巧用整数的奇偶性解题几例

大家知道,任何一个整数要么是奇数,要么是偶数,两者必居其一而且只居其一,因此,有“奇数≠偶数”这一特性,许多有关的证明题,乍一看似乎感到难于下手,但若利用上述性质来证,常可使问题迎刃而解,现举数例说明如下。例1 设f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_n,是n次的整系数多项式,a_0,a_n,f(1)都是奇数,则方程f(x)=0没有有理根。(美国第十二届大学生数学竞赛试题)。证明假设x=p/q(p、q互质的自然数)是方程f(x)=0的有理根,则 a_0p~n+a_1p~(n-1)q+…+a_nq~n (Ⅰ)     

特殊形状常系数綫性非齐次微分方程特解的求法

設 L(p)=a_0p~n+a_1p~(n-1)+…+a_(n-1)p+a_n,(1)其中a_0,a_1,…,a_n为常数;p=d/dt,p~2=d~2/dt~2,…,p~n=d~n/dt~n,則 L(p)x=f(t) (2)为常系数綫性非齐次微分方程。現在研究当f(t)为某些特殊类型的函数时,方程(2)特解的求法。 1.預备知识。     

Eisenstein定理的一种推广

定理 设 f(x)=a_0+a_1x+a_2x+…+a_nx~n(a_n≠0,n≥1是整数)是一个整系数多项式,并且f(x)没有有理根。如果能够找到一个素数p,使得 (1)最高次项系数a_n不能被p整除, (2)其余各项的系数都能被p整除, (3)一次项的系数a_1不能被p~2整除,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。     

整数的多项式表示、性质及应用

对给定的一个p进制的n+1位正整数N,其各位上数字分别记为a_1,a_2,…a_(n+1),则此数可表示为: N=a_1p~n+a_2p~(n-1)+…+a_np+a_(n+1)其中a_i是整数,0≤a_i≤p-1 (i=1,2,…,n+1),且a_1≠0。当p为某一素数时,整数N、a_i、n及p之间具有下面性质:     

改进综合除法与整系数多项式有理根的检定

大家知道,如果一个整系数多项式 f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) ……a_0 (a_n≠0)被一个整系数的一次式g(x)=sx-r(s≠0)所除时,必定有如下的等式成立     

n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法

<正> 方程a_0y~(n)+a_1y~(n-1)+……+a_(n-1)y’+a_ny=0(1)称为n阶常系数齐次线性常微分方程,这里a_0,a_1,…,a_n是一些常数,a_0≠0。(1)的通解表达式证明是很繁复的(譬如参见史捷班诺夫的常数微分方程一书)。我们来介绍一个简单的证法。用D来表示求导运算,即Dy=y’,则(1)可写成f(D)y=0 (2)其中f(D)是D的n次多项式f(D)=a_0D~n+a_1D~(n-1)+…+a_(n-1)D+a_n.(3)     

常系数线性齐次递归式的一般解公式

本文给出常系数线性递归式 a_n=α_1a_(n-1)+α_2a_(n-2)+…+α_pa_(n-p),a_0=c_0,a_1=c_1,…,a_(p-1)=c_(p-1)的一般解公式 a_n=sum from k=0 to p-1(sum from i=k to p-1 c_iα_(p-i+k))F_(n-p-k)(n≥p),其中(?)     

一个定理的应用一、二例

多项式a_nx~n+a_(n-1)~x~(n-1)+…a_1x+a。能被x-1整除的充要条件是a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0。根据因式定理,便可得到如下推论: “一元方程a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0=0, x=1是它的一个根的充要条件是 a_n+a_(n-1)+…a_1+a_0=0”。在初中数学中,为了证明上述推论,可用以下方法:设x=1是方程的一个根,则得a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0,证明了条件是必要的。次设条件成立,则得a_n(x~n-1)+a_(n-1)(x~(n-1))+…+a_1(x-1)=0,可知此方程有一根是x=1,证明了条件充分。     

余数定理的应用之一

在师范学校誹投数学課,应該如何联系小学实际以及如何体現出“居高临下”是师范学校教师們探討的問題。我认为有許多知識都可以直接指导小学算术知識的,这里仅以代数中的余数定理为例,談談我的看法,如有不正确之处,欢迎批評指教。余数定理是确定多項式f(x)除以(x-1)时所得余数的定理,当f(a)=0时說明f(x)能被(x-a)整除。这样,用余数定理就能迅速地判断f(x)能否被(x-a)整除。在小学算术中所研究的整数都是非負整数,它們都可以写成a_n·10~n+a_(n-1)·10~(n-1)+…+a_1·10+a_0的形式,其中a_i(i=0,1,2,…,n)都是数碼n是非負整数,因此它們都具有多項式f(x)=a_nx~n++a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0的形式。而x±a相当     

