三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

三角形垂心的一个性质

文 [1 ]用解析法发现了三角形外心的一个性质 ,用此法还不难发现三角形垂心的如下性质 :定理　若点 D在△ ABC的边 AB上 ,且∠ CDB =α,O为 C在 AB边所在直线上的射影 H1、H2 、H分别为△ ADC、△ DBC、△ ABC的垂心 ,则( 1 ) | H1H2 | =| AB| . | cotα| ;( 2 ) | H1H | =| OA| . | cot B cotα| ;( 3) | H2 H | =| OB| . | cot A - cotα| .证明　 ( 1 )建如图 1所示的平面直角坐标系 ,设 A( a,0 ) ,D( d,0 ) ,B( b,0 ) ,C( 0 ,c) .过 D点且与 AC垂直的直线方程为y =ac( x - d) .令　 x =0 ,可得y =- adc,故　 H1( 0…     

三角形垂心的一个性质

定理 若给定锐角△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

垂心的性质及其应用

锐角三角形的垂心,绍与三角形的边角有关的儿个性质,再举例说明它的应用。 设锐角△ABc,AD上BC,BE一LAC,CF--LAB,(D,E、F为垂足)有很多性质。本文先介(图i)边H为垂心,乙A,乙B,乙C的对边分别为a,b,c。R为△ABC外接圆的半径,不难证明下述结论的正确性. 性质1 BD=eeosB,CD=beosC,CE二a6osc,通E=eeos才,姓尸二占eo:通,丑F=aeosB。 性质艺EF二aeosA,DF=beosB,DE二eeosC。 性质3述H=ZRco“A,BH=ZRcosB,CH=ZReosC;DH=ZReosBeosC,EH=ZReosAeosC,F月二ZReosAeosB 例1己知锐角△A刀C的高AD和BE交于H,(刀、刃为垂足)…     

三角形垂心的性质及其应用

三角形垂心的性质及其应用海南省农垦中学方亚斌我们知道．对任意ＡＢＣ．三条高线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ（Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为垂足）交于一点Ｈ关于垂心Ｈ．有下述一些重要性质：（１）四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ构成一垂心组．即Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ四点中．任意一点都是其余三点连线所成三...     

三角形垂心的几个性质

定理一锐角三角形每个角的正切等于它的对边与这角的顶点至垂心的距离之比。证如图1 连CO并延长交⊙O于G,连结GB、GA,得平行四边形AGBH,则BG=AH,在Rt△GBC中,tg∠BGC=BC/BG,∵∠BGC=∠A, ∴tgA=BG/BG=BC/AH,同理可证,tgB=AC/BH,tgC=AB/CH。下面的几个定理需要先引入一个定义。定义三角形的任意两个顶点与其垂心组成的三角形叫做垂心三角形。定理二锐角三角形的面积与它的一个垂心三角形面积之比等于其公共边所邻的原锐角三角形的两个角的正切之积。     

垂心组的性质及应用

由三角形的三顶点及垂心引发我们给出垂心组的概念：以三点为三角形的顶点,另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组．由此即知,垂心组中的四点,每一点都可为其余三点为顶点的三角形的垂心;还可推知,垂心组有如下的优美性质．     

三角形垂心的一个性质推广

文[1]给出了三角形垂心的一个性质: 定理若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

一个有用性质与垂心问题

我在做关于三角形“四心”的题目时 ,由一本竞赛书上的一道例题受到启发 ,从中归纳并证明了一个有用性质 .我发现使用该性质可简便地解决一批比较复杂的竞赛题 .在此 ,将该性质及其证明介绍给大家 ,并举几例对之加以证明 .　　定理　对于任意三角形ABC ,H为其垂心 ,都有AH =2R·|cosA| =a·|cosA|sinABH =2R·|cosB| =b·|cosB|sinBCH =2R·|cosC| =c·|cosC|sinC证明　 (1)若△ABC为锐角△ (如图 1) .设AD、BE、CF分别为△ABC中三边上的高线 .易证　△AHE∽△ACD .∴　 AHAC=AEAD.∴　AH =AE·ACAD =AE·ACAD=AE…     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

圆内接闭折线垂心的一个性质

从闭折线A1A2A3…以An的n个顶点中,任意除去3个顶点Aj、Am、Al(1≤j相似文献   

三角形垂心的一个性质的三个推论

文 [1]给出了三角形垂心的一个性质 :定理　如图 1,若△ ABC的垂心为 H ,且D、E、F分别为 H在 BC、CA、AB边所在直线上的射影 ,H1 、H2 、H3 分别为△ AEF、△ BDF、△ CDE的垂心 ,则△ DEF≌△ H1 H2 H3 .若以上题设不变 ,则有以下推论 .推论 1　△ H1 EF≌△ DH2 H3 ;△ H2 DF≌△ EH1 H3 ;△ H3 DE≌△ FH1 H2 .证明　如图 1,由定理知 ,EF =H2 H3 ,连结 FH2 、H2 D、DH、H F、H1 E、EH、EH3 、H3 D,由三角形垂心的定义 ,可知四边形FH2 DH、四边形 FH1 EH均为平行四边形 ,∴ H2 D =H1 E.同理 FH1 =DH3…     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

垂心存在的四面体若干心的一个性质

大家知道，若四面体四条高交于一点，这点就叫该四面体的垂心．四面体并不总是有垂心．笔者以为，垂心存在的四面体有下面的性质：     

三角形的“旁垂心”及相关性质

<正>文[1]、[2]都给出了三角形的"旁外心"的定义如下:定义过三角形的三个顶点分别作三角形外接圆的切线,其两两相交的三个交点称为三角形的三个旁外心.在直角三角形中,直角所对的旁外心可看作在无穷远处,受此启发,本文再给出三角形的"旁垂心"的定义及相关性质如下: