任意两条抛物线相似

在平面几何中，我们曾经研究过两个图形的相似问题，如两三角相似问题．由两图形相似的概念（见文[1]）可知任意两圆是相似图形．下面叙述一个事实：任意两抛物线是相似图形．     

任意两条抛物线相似

在平面几何中，我们曾经研究过两个图形相似问题，如两三角形相似问题．由两图形相似的概念(见文1)可知任意两圆是相似图形．下面叙述一个事实：任意两抛物线是相似图形．     

相似抛物线的一组性质

文[1][2]分别讨论了相似椭圆和双曲线具有的性质,而所有的抛物线都是相似的,那么相似抛物线是否也具有类似的性质呢?笔者经过研究,发现相似抛物线也具有与文[2]中的定理3完全相同的性质.     

关于抛物线的一个命题的再推广

文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1　常态二次曲线Φ :Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0上有一定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和异于点Ｐ的两动点Ｑ ,Ｒ ,则ｋＰＱ·ｋＰＲ=λ(≠ ＡＣ)为定值的充要条件是动直线ＱＲ恒过定点Ｍ (ｘ0 Φ1λＣ -Ａ,ｙ0- Φ2λＣ -Ａ) ;ｋＰＱ·ｋＰＲ =λ =ＡＣ 的充要条件是ｋＱＲ =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｄ ,Φ2 =Ｂｘ0 2Ｃｙ0 Ｅ) .证　作平移 :ｘ′ =ｘ -ｘ0 ,ｙ′ =ｙ - ｙ0 ,代入Φ(ｘ ,ｙ) =0得Ａｘ′2 Ｂｘ′ｙ′ Ｃｙ′2 Φ1ｘ′ Φ2 ｙ′ =0 (1)设Ｑ…     

也谈曲线相似

我们学过相似多边形，你可曾注意过相似曲线？在千姿百态的曲线世界中，分清哪些曲线具有相似性质，对于我们认识各类曲线的“面目”是十分有益的．文[1]就证明了所有的抛物线相似，本文再给出一种判定曲线相似的方法．     

又探相似双曲线和相似抛物线的性质

文[1]作者对相似椭圆的性质作了探究,得到了一些漂亮的结论.笔者通过类比、联想得到了有关相似双曲线的一些性质,现将它们叙述如下:定理1给定双曲线S1:     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

二次曲线的反比对称性

在给出反比对称的定义后,本文将导出二次曲线的两个性质.以定点O为圆心,定长r为半径作圆,设A1是不在圆上的任一点,过A1和O作直线l交圆于B1B2两点(图1).记B1A1=K.OB1(K≠0),则在l上必存在一点A2,使得B2A2=1k.OB2,即可写出等式B2A2.B1A1=OB2.OB1(1)这里称A2是A1关于定圆的反比对称点.显然,交换B1和B2的位置后,A2的反比对称点为A1,因此,可称点A1和A2关于定圆成反比对称.不过,对一确定的A1,它的反比对称点A2的位置与点B1和B2的选取有关,在确定B1和B2后,A1和A2的位置关系如下:当o相似文献   

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…     

探究抛物线阿基米德三角形

大家知道阿基米德对物理的影响,其实在高中数学中也有阿基米德的影子.抛物线阿基米德三角形如下定义:抛物线的弦与弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称为抛物线阿基米德三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了有关性质:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的     

探讨抛物线切线的若干性质

抛物线的切线，总结了一系列性质，现给出其中的八条与大家共鉴赏．     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

一道耐人寻味的抛物线习题

有这样一道习题：设A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线x2=4y上不同的两点,该抛物线在点A,B处的两条切线相交于点C。     

抛物线的三个性质

本文给出抛物线的三个性质以及与它们相对应的抛物线的三种画法;性质Ⅰ　设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）,焦点为　图１Ｆ（ｐ２,０）,Ｑ是抛物线上除顶点外的任意一点,直线ＱＳ与ｘ轴平行,过点Ｆ作∠ＳＱＦ的角平分线的垂线,垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是ｙ轴（除去顶点Ｏ）;（如图１）证明　设直线ＱＳ与抛物线的准线ｌ,ｙ轴分别相交于点Ｓ和Ｖ,ＦＳ与ｙ轴交于点Ｐ′;易知ＳＶ＝ＯＦ,则Ｒｔ△ＳＶＰ′≌Ｒｔ△ＦＯＰ′;∴　ＳＰ′＝Ｐ′Ｆ．故　Ｐ′为线段ＳＦ的中点;由抛物线的定义得ＳＱ＝ＱＦ,所以△ＳＱＦ是等腰三角形;∴…     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

抛物线中的几个等比数列

圆锥曲线有许多神奇、美妙的性质,笔者经过探究,得到抛物线中的几个等比数列．     

二次函数和抛物线不等式

考察二次函数 y =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .为了方便起见 ,记 f(x) =ax2 +bx +c,对它进行配平方 ,可以得到f(x) =a x + b2a2 + 4ac -b24a .由上式 ,我们容易得到以下诸结论 :1)若a >0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递减的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递增的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最大值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最小值点 ,其最小值为ymin=f - b2a =4ac -b24a .从而有 f(x)≥4ac -b24a (1)2 )若a <0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递增的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递减的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最小值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最…