一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...     

关于《一个不等式的推广》

关于《一个不等式的推广》杨正义（四川省资中师范６４１２００）数学通报１９９３年第９期胡道煊老师著文给出了不等式的推广：若ａｉ，ｂｉ∈Ｒ＋，ｉ＝１，２，…，ｎ，则事实上，这个推广不成立．如取ａ１＝１，２＝２，ａ３＝３，ｂ１＝２，ｂ２＝３，ｂ３＝４，ｍ＝...     

一类分式不等式的证明

若ａｉ∈Ｒ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）,由柯西不等式得ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉｎｉ＝１ｂｉ≥ｎｉ＝１ａｉｂｉ·ｂｉ２＝（ｎｉ＝１ａｉ）２．所以ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ≥（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ①当且仅当ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ时...     

一个高次不等式的推广及应用

一个高次不等式的推广及应用康志山（河北赤城一中０７５５００）许多书刊中都流传着这样一个典型题目：已知：ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｍ∈Ｎ．则：ａｍ＋ｂｍ２ａ＋ｂ２ｍ．当ｍ＝１，或当且仅当ａ＝ｂ（ｍ≠１）时取等号．这是一个十分优美的不等式．本文将从变元个数进行推广...     

从一道习题到两个优美的不等式

许多书上都有这样一道习题：设ｘ,ｙ∈Ｒ＋,且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,求ａｘ＋ｂｙ的极小值;在此我们不谈它的解法,而是考虑能否把这个题的结论推广,我的想法是：（１）设ｘ,ｙ∈Ｒ＋且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,ｎ∈Ｎ,如何求ａｘｎ＋ｂｙｎ的极小值呢？（２）（更一般化）设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２…,ｎ,ｎ≥２）且ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝ｐ,ｋ∈Ｎ,ｂｉ为常数,如何求ｂ１ａｋ１＋ｂ２ａｋ２＋…＋ｂｎａｋｎ的极小值呢？经笔者研究,以上问题可以通过构造均值不等式求解;从而可以得到两个优美的不等式;定理…     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１６设ａｉ０（１ｉｎ），ｎｉ＝１ａｉ＝１（ｎ２），并记ａｎ＋１＝ａ１，则对ｋ∈Ｎ，有不等式：（３）ｋｎ１－ｋｎｉ＝１（ａｉ２＋ａｉａｉ＋１＋ａｉ＋１２）ｋ２，且对左边不等...     

不等式a~2 b~2>=2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ的一个推广及应用魏家忠杨华（阜阳教育学院２３６０１６）（江苏省东台市城北中学２２４２００）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２２ａｂ（１）当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本里一个最基本的不等式，（１）的特点是左边两项系数之和恰为各...     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

一个不等式的推广及应用

若ａ∈Ｒ,则ａ２≥２ａ－１①当且仅当ａ＝１时等号成立．将此不等式推广到一般,有定理若ａ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａ２≥ｎａ－（ｎ－１）②当且仅当ａ＝１时等号成立．证由均值不等式,有ａ２＋（ｎ－１）＝ａｎ＋１＋１＋…＋１ｎ－１个≥ｎａ,∴ａｎ≥ｎａ－（...     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

一些不等式的共同解法

一些不等式的共同解法徐鸿迟（江苏泰州中学２２５３００）ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ），由柯西（Ｃａｕｃｈｙ）不等式很容易得到ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ（１）当且仅当ｂｉ＝ｋａｉ（ｋ为常数，ｉ＝１，２，…，ｎ）...     

不等式（a~2／b）≧2a.b的应用

不等式（ａ~２／ｂ）≧２ａ.ｂ的应用陈晓春（四川三峡学院数学系６３４０００）由基本不等式变形可得不等式其中ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ＋，等号当且仪当ａ＝ｂ时成立．不等式（＊）是简单的．但用它来求解某些具有一定难度的题目，却十分简捷、新颖．本文的目的即是通过例题说明...     

一个不等式的推广

一个不等式的推广黄桂君（江苏省高邮市中学２２５６００）若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２，这是我们所熟悉的一个不等式．本文将给出它的几个推广及证明：推广１若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）ｎ＋（ｂ＋１...