三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

2005年湖南省高考数学试题(理10)的探究

2005年湖南省高考数学试题(理10):设P是△APC内任意一点,S△ABC表示△ABC面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,f(Q)=(12,13,16),则()(A)点Q在△GAB内.(B)点Q在△GBC内.(C)点Q在△GCA内.(D)点Q与点G重合.此题是较好的能力创新题,主要考察学生对轨迹思想的认识.由题目中的定义,参照有向线段定比分点知识,我们可以做以下定义:定义1设P是n边形A1A2…An(n≥3)内任意一点,S表示该n边形的面积,1λ=S△PA2A3S,λ2=S△PA3A4S,…,nλ=S△PA1A2S,若定义…     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

一道排列、组合高考题的延伸

2005年湖南省高考数学试题（理10）：设P是ΔAPC内任意一点，S△ABC表示△ABC面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

向量命题的两种推广

文[1]用两种方法证明了向量命题：命题若P是△ABC内部一点,且λ1PA→＋λ2PB→＋λ3PC→=0→（λ1,λ2,λ3〉0）,记S△PBC=SA,S△PAC=SB,S△PAB=SC,则SA∶SB∶SC=λ1∶λ2∶λ3.     

考点43 综合题与创新题

1.(湖北卷,6)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0f(x1)+2f(x2)恒成立的函数的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.(湖南卷,10)设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=SS△△PABBCC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=SS△△APABCB,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3).若G是△ABC的重心,f(Q)=(21,13,61),则().(A)点Q在△GAB内(B)点Q在△GBC内(C)点Q在△GCA内(D)点Q与点G重合3.(全国卷,12)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号.这些符号与十进制的数的对应关…     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

用代数解平面几何题

如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°.延长CA至D使AD=BC,在CD上取ED=CD-AB,在CB上取CF=ED,连接FD交AB边于G,求证:S△CDF>S△ABC.图1证明如图1,记BC=a,CA=b,AB=c,于是有S△ABC=12ab,依题意有S△CDF=12(a+b)(a+b-c).比较S△ABC与S△CDF.S△CDF-S△ABC=12(a+b)(a+b-c)-12ab=12[(a+b)2-(a+b)c-ab]=12[a2+b2+2ab-(a+b)c-ab]     

双曲线的一个性质

<正>本文拟介绍一个关于双曲线的性质.首先看如下性质:如图1,若AD∥BC,则S△ABC=S△DBC;反之,若S△ABC=S△DBC,则AD∥BC.下面利用这个性质给出双曲线的一个性质:情形1如图2,点M、N是双曲线y=k/x(k>0)第一象限     

对三角形的一个性质的再探究

文[1]提出了三角形的一个“性质”并给出了证明,文[2]又给出了“性质1”并且也给出了证明.受它们的启发,本文也将有关性质进一步探究推广.设P是△ABC所在平面内任意一点(不在△ABC三条边所在直线上),S△ABC表示△ABC的面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

一道值得关注的高考选择题

2005年高考湖南卷(理科)第10题是一道值得关注、探究的创新试题,现摘录如下：设P是△ABC内任意一点,S_(△ABC)表示△ABC的面积,λ_1=S_(△PBC)／S_(△ABC),λ_2=S_(△PCA)／S_(△ABC),λ_3=S_(△PAB)／S_(△ABC),定义f(P)=(λ_1,λ_2,λ_3)。若G是△ABC的重心,f(Q)=(1／2,1／3,1／6),则( )。 (A)点Q在△GAB内 (B)点Q在△GBC内 (C)点Q在△GCA内 (D)点Q与G重合据高考阅卷情况反馈,该题得分率很低,究其原因,很多考生觉得该题情境新,题意不易理解,入手困难。下面先介绍两种解法。     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

对一道竞赛题的变式探究

<正>试题(1991年全国初中数学联赛)如图1,正方形OPQR内接于△ABC.已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1,S2=3和S3=1.那么正方形OPQR的边长是().(A)21/2(B)31/2(C)2(D)3解析设正方形OPQR的边长是x,过A作AD⊥BC,垂足为D,AD交OR于点E,则     

三角形的“极矩”不等式及其应用

命题设有面积为S的△ABC及面积为S＇的矩形DBFG,且矩形两顶点D、E在BC边上,矩形两顶点G、F分别在△ABC的边AB、AC上(如图1),则有不等式:S＇/s≤1/2此式当且仅当AF=FC,AG=GB时等号成立。证明设△ABC中,BC边上的对应高为h,底达BC=a,矩形的两边GD、GF分别为x、y,则有: y/a=AG/AB=h-x/h,∴y=a/h(h-x),故S＇=xy=a(hx-x~2)/h=-a/h(x-h/2)~2+a/4h≤1/2s。上式当且仅当x=h/2,即G,F为AB、 AC中点时,等号成立。     

三角形等圆线的性质

如图 1 ,D为△ ABC边 BC上的点 ,若△ ABD与△ ADC内切圆相等 ,则把线段 AD叫做△ ABC的等圆线 .文 [1 ]论证了等圆线的存在性和唯一性 ,本文给出等圆线的几条性质 .下面的讨论中 ,p、p1、p2 分别是△ ABC、△ ABD、△ ADC的半周长 ,γ、γ′分别是△ ABC与△ ABD、△ ADC的内切圆半径 ,BC= a,CA =b,AB =c.定理 1　若 AD是△ ABC的等圆线 ,则AD2 =p( p - a) .　　证明　如图 1 ,由S△ ABD S△ ADC=S△ A BC,得　 r′p1 r′p2 =rp即　 r′r=pp1 p21由图 1易知p1 p2 =p AD 2　　　　 图 1若 I是△ ABC内心 ,…