量方法,该方法将二阶常微分方程组表示成一阶状态方程组,将非线性部分写成常数矩阵和多项式向量之积的形式.然后,采用直接摄动方法,获得每个幂次近似解所满足的一组状态方程,此时状态方程的非线性部分成为常数矩阵和前一幂次近似解作为元素组成的多项式向量的乘积.进一步,借助Toeplitz矩阵将多项式向量之乘法表示成矩阵形式,以解决多项式相乘带来的幂次方系数的确定问题,再根据一阶非齐次方程组的求解方法,获得状态方程组的全部近似解析解.多项式向量方法将二阶常微分描述的非线性振动求解过程转换为一阶非齐次状态方程组的求解问题,计算过程主要是矩阵和向量之间乘法运算,提高了计算效率和程序化水平.     

FPK方程的近似闭合解

讨论了FPK方程的近似闭合解问题。假设FPK方程的解具有指数多项式的形式，利用比较系数的方法确定其中待定的常数。计算表明，本方法适用于强非线性系统，在特殊情形下还能求出原方程的精确解。     

保守系统弱非线性振动问题的插值摄动解法

用插值摄动法求得了一类保守系统奇次弱非线性振动问题的一级近似解，精度好，甚至比多尺度法还更好，计算过程简单。     

强非线性振动系统周期解的能量迭代法

对于完全强非线性系统：x^.. g(x) f(x,x^.)x^.=0,提出求周期近似解析解以及这些解的稳定性的新方法。式中，g(x)、f(x,x^.)x^.分别是x,x、x^.的非线性函数。方法是基于能量原理，求出其一次近似解析解，然后引进牛顿迭代思想，得到周期系统数微分方程，最后根据谐波平衡原理及最小二乘法求其高次近似解，高次近似解的表达式由计算机辅助推导。计算参考文献[2]和[3]中的例题，令其中ε=1，研究该完全强非线性系统的周期解及其稳定性，本文方法与龙格-库塔数值法算得的结果对照如图1-3所示，它们表明本文方法不仅有效而且精度较高。     

求单自由度非线性振动数值解的Taylor展开法

本文针对具体单自由度非线性振动系统建立了便于计算机实现的形式，求数值解Ｔａｙｌｏｒ展开法，给出实例与Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法进行比较，并应用于混沌解的计算．     

复合材料层合板1:1参数共振的分岔研究

针对复合材料对称铺设各向异性矩形层合板的物理模型,在同时考虑了材料、阻尼和几何等非线性因素后,建立了二自由度非线性参数振动系统动力学控制方程,并应用多尺度法求得基本参数共振下的近似解析解,利用数值模拟分析了系统的分岔和混沌运动.指出了伽辽金截断对系统动力学分析的影响,以及系统进入混沌的途径.     

非线性动力系统的频率近似法

给出非线性动力系统周期振动的频率近似法，本法将描述动力系统的非线性微分方程，化为以相角为自变量，振动频率为未知函数的积分方程，将弹性恢复力表示为线性及非线性两部分，从而得到积分方程的近似解，即频率的近似表达式。