三角形中位线定理应用例谈(下)

<正>(三)综合例题例7如图15,点O是凸四边形ABCD内一点.∠AOB=∠COD=120°,AO=OB且CO=OD.K是AB中点,L是BC中点,M为CD中点.求证:△KLM是正三角形.证明如图15,连接BD、AC,设BD,AC交于P.易知△BOD≌△AOC(边、角、边),所以BD=AC.∠PBO=∠PAO.     

由一道赛题想到的

问题1 四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC相交于P,AD与BC相交于Q,AC与BD相交于R.求证:O为△PQR的垂心. (2001年东北三省数学邀请赛试题) 由问题1,我想到下面两个问题: 问题2 四边形ABCD内接于圆,以B与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q     

一个数学问题的简证

<正>问题^([1])如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对边AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,M为PQ的中点,MC与⊙O交于另一点G.求证:A、G、P、Q四点共圆.证明如图1所示,连AG,延长CM至点N,使CM=MN.则四边形PNQC为平行四边形.于是∠PAQ+∠PNQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180°,     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

立体几何总复习

第一章直线与面—、例题例1 如图1—1(a),点P、Q,R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点: (1) 若空间四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a,b,AC和BD所成的角为θ,求四边形PQ-RS的面积。     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

浅谈综合图形的作用

这里所说的综合图形是指:把几个有内在联系命题的图形统一在一个图形上的复杂图形。实践证明,它的作用在于:1.揭示证题规律;2.提供新的证法;3.探得新的命题。下面,仅就四组有内在联系的命题,研究综合图形的作用。第一组命题及其综合图形: 1.四边形ABCD中AB=DC,E、F是BC、AD的中点;M、N是AC、BD的中点,求证:EMFN是菱形。 2.四边形ABCD的AB=DC、E、F是BC、AD的中点;M、N是AC、BD的中点,求证:FE⊥NM。     

相似三角形及其应用(下)

<正>例16(俄罗斯区域数学竞赛1999—2000九年级试题)在梯形ABCD的大底AB上任取一点M,通过这点引平行于梯形对角线的直线交边BC和AD分别于点N和K.设线段KN交对角线AC和BD分别于点P和Q.证明:线段KP和QN相等.证明如图26,设梯形的对角线的交点为O,而线段AC和KM交点为R.根据平行     

2010年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边Bf的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

从两道课后习题看共性和通法

<正>在新北师大版九上第四章总复习中,有两道较难的习题,一道需要做辅助线,一道要求三条线段的比例.习题1如图1,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F.已知AB=a,BC=b,CE=c,求CF的长.习题2如图2,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

四边形的一个有趣性质

定理　设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明　如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D…     

立几开放题的常见类型与解法

所谓立几开放题,一般是指那些条件不完备或结论不确定的立几问题,近几年高考中陆续出现了一些具有综合性、应用性、探索性的立几开放题,下面介绍四种常见类型与解法,供师生复习参考.类型1“探寻条件”型例1如图1,M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,当空间四边形ABCD满足条件时,四边形MNPQ是矩形?思路:从中位线定理出发,展开联想.解,由于平行四边形MNPQ中,MN∥AC,NP∥BD,因此只要AC⊥BD,就可得MN⊥NP,即MNPQ是矩形.当A—BCD为正四面体或A—BCD是正三棱锥时,有AC⊥BD成立.故本题可以填:AC⊥B…     

一个数学问题的简证及推广——谈完全四边形的一条性质的应用

《数学教学》数学问题681:如图1,四边形ABCD的两条对角线交于点O,两组对边分别交于E,F,过O作EF的平行线交BC,AD于I,J,求证:OI=OJ.     

梯形与两腰有关的两组性质

<正>梯形作为一类特殊的四边形有其一些特殊的性质,受文[1]的启发,笔者又得到梯形与两条腰有关的两组性质,兹介绍如下,以飨读者.图1性质1如图1,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,两条腰AD、BC延长后交于O,过O分别引AB、AC的平行线交直线AC、BD、AB、CD于E、F、G、H,M为一条对角线AC的中点,直线AF、BM交于I,直线DM、CF交于J,则(1)EO=OF;(2)AF∥DM,BM∥CF;(3)点I、J在直线OG上,且I、J分别是OG、OH的中点.     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

巧用向量解题一例

向量融数字与方向于一体,对解决某些平几问题有不可替代的作用.请看例题. 题目在△ABC中,AT是∠A的平分线,点T在BC上,D、E分别在边AB、AC上,且BD=CE.M、N分别为DE、BC的中点.求证:MN∥AT.     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE