剖析直线与双曲线位置关系的解题误区

直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们组成的方程是否有实数解和实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．在用代数法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线方程和曲线方程联立,根据判别式△研究二次方程解的个数,但是在研究直线与双曲线的位置关系时存在以下常见误区．     

学习实数要注意些什么?

实数是有理数和无理数的统称 .从有理数到实数实际是数的范围的扩充 ,学习有理数到无理数的过程 ,实质上是学习实数的过程 ,是从有限小数和无限循环小数扩充到无限不循环小数 (即无理数 )的过程 .因此在学习实数时要充分认识实数的真正含义及实数的一些非概念的因素 :1 .实数a的相反数是 -a,符号相反的两数的绝对值相等 ;注意不要忽略 0的相反数也在其中 .0虽然没有正负符号之分 ,但它仍然存在相反数 .因此 ,求实数的倒数时应除 0外 .2 .数轴上每一个点都表示一个实数 ;相反 ,任何一个实数都可以在数轴上找到一个点表示 (可以是有理数或无理…     

用分类讨论化解多解问题

<正>多解问题在初中数学中屡见不鲜.很多同学在遇到这类问题时,经常会考虑问题不够全面,以致于出现漏解.现列举几例与同学们分享.例1 在数轴上,点A表示的数是—5,与点A距离3个单位长度的点B所表示的数是______.分析 (1)数轴是一条直线,它有正、负两个方向.问题中只是提到点B距离点A是3个单位长度,没有明确点B与点A的位置关系.     

函数及其图象的教与学研究

第１课　平面直角坐标系（一）（启读指导课）　　一、启发提问１．规定了、和的直线叫做数轴,数轴上的每个点都对应着一个,数轴上的点与实数是对应的．２．轴对称是关于对称;中心对称是关于对称．所以对称轴一定是一条,对称中心一定是一个．３．求一个已知点关于坐标轴对称的对称点坐标和关于原点对称的对称点坐标有什么规律．二、读书指导１．由两条具有且互相的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面内任一点的位置可以由一对表示,前面的数是点的,后面一个是点的,顺序不能颠倒．如实数对（３,－２）与（－２,３）它们的顺序不同,所…     

利用几何画板在数轴上找无理数π的对应点

我们知道数轴上的点与实数是一一对应的,怎样更好地让学生感受到无理数的存在,加深对无理数的理解是学习实数的一个难点,下面我们介绍利用几何画板作圆的展开,在数轴上找到无理数π.如图1,向右拖动圆心,圆就会逐渐展开,当点N′落到数轴上时,在数轴上与之重     

有限与无限思想的应用举例

<正>有限与无限思想是高中数学七种常用数学思想之一,在学习过程中,虽然开始学习的数学都是有限的数学,但是其中也包含着无限的成分,只是没有进行深入的研究.例如,对自然数、整数、有理数、实数和复数的学习都是研究有限个数的运算,但各数集内元素的个数都是无限的,它们均是无限集;直线和平面都是可以无限延伸(或延展)的,利用导数研究函数的有关问题、双曲线的渐近线、古典概型与几何概型等,都渗透了有限与无限思想,因此用诗人     

初中生对无理数概念的理解

一、问题的提出: 　　相对有理数而言,在中学阶段无理数是一个较易被忽视的内容,然而它是构成整个实数系不可缺少的一部分,我国的义务阶段数学课程标准中指出:了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应.……     

利用对应原理解排列组合题

数学解题的一个基本思想就是设法将问题化归为熟悉或已经解决的问题 .利用对应原理可以把有些排列组合题转化为另一类容易求解的排列组合题 .以下略举几例 ,说明对应原理在解题中的应用 .例 1　圆上有 1 0个不同的点 ,由这些点连成的弦在圆内最多能有几个交点 ?分析与解　当任两条直线有交点且交点不重合时为最多 ,此时圆内任意一个交点 ,都是由圆上 4个点唯一确定 ,即每个交点都对应着一个四个点的组合 ,故最多有Ｃ410 =2 1 0个交点 .例 2　已知平面内水平方向有四条平行直线 ,竖直方向有三条平行直线 ,它们可以组成的平行四边形的个数是多…     

注意教材的配套处理

每次讲不等式一节，总对课本中的一段话："从实数减法在数轴上的表示可以看出，a，b之间具有以下性质：感到难于处理．什么是实数减法在数轴上的表示？教材在前面部分并没有讲过有关内容，学生理解起来感到吃力．教学中偶然发现：若先讲解析几何中第一章有向线段的数量的坐标表示法，再来讲两实数减法在数轴上的表示，学生理解起来就容易多了．因为在前面我们讲了：数轴上的任意两点A、B所表示的有向线段BA的数量（按A、B、O三点不重合的六种情况，重合的四种情况，共十种。情况证明）BA＝a－b揭示了两实数a、b的减法在数轴上的表示，实…     

浅谈数形结合的初步学习

数形结合是数学研究的重要方法 ,掌握好数形结合的实质和方法 ,对于学习中学数学 (包括初中数学和高中数学 )的重要内容———函数 ,具有举足轻重的意义 .本文主要从下面几个方面谈谈怎样学好数形结合的初步知识 .一、要弄清什么是数形结合什么是数形结合呢 ?我们可以通过一些同学们很熟悉的知识来理解数形结合的意义 ,例如 :1 .数轴上的点与实数是一一对应的关系 .如图 ( 1 ) ,点A与实数 -2对应 ,的 ,点B与实数 1对应等等 .我们知道“点”是构成图形最基本的元素 ,在这里 ,“点A”“点B”就是“形” ,而它们分别与实数 -2 ,1对应 ,这是“…     

直线与圆位置关系解题探索

直线与圆位置关系有三种:相离、相切、相交,关于直线与圆位置关系的题目较多,知识综合较强.研究这类型题目的常用方法有:代数方法,即讨论直线与圆方程组成的方程组实数解的个数;几何方法,即由圆心到直线的距离与半径作比较.下面就这类型问题的解法具体分析,以供参考.     

