中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

模糊数四则运算的交点-间断点法

对模糊数的四则运算提出了一种交点-间断点法:将模糊数的加法、减法和除法运算,化为求两个函数在某区间上其交点处的值;当交点不存在且两函数在该区间上的间断点为有限个时,将其运算化为求一函数在这些间断点处及区间的两端点处的最大值;将模糊数的乘法运算,化为用交点法或间断点法分别在两个区间上求出相应的值,然后取它们中最大者。     

与拋物綫有关的一个式子

先叙述并証明一定理,然后說明这一結果的用处。定理。設拋物綫y=ax~2与直綫y=bx+c有两个交点,其横坐标分別为x_1,x_2。并設a≠0,b≠0,b~2+4ac>0,x_3是y=0与y=bx+c的交点的横坐标。     

关于数的概念进一步扩充的可能性問題

从实数出发,引进两个单位:实单位(1,0)=1与虛单位(0,1)=i,我們可以建立包含全部实数的形状如a+bi=a·1+b·i的复数系(当b=0时,a+bi=a就和实数a一致)。这时,我們可以在新数系中引进算术运算,并且保持在实数系中成立的全部基本运算律(加法的交换律与結合律,乘法的交換律与結合律,乘法对加法的分配律等等)。自然,細心的讀者可能会产生这样的問题:能不能再进一步扩充数域呢?确切地說:是不是可以把复数本身作为更广泛的一类数的特殊情况,而这类数也是从实数出发,但借助于两个以上不同的单位而建立起来的,并且还能保持全部的基本运算律呢? 这个問題的答案是否定的。就是說:原则上不可能再进一步扩充数域并且使得算术运算的全部基本运算律仍被保持。但是,如果可以舍去其中几条,那么这种扩充仍是可能的。     

中等學校中的非歐幾何(再續)

附录1,第五公设可以用許多其他的命題來代替。在現代的教科書中,通常是以英国數學家普賴依費爾所提出形式,來給出平行線公理。 過直綫外之一點只能引一條直線平行於已給的直綫。換句話說:过直綫外之一點,不可能引兩條直錢平行於已給的直线,     

关于几何作图的合理方法

在新的八年制学校数学教学大綱的說明中,很注意让“学生經常运用最合理的作图方法”。但因为到現在为止,在教学法的书籍中几乎沒有指出这点。那么,不能說教师在实际教学中已經运用了最合理的作图方法。經驗証明,当存在較簡单的作图方法时,学生通常还是利用过去的方法。我們来举几个例子: 1.利用直尺作角的平分綫。利用双面直尺很容易求得与角的两边等距离的二直綫的交点M(图1a,b)。所求的点同角的頂点A一起就决定了角平分綫。     

复数計算与几何証題

同学們在代数課程中学习复数这一部分的时候,一般对复数的代数演算注意得比較多,而对这种数及其运算的几何意义注意得比較少。其实,复数及其运算的几何解释在数学中有着重要的地位,在物理学、力学中有着广泛的应用。在这一讲中我們要比較詳細地解释一下复数及其四則运算的几何意义,并且用一些有趣的例子来說明怎样利用复数演算来証平面几何題。一、复数的几何意义大家知道,如果我們在平面上引进一个笛卡儿坐标系,那么任何一个复数     

复数及其在几何中的应用(續)

4.作为平面的定向直綫的对偶数。以下我們将几乎只跟定向直綫打交道,所以常略去“定向”两字。我們把定向直綫a和b間的定向角/{a,b}叫作直綫a和b間的角(参見本刊7月号P.45);把直綫l上的綫段AB的定向长叫作点A和B間的距离,記作{A,B},它是通常的长度加上一个“正”或“負”的符号,这个符号看由A到B的方向是否与     

談談中学立体几何中的平面的基本性貭

我們知道,中学几何并沒有按照严格的公理体系来进行研究,这是为了照顾学生的接受能力。因此,中学几何課本中的公理,只是在不违反科学性的原則下,选用了一些既明显而又适当照顾到推理中經常需要的事实,作为几何中推理的原始依据。在高級中学課本立体几何(暫用本)中,采用了以下三条作为平面的基本性貭,即(1)如果一条直綫上的两点在一个平面內,那么这条直綫上所有的点都在这个平面內;(2)如果两个平面有一个公共点,那末它們相交于經过这点的一条直綫;(3)不在一条直綫上的三     

中学平面解析几何課中“直綫”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“直线”这部分的具体内容主要包含“直綫的傾斜角和斜率”、“直綫方程的一般形式”、“直綫方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式”、“点与直线的位置关系”、“直綫与直綫的位置关系”等五部分。其中直綫的傾斜角和斜率这一部分,有些課本是放在第一章直角坐标系中讲的。在这五部分的教材中,一般常是这样編排的: 1.直綫的傾斜角和斜率; 2.直綫方程的点斜式、斜截式,两点式、截距式; 3.直綫方程的一般形式;     

数学问题解答

第9期问题编者按.这一期的問題里有打上星号*者,是編輯部极欢迎讀者給本刊投寄題解的題目。其题解研討将于年終发表。 493.证明在調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…中划掉所有在分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数(湯正誼提)。 494.设直綫PO与平面M相交于O,过O在平面M內引直綫OA,OB,OC,若PO与OA、OB、OC成等角,那末PO垂直于平面M(张美新)。 495.如果p和q是“孿生”素数(即相距为2的一     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯

