在极坐标系中如何求曲线的交点

在直角坐标系中求两条曲线的交点，是通过联立两曲线方程求解而得到．但在极坐标系中求两曲线交点，直接通过解联立方程不一定能求出所有的交点，往往会漏解．不过我们可以修改联立方程后，就可象在直角坐标系中解联立方程一样简单、方便地求出两曲线的所有交点．在极坐标...     

极坐标系下曲线的周期

本文是1966年的旧稿。最近看到文[1],于是对原稿作了部分修改,并评论了[1—3]中的有关部分,当否,请大家指正。     

极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

求极式方程的曲线的交点

坐标系的建立,使数形结合成为现实.一方面我们可以“就数论形”,另一方面也可以“以形释数”,这两方面是形与数的对立统一,也正是解析几何的精髓. 关于求两曲线的交点,在直角坐标系中,由于点p和有序实数对(x,y)建立了一一对应的关系,那么只要联立二曲线的直角坐标方程,并将该方程组解出:如果有解,则二曲线有交点,交点坐标即方程组的解;如果无解,则二曲线无     

曲线在极坐标系中的旋转

在高中数学的极坐标部分 ,有些问题所给出的极坐标方程比较复杂 ,如果把曲线绕极点作适当旋转 ,方程会变得比较简单 ,这样将便于研究曲线的有关性质 .本文将研究曲线在极坐标系中的旋转问题 .首先以Ｏ为极点 ,Ｏｘ为极轴建立极坐标系 .设曲线Ｃ的方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,现在把曲线Ｃ绕极点Ｏ按逆时针方向旋转角θ0 ,得曲线Ｃ′ ,下面我们求曲线Ｃ′的极坐标方程 .设Ｍ′(ρ′ ,θ′)为曲线Ｃ′上任意一点 ,若它是由曲线Ｃ上的Ｍ (ρ ,θ)旋转而得到的 ,则 ρ′ =ρ ,θ′ =θ θ0 ,　 ρ =ρ′ ,θ =θ′ -θ0 .代入ｆ(ρ ,θ) =0 ,得 ｆ(…     

极坐标系下曲线周期的探讨

关于极坐标系下曲线的周期,文[1—2]都有过讨论。但是,他们不仅未给出判定周期的充要条件,而且周期定义本身也存在一些问题。事实正如文[3]所指出的“揭露周期概念的本质不是轻而易举的”。然而,极坐标系下我们所感兴趣的大量曲线都呈现某种     

极坐标系

极坐标系王爱民（安徽省潜山县野寨中学２４６３０９）课型；新授课（１课时）．教具：三角板、投影器、投影片．重点：极坐标系的建立，由点求极坐标和由极坐标找点，点与极坐标的对应关系．难点：当ρ＜０时，如何由坐标（ρ，θ）找点，如何确定点Ｍ（ρ，θ）的极角；...     

关于极坐标系的几个问题

极坐标系以及在极坐标系中两点间的距离公式,直线方程、圓的方程,圆锥曲线的统一方程,由方程讨论曲线的对称性,直角坐标与极坐标的互化等问题在一般的平面解析几何的教科书中都有较详尽的叙述。本文就上述以外的某些问题作了一些讨论,这对进一步理解极坐标系是有必要的。     

极坐标系中曲线f(ρ,θ)=0对称性的讨论

为简化极坐标方程f(ρ,θ)=0的作图,往往先要就方程对曲线的对称性加以讨论,通常给出的判断条件为f(P,0)二f(P,一0)或f(P,0)二f(一p,二'0)f(p,6)二f(一p,一0)或f(p,0)若f(p,二一0)f(p,0)二f(一p,0)·或f(p,0)二f(p,二 0)曲线的对称性对称于极轴对称于极垂轴对称于极点利用表中所列条件判断曲线f(p,0)=o是否具有某种对称性     

极坐标系的旋转公式

人教版《平面解析几何》(必修)P144第10题：O是极点,Ox是极轴,点M的坐标是(ρ,θ),把Ox绕点O旋转角度α以后,Ox转到Ox’的位置,对于新的极坐标系,点M的坐标是（ρ‘,θ‘),求点M的新旧坐标之间的关系。     

极坐标系中旋转公式的几个应用

1问题的引入武汉市98年5月调考中有一道选择题：极坐标方程产一一百二二77一一了一二一一一一一二———、·””－‘／了十sino—COS5所确定的曲线是（）．（A）圆（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线学生在解答时采取了如下两种做法：其一是将极坐标方程化为直角坐标方程来判断，由原方程可得将两边平方后整理得：X’十ZXy十／一4X十4y一4一0．至此，由于这个方程超出了现行中学教材（必修本）的范围，学生无法判断方程表示什么曲线．少数学生据经验猜出了答案，理由是：含Xy项，故排除（A）；X’，／项系数相等，排除（＊）；X’，／…     

