类海伦公式的另证

文[1]给出了四面体中类似于海伦公式的一个体积计算公式．     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

海伦公式的妙用

<正>~~     

海伦数组的公式

1 一般海伦数组 1.1 海伦数组是否已有公式? 美国新数学丛书之一:《有趣的数论》中提及:     

本原海伦数组公式

三边及面积均为整数的三角形称为海伦三角形,三边互素的海伦三角形,称为本原海伦三角形［１］．本文拟应用无平方因子数［２］的有关理论给出本原海伦数组公式．由于水平限制,不当之处,请同行指正．１　预备定理及公式定义１　ｅ∈Ｎ,如果ａ２｜ｅ,则ａ叫作ｅ的平方因子．显然１是任何正整数的平方因子．如果除１外ｅ没有其它的平方因子,我们就说ｅ是无平方因子数,或者说ｅ无平方因子．比如１,２,３,５,６…等就是无平方因子数．下面用Ｅ表示无平方因子数集,Ｑ表示非零有理数集．定义２　Ｆ（ｅ）＝｛λｅ｜λ∈Ｑ｝（ｅ∈…     

四边形的海伦面积公式

当且仅当a=b=c=d,即四边形是圆内接正方形时,面积最大．     

“海伦公式”的历史

已知三角形的三个边a,b,c,求它的面积S,有公式 S=(p(p-a)(p-b)(p-c))~1/2 (1)其中p=(a b c)/2。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何課本上一般都有介紹。人們以为这个公式一定是海伦所首先发現,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊末期,亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我們还不知道,大概在公元1-3世紀期間。     

秦九韶三斜求积公式和海伦公式

我国宋代数学家秦九韶,字道古,自称鲁郡人,其实他本人生于四川。其生卒年代大约是公元1202——1261年。他所发明的“三斜求积术”,实际上是由已知三角形的三条边求其面积的方法。此术见于秦九韶所著《数书九章》第五卷第二题:     

四面体中一个优美的公式——类海伦公式

古希腊几何学家海伦（Heron）在著作《度量》中提出并证明了已知三角形三边长求面积公式：用a,b,c表示三角形的边长,p表示三角形的半周长,     

m-扰排问题计数公式简证

文［１］推广了文［２］、［３］中提出的错位排列或扰排（ｄｅｒａｎｇｅｍｅｎｔ）计数问题,求得了计数公式．本文给出一个简炼严谨的证明．问题在１,２,…,ｎ的全排列ｉ１ｉ２…ｉｎ中,如果有某ｍ（ｍ≤ｎ）个ｊ使得ｉｊ≠ｊ,则ｉ１ｉ２…ｉｎ称为ｎ元ｍ—扰排．...     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式:如果m,n,p分别是△ABC三边上的中线,那么     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式：如果m，n，P分别是△ABC三边上的中线，那么     

趣谈海伦-秦九韶公式及其应用

<正>每位同学都应该学过三角形面积=底×高÷2,但如果不知道一个三角形高线的长度而只知道三条边的长度,又该如何来求解三角形的面积呢?其实,这是一个很古老的数学问题,历史上无论是在西方还是在中国,都有杰出的数学家对这个问题进行过深入的研究,并得出了重要的结论.今天就让我们一起来重温这段重要的数学历史吧.     

海伦公式在面积问题中的应用

面积问题在中考中占有很重要的地位,在中考压轴题中,有关面积的问题常常以动态的方式出现,经常与函数知识联系起来,有时还需要分类讨论.在解题时,要注意分清其中的变量和不变量,并把运动的过程转化成静止的