§ 1 在黑板上画一个半径为15cm的圆,过离圆心10cm的一点作一条直綫。显然,这条直綫交圓于两个点。这一知識是由实驗方法得到的。 設想在平面上画一个半径为15,000,000公里的圆,过离圓心10,000,000公里的一点作一条直綫。当然,你們会說,这条直綫也是与圆相交于两个点。你們并沒有看見这个圆,这条直綫也沒有真正作出来,你們这个信念的根据是什么呢?不可能实际地証实这样的直綫与圆相交。即使要証明这个定理也并非易事,而在中学阶段是不可能証明的。你們这个信念是一定的經驗与直觉所给与的。中学数学課不是、也不可能是具有严密邏輯系统的課程。許多数学事实是由实驗方法得到的,而只有一部分才經过了邏輯证明。为了改进数学教学,必須正确地理解在学生获得知識的过程中,实驗、直觉与邏輯的相互关系的意义。     

曲面成为平面的条件

有些課本把下面这个平面的性貭(公理):“如果一条直綫上的两点在一个平面內,那末这直綫上所有的点都在这平面內”作为鉴定一个面(称曲面更合适)是否为平面的准則。事实上这个公理仅仅給出曲面成为平面的必要条件,只有当我們証明了这个条件也是充分条件时,才能确立这个鉴定平面的准則。就直觉     

对A.C.巴尔霍民柯著:“黎曼式非欧几何”的一点注釋

“黎曼式非欧几何”发表于数学通报1963年第1期。本文所提的注释就是要严格証明:若采用黎曼几何的关联公理:平面內二直綫恆相交,則不能同时采用欧几里得的关联公理、順序公理、合同公理;也不能同时采用欧氏几何的关联公理、順序公理、連續公理。定理1.利用欧氏几何的关联公理、順序公理、合同公理,可以証明平面上存在着两条不相交的直綫。 証.平面上至少有一条直綫a及a上至少有A,B两点,如果过A,B两点关于a的垂直綫c,d交于一点C的話,那末△ABC的一个外角等于它不相邻的內角,这与合同公理的推論——外角定理矛盾。所以平面上有不相交的两条直綫c,d。     

圓錐曲线

本文共分六节,概述圓錐曲縷綜合讲法及代数讲法的要点,并闡明三个定义的等价性。一般书中常見的証明及推导概行略去。最后述及它們的一些应用及共发展略史。 51.直圆錐面的平截綫 設有两条相交直綫。如果固定其中一条并交点,而使另一条在空間围繞这条定綫旋轉,則所产生的曲面叫做直圓錐面。該定点和定綫分別叫做它的頂和轉。当动綫固定在某一位置时叫做它的元綫。由于頂把每条元綫分成两条半綫,故錐面也被頂分成两部分,其中每一部分都叫做半錐面。每一个半錐面上任意半元綫与軸所成的角永远相等叫做半頂角。     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

三点共线的向量表示及其应用

<正>三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等(斜率存在)证明;在立体几何里,可以利用公理2(若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线)加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.向量作为"数"与"形"的结合体,为处理三点共线的问题也提供了一个非常重要的依据.     

在立体几何“直綫与平面”一章教学中的点滴体会

立体几何中直綫与平面这一章系統地研究直綫和平面的各种位置关系以及其他的重要性貭。它是研究第二章——多面体和旋轉体的一个理論基础。这一章教学效果的好坏,对以后教学的影响很大。因此,在教学中,必須要求学生对这一章教材理解透彻,掌握牢固,并能正确熟练的运用。学生学习这一章教材,一般感到有些困难。据了解,主要存在两方面的困难。一个是:对有关直綫和平面的一些基本知識理解不够清楚。另一个是:不会画空間图形或画出来的空間图形不够直观。分析其原因,因为同学长期学习平面几何,习惯于看平面图形,因此由平面几何刚轉到立体几何学习,就会感到有些不习慣。平面图形画在同一平面內,很直观,很容易理解,但空間图形就不可能完全放在同一个平面內,通常是利用看起來和空間图形大致类似的一些平面图形来     

中学平面解析几何课中“直角坐标系”部分的教学

在中学平面解析几何課中,一般都从标题为“直角坐标系”的一章开始,其具体內容主要包含“有向綫段”、“平面直角坐标系”、“两点间的距离”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”等五部分。不言而喻,这一章的教材是这門課的最基础部分,学生只有将这一章学好了,才算是掌握了研究解析几何的最基本的工具,才有可能学好以后的各章教材。但是,如果将上述五部分联系起来,则又不难看出:由于“有向綫段”部分主要的是解决有向綫的概念、直綫上点的坐标、計算有向綫段的数量公式等問題,因此它是“平面直角坐标系”部分的理論基础。而对于“两点间的距离公式”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”这三部分说来,由于它們都是利用有向綫段的数量公式,根据“平面直角坐标系”中的知識来解决的,因     

三点共线的向量表示及其应用

三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等（斜率存在）证明;在立体几何里,可以利用公理2（若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线）加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.