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20 0 3年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 42 6 AN是△ABC的角平分线 ,AN的延长线交△ABC的外接圆于D ,M是AN上一点 ,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F ,DF交AB于P ,DE交AC于Q .求证 :P、M、Q三点共线 .(江西省宜丰县二中 龚浩生 33630 0 )证明 如图 ,连结PM、QM、BD .因为∠PAD =∠MAC ,∠ADP=∠ACM ,所以∠BPD =∠NMC ,△APD ∽△AMC .又∠PDB =∠MCN ,所以△BDP∽△NCM ,所以 PBMN =PDMC =APAM.所以PM ∥BN ,即PM ∥BC .同理 :QM∥BC所以P、M、Q三点共线1 42 7 ai(i =1 ,2 … 相似文献
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20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36 如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 ) ACAP =CQBQ (… 相似文献
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20 0 3年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 42 1 锐角△ABC中 ,求证 :cos(A -B) ·cos(B -C)·cos(C-A)≥ 8cosA·cosB·cosC .(安徽省南陵县工山二中 邹守文 2 42 41 8)证明 在三角形中有恒等式 :tanA·tanB·tanC =tanA+tanB+tanC .所以cos(B-C)cosA =sinBsinC+cosBcosCsinBsinC-cosBcosC=tanBtanC+1tanBtanC-1=tanAtanBtanC +tanAtanAtanBtanC -tanA=2tanA+tanB+tanCtanB+tanC同理cos(C-A)cosB =tanA+2tanB +tanCtanA+tanCcos(A -B)cosC =tanA +tanB+2tanCtanA +tanB令 x =2tanA+tanB+tanC , y =t… 相似文献
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2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对… 相似文献
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20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6 已知 :ADCE为半圆 (如图 ) ,B为直径AE上一点 ,F在AC上 ,AD =FC ,DE =CG ,BE=HG ,AL∥FG .求证 :KB ⊥AC证明 因为ADCE为半圆 ,所以∠ADE=∠FCG =90° .在Rt△ADE和Rt△FCG中 ,因为AD =FC ,DE =CG ,所以△ADE≌△FCG .所以AE =FG .又BE =HG ,所以AB =FH因为AL∥FG ,所以 AKFH =CKCH =KLHG.所以 AKKL =FHHG,所以 AKKL =ABBE,所以KB∥LC .又因为LC⊥AC ,所以… 相似文献
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《数学通报》2003,(6):47-48,F003
1431 如图 ,在△ABC中 ,D、M、E是四等分BC的三个分点 ,一直线顺次交AB ,AD ,AM ,AE ,AC于K1 ,K2 ,K3,K4,K5.求证 :AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)(贵州安顺师专培训部 李慎东 5 61 0 0 0 )证明 注意到M是BC之中点 ,过B ,C两点分别作l的平行线BV ,CT(见图 )则有 :ABAK1 =AVAK3,ACAK5 =ATAK3 因为TM =VM 所以AV +AT=2AM故 ABAK1 + ACAK5 =2 ·AMAK3………①同理 ,可得ADAK2 + AEAK4=2 · AMAK3………②① +②整理得AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)1 432 四面体… 相似文献
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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96 ⊙O是△ABC的内切圆 .D、E、F是BC、CA、AB上的切点 ,DD′、EE′、FF′都是⊙O的直径 .求证 :直线AD′、BE′、CF′共点 .(安徽省怀宁江镇中学 黄金福 2 461 42 )证明 设直线AD′、BE′、CF′交BC、CA、AB于A′、B′、C′.过D′作⊙O切线交AB、AC于M、N显然MN ∥BC △AMD′∽△ABA′,△AD′N ∽△AA′C . MD′BA′ =AD′AA′ =D′NA′C BA′A′C =MD′D′N①连结OM、ON .记⊙O半径… 相似文献
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20 0 2年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 76 若实数a、b、x、y满足ax+by =3 ,ax2 +by2 =7,ax3+by3=1 6,ax4 +by4 =42求ax5+by5的值出自于郭要红、戴普庆编著的《中学数学研究》 ,安徽大学出版社 ,1 998年 1 1月P96第 1 7题解 因为ax3+by3=1 6所以 (ax3+by3) (x +y) =1 6(x+y)所以 (ax4 +by4 ) +xy(ax2 +by2 ) =1 6(x+y)即 42 +7xy=1 6(x +y) ①因为 ax2 +by2 =7所以 (ax2 +by2 ) (x +y) =7(x+y)所以 (ax3+by3) +xy(ax+by) =7(x +y)… 相似文献
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《数学通报》2002,(10):47-48,F003
20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91 已知实数a ,b ,c满足不等式|b-c|≥3|a|,|c-a|≥ 3|b| ,|a-b|≥ 3|c| ,求证 :a+b+c=0 .(南昌大学附中 宋庆 3 3 0 0 2 9)证明 因为a ,b,c∈R ,|b-c|≥ 3|a|,所以 (b-c) 2 ≥ 3a2 ,所以 3a2 -b2 -c2 +2bc≤ 0 ,同理得 3b2 -c2 -a2 +2ca≤ 0 ,3c2 -a2 -b2 +2ab≤ 0 ,以上三式相加 ,便得a2 +b2 +c2 +2bc+2ca+2ab≤ 0 ,所以 (a+b +c) 2 ≤ 0 ,所以a+b+c =0 .1 3 92 数列 {an}中 ,an =n3·Π99i=1(n2… 相似文献
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《数学通报》2000,(7):46-47
20 0 0年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 56 求 77 7 (n个 7,n≥ 3)的末四位数 .解 ∵ 74≡ 1 (mod1 0 0 )∴ 74 x ≡ 1 ((mod1 0 0 ) ,x∈ N又 7≡ - 1 (mod4) ,故 77≡ (- 1 ) 7≡- 1 (mod4) .因而 77 7 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 )≡- 1 (mod4) .所以可设77 7 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 ) =4x 3,x∈N∴ 77 7≡ 74 x 3≡ 73≡ 43(mod1 0 0 )于是可设 77 7 (n个 7,n≥ 3) =710 0 m 4 3,m∈ N (1 )而 74 ≡ 2 4 0 1 (mod1 0 0 0 0 )∴ 78≡ 480 1 (mod1 0 0 0 0 )716≡ 960 1 (mod1 0 0 0 0 )732 ≡ 92 0 1 (mod1… 相似文献