用极坐标系解题举例

<正>在解析几何中有两种坐标系,即直角坐标系、极坐标系.同学们对直角坐标系比较习惯,而对极坐标系,常常想不到、用不上.事实上,极坐标应用十分广泛,运用得当则解题过程就很简单,现举例说明.例1已知过抛物线y~2=2px的交点F且与对称轴不垂直的直线交P、Q两点,PQ的     

分片代数曲线交点的结式求法

本文对确定分片代数曲线的二元样条函数的整体表达式中的截断引入参数表示,给出了分片代数曲线交点的结式求法．理论与实例表明,这种算法是有效的．     

极坐标系下圆的方程

我们知道 ,在直角坐标系中 ,圆有标准方程和一般方程 ,那么在极坐标系中 ,圆的标准方程和一般方程又是怎样的呢 ?1　极坐标系下的圆求圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .设Ｍ ( ρ ,θ)是圆上任意一点 ,根据余弦定理得ｒ2 =ρ2 ρ20 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ,即 ρ2 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ρ20 -ｒ2 =0 ( 1)方程 ( 1)就是圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .我们把它叫做极坐标系下圆的标准方程 .把圆的标准方程展开得 ρ2 - 2 ρ0 ｃｏｓθ0 ·ρｃｏｓθ -2 ρ0 ｓｉｎθ0 ·ρｓｉｎθ ρ20 …     

极坐标系下的图形旋转

法则　设曲线Ｃ的极坐标方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,把曲线Ｃ绕极点逆时针方向旋转角α (0 <α <π)得曲线Ｃ′ ,则曲线Ｃ′的极坐标方程为 :ｆ(ρ ,θ-α) =0 .例 1　 (1999年高考题 )在极坐标系中 ,曲线 ρ=4ｓｉｎ(θ - π3)关于 (　　 )(Ａ)点 (2 ,π3)中心对称 .(Ｂ)直线θ=5π6 轴对称 .(Ｃ)直线θ=π3轴对称 .(Ｄ)极点中心对称 .解　因为 ρ =4ｓｉｎθ的图形是圆心在 (2 ,π2 )半径为 2的圆 ,如图 1(1) ,只须把此圆绕极点按逆时针方向旋转 π3,即得曲线 ρ =4ｓｉｎ(θ - π3) ,此圆的圆心为 (2 ,5π6 ) ,如图 1(2 ) ,故选 (Ｂ) .(1 )　…     

极坐标系中平面区域的分类与实例分析

针对极坐标系中二重积分计算教学与学习过程中出现的疑惑与问题,给出了极坐标系中积分区域分类的定义和图形展示,并就如何将复杂区域分割成极坐标系中的简单区域和构建相应简单区域的不等式描述形式的方法进行了分析,并借助具体实例对方法进行了验证.     

疑难与解惑：关于“曲线与方程”在极坐标系和直角坐标系下的区别

考虑极坐标系下的两条曲线ρ =11-ｃｏｓθ ( 1)和 ρ =2ｃｏｓθ- 1( 2 )曲线 ( 1)是我们所熟悉的抛物线 ,关于极轴对称 ,开口向右 ,且顶点坐标是 ( 12 ,π) .图 1　蜗线曲线 ( 2 )是一条蜗线 ,关于极轴对称 ,同学们不妨用描点法把它作出来 ,其形状如右所示 .现在的问题是 ,这两条曲线有交点吗 ?如果有 ,有多少个 ?如何求交点 ,按照直角坐标系下的办法 ,只要求出它们方程的公共解就可以了 .由此 ,我们将方程 ( 1)和 ( 2 )联立起来 ,消去 ρ ,得11-ｃｏｓθ=2ｃｏｓθ - 1,整理 ,得2ｃｏｓ2 θ - 3ｃｏｓθ 2 =0 ( 3)令ｃｏｓθ=ｔ ,得2ｔ…     

在一般曲线坐标系中△u的表示式

本文用[4]中的方法推导了在一般曲线坐标系中△u的表示式。     

关于选择坐标系

在解析几何中,用解析法证明几何图形的性质时,坐标系选得好可以使证明简便;从曲线求它的方程(坐标系未给定)时,坐标系选得好,则方程简单,选得不好,则方程复杂。那么坐标系应怎样选取呢?这要针对具体问题作具体分析。一般说来,用解析法证明几何图形的性质时,选取图形上的一个点作原点,就能使这点的横纵坐标均为0,选取图形中的一