方程 x~n px q=0有两个相等实根的充要条件及其应用

(一) 考察实系数一元n次方程 x~n px q=0(1) 我们有定理1 当n为偶数时,方程(1)有两个相等实根的充要条件是 q~(n-1)/(n-1)~(n-1)=p~n/n~n;并且,若p<0;则这两个相等的实根为 x_0=(q/(n-1))~(1/2)若p>0,则这两个相等的实根为 x_0=-(q/(n-1))~(1/n) 证明设方程(1)有两个根均为实数x_0,则可令x~m px q=(x-x_0)~2(x~(n-2) a_1x~(n-3) a_2x~(n-4) …… a_n-3x a_n-2)其中a_i∈R(i=1,2,…n-2)。展开,合并,比较系数,可得     

用劈二次因子法解方程的一个三阶迭代格式

用劈二次因子法可以求出实系数多项式方程: f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0 (1)的复根,而避免复数运算。目前多采用具有二阶敛速的Bairstow方法,即设     

高次方程有有理根的一个必要条件

求整系数方程的有理根,一般根据相应的多项式的首末项系数的因数利用综合除法求出。当首末项系数的因数较多时,逐一地去检验这些因数组成的有理数是不是该方程的根,的确不是一件容易的事,本文在一般方法基础上提出一个必要条件,利用这个必要条件可以大大缩小检验的范围,从而使求有理根的过程大大缩减。必要条件:如果有理数g/p((p,p)=1)是整系数方程 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n≡1)x a_n~i=0 (1)的根,则p-q必为系数和sum from i=0 to a a_i的因数。证明设有理数q/p为方程(1)的根,则f(x)被px-q整除,则f(x)可写成 f(x)=(px-q)f_1(x)。     

整系数不可约多项式的两个判别法

定理1(Eisenstein判别法)[1]设 f(x)=a_0+a_1x+…+a_nx~n是一整系数多项式,若能找到一个素数p,使     

实系数高次方程无实根的判定

在科学技术的许多问题中,常常需要解实系数高次方程,即求出这些高次方程的实根或判定它无实数根。本文介绍实系数高次方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+…0+a_n=0 (a_i∈R,i=0,1,…,n,a_0≠0)无实根的几种判定方法. 定理1 若a_0>0,a_n>0,a_1,a_2,…,a_(n-1)≥0或a_0<0,a_n<0,a_1,a_2,…,a_(n-1)≤0,则方程     

整数集上四连贯n次多项式的构造

连贯、m (m∈ N,m≥ 3)连贯的定义见[1]或 [2 ].约定 :本文中表示数的字母均表整数 .定理　当an-i =p1 q1 ki-1 (pq1 p1 q) ki pqki 1 ,(i=0 ,1,… ,n- 1,n∈ N,n≥ 2 ,k-1 =k0 =0 )kn =± 1,pq1 - p1 q =± 1,a0 =p1 (q1 kn-1 qkn)时 ,多项式 f (x) =∑n-1i=0an-ixn-i a0 在整数集 Z上连贯 ,且 f(x) j (j =0 ,1)分别有因式px p1 ,qx q1 .证明　这是因为由题设可证得 :f(x) =(px p1 ) ∑n-1i=0(q1 ki qki 1 ) xn-i-1 ,f(x) 1=(qx q1 ) ∑n-1i=0(p1 ki pki 1 ) xn-i-1 .在定理中可选 :(1) kn=1,q1 =rp1 1,p …     

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

关于实系数代数多项式根的分布

给定一实系数多项式:p(z)=a_0z~n a_1z~(n-1) … a_n,不失一般性,假定a_0>0.本文主要给出有关多项式(1)的根的分布的结果.定理1 如果系数{a_i}_i=0~m满足条件△~2a_k≥0,k=0,1,2,…,(n-1),其中△~2 a_k是二级差分,那么多项式(1)的所有根位于圆|z|<1外.     

多项式零点的存在区域

考虑n次多项式p(z)=α_nz~n+a_(n-1)z~(n-1)+…+a_1z+a_0,其中a_i,i=0,…,n,是复数,a_oa_n≠0. 本文研究了p(z)的零点所存在的区域.利用多项式友阵的概念证明了一些新的圆环区域,这些区域的界限都可通过p(z)的系数算出.这里的结论优于许多已知的结果.     

欧拉方程的直接解法

我们知道,对欧拉方程x~ny~(n) a_1x~(n-1)y~(n-1) … a_(n-1)xy′ a_ny=0(1)(a_1,a_2,…a_n为常数),可作变换x=e~t或t=1nx,得到常系数线性齐次方程(d~ny)/(dt~n) b_1(d~(n-1)y)/(dt~(n-1)) b_2(d~(n-2)y)/(dt~(n-2)) … b_(n-1)(dy/dt) b_ny=0 (2)     

有限元求解一维奇异摄动问题

1 问题的引入 考虑边值问题 L_y≡-εy″+p(x)y′+q(x)y=f(x),x∈I≡(o,1), y(0)=y(1)=0, (1,1)其中ε是一常数,ε∈(0,1),p(x),q(x),f(x)是[0,1]上的光滑函数,且满足p(x)≥a_1>0,q(x)≥0,q(x)-(1/2)P′(x)≥a_2>0.以下用C和d表示一常数,仅依赖于p(x),q(x),f(x),与ε无关,在不同的地方它们可能代表不同的数. 引入双线性形式 B(u,v)=integral from n=0 to 1(εu′v′+pu′v +quv)dx,u,v∈H~1(I),及范数