谈“实数大小比较”的教学

实数的大小比较是学生应掌握的基础知识、基本技能。但是,在初中代数第三册“数的开方和二次根式”中出现了实数以后,并没有提到它的大小比较,这就使得学生在做该章练习及后续学习中遇到有关的习题时,既无明确的指导思想又缺少具体的比较方法。对这个问题很有必要引起教师在教学中予以重视。下面谈几点建议供参考。一、在复习有理数大小比较法则的基础上,建议引伸出下列三种比较实数大小的方法。用数轴上实数点的左右位置关系参照有理数的大     

直线与双曲线交点问题的图解

<正>题目已知直线l:y=kx+1(k∈R),双曲线c:x~2-y~2=1.试求k的取值范围使直线l与双曲线c:(1)只有一个公共点,(2)有两个公共点,(3)没有公共点.分析直线与二次曲线的公共点个数问题即直线方程与曲线方程构成的方程组的解的个数问题,因此问题转化为确定方程组的解的个数问题.     

绝对值几何意义的探究与应用

<正>绝对值的几何意义:|x|的几何意义是数x在数轴上对应的点到原点的距离.|x-a|的几何意义是数x在数轴上对应的点到另一个数a在数轴上对应的点的距离,我们也可以理解为函数y=x与y=a的高度差.利用绝对值的几何意义,我们可以更有效地解决以下两类问题.问题一多个绝对值求和的最值问题     

问题与解答

一、本期问题 1.设曲线y=ax~2+bx+c(a,b,c为实数)与直线y=x及y=-x均不相交。试证对一切x∈(-∞,∞)都有 |ax~2+bx+c|>1/(4|a|)。 2.在五个连续的自然数中恰有三个数成公比为自然数的等比数列。求出这五个连续的自然数。 3.一直线通过线段AB的中点O,直线与线段AB的一个夹角为θ且0<θ<π/2,动点P在直线上变动,证明tgθ/2 ≤PA/PB≤ctgθ/2。     

一道数轴上动点考题的探究性学习实践

<正>七年级期末试卷常常以数轴上的动点问题为核心考点,这也促成了同学们在期末复习计划中将数轴上的动点问题作为自己学习的重心.其实,以数轴为载体的动点问题学习需要我们细心挖掘题目中的信息,关注点之间运动变化的全过程,分析其中的常量、变量以及它们之间的特征关系,实现一题多解和运用变式训练,这为我们学好数学指引明方向.     

浅谈直线标准式参数方程化二维为一维的解题功能

运用直线的标准式参数方程 ,可以将直角坐标系内的某些问题化为数轴上的问题 ,从而在解决直线与圆锥曲线关系的问题中有其独特的作用 .本文拟从直线标准式参数方程的概念和基本运用两方面阐述这一降维工具 .1　深刻理解参数方程的概念是灵活运用的前提1.1　直线标准式参数方程是实现点的二维坐标和一维坐标互相转换的解析化工具图 1　直线的参数方程在直角坐标系中过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 )、倾斜角为α的直线ｌ在规定了Ｍ0 为原点 ,直线向上 (或向右 )的方向为正向 ,就成了一条数轴 .我们称其为ｔ轴 .ｌ上任一点Ｍ在直角坐标系中的坐标为Ｍ (…     

利用复数乘法解决垂直问题

两条直线的垂直关系是一种重要的图形位置关系,在复平面上利用复数乘法的几何意义有时可以很方便地处理垂直问题. 首先我们有下面的结论: 设zA、zB是两个非零复数,它们在复平面上对应的点分别为A、B,则OA⊥OB的充要条件是zB=zA·(?)i.其中(?)为非零实数,i为虚数单位. 还可以推广到一般的情形: 设zA、zB、zC、zD是四个复数,且zA≠zC,zB≠zD,它们在复平面上对应的点分别为A、B、     

数轴——数形结合的解题工具

<正>我国著名数学家华罗庚曾经说过:"数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞."图形能增强数、式的直观性.数轴是研究数学的重要工具,它是数和形结合的基点,在代数和几何之间起着不可替代的桥梁作用.对于某些代数问题,若能灵活应用数轴,不仅能够化难为易、化繁为简,而且解法直观、明快.下面从几道例题来谈谈数轴在代数问题中的妙用.一、运用数轴进行实数大小比较     

数形结合在一类无理式函数问题的应用

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学.数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系,分析它的代数意义(即数量关系),理解它的几何意义,使数量关系和空间图形巧妙和谐地结合起来.充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度,灵活地进行数与形关系的转化来解决问题.数形结合和转化可起到化抽象为直观的"以形辅数"作用和化直观为精细的"以数解形"作用. 在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴,即实数与数轴上的点存在一一对应关系;在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系,即有序实数对(a,b)与坐标系中的点存在一一对应关系.笔者试从"以形辅数"的角度解析一类无理函数问题.