加权算术平均与加权几何平均不等式的改进

众所周知,著名的加权算术平均与加权几何平均不等式是:设ai,Pi＞0,i=1,2,…,n,且nΣi=11/pi=1,则nΣi=11/pi≥n∏i=1 ai1/pi (1) 其中等式当且仅当a1=a2=…=an时成立.     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

加权平均不等式的一个加强形式

在不等式理论中 ,加权平均不等式x P11x P22 … x Pnn ≤ (P1x1 P2 x2 … Pnxn P1 P2 … Pn) P1 P2 … Pn (1 )(其中 xi>0 ,Pi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n)是一个重要的不等式 ,有着广泛的应用 ,本文将给出此不等式的一个加强形式 .为表述简便 ,令 δk=Σki=1Pi,ξn=Σni=1PixiΣni=1Pi=1δn Σni=1Pixi,ηn=[Πni=1x Pii ]1/Σni=1Pi,则不等式 (1 )变为ηn ≤ξn,(n =1 ,2 ,… ) (2 )　　以下给出加权平均不等式的加强形式 .引理　若α≥ 1 ,则当 x>-1时 ,有(1 x)α≥ 1 αx (3 )　　证明　设 f (x) =(1 x) α-1 -αx ,则 …     

一个不等式的推广

不等式1n∑i=n1aim≥(1n∑i=n1ai)m,其中m∈N ,ai>0,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≥(∑ni=1piai)m.(1)其中m≥1,ai>0,pi>0,(i=1,2,…,n)且∑ni=1pi=1,不等式1n∑i=n1aim≤(1n∑i=n1ai)m,其中00,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≤(∑ni=1piai)m.(2)其中0相似文献   

一个仅在有限个点连续且可微的函数

本文构造了一个 n元实函数 f ( x1,… ,xn) ,这个函数定义在整个 n维空间 Rn。除了在任意指定的 m个点 P1,P2 ,… ,Pm 处连续且可微外 ,在其它点上皆不可微、皆不连续。不妨设 Pi 点的坐标为 ( ai1,… ,ain) ( i=1 ,… ,m)。定义 Rn上的实函数f ( x1,… ,xn) =D( x1,… ,xn) mi=1[ nj=1( xj-aij) 2 ]其中　D ( x1,… ,xn) =1　当 x1,… ,xn 全为有理数0　其它 ,则有如下命题命题 1 :f ( x1,… ,xn)仅在 P1,P2 ,… ,Pm 点连续。证明 :先证明 f ( x1,… ,xn)在 Pi 点连续。显然 f ( Pi) =0 ( i=1 ,… ,m)。当 P( x1,… ,xn)→ Pi 有 li…     

证明数列不等式的新方法——构造不等式法

对形如n∑i=n0ai＜f(n),n∏i=n0ai＜f(n)n∑i=n0ai＞f(n),n∏i=n0ai＞f(n))的不等式我们称之为数列不等式,常见的有"和式"和"积式"不等式两大类. 数列不等式的证明方法很多,通常有数学归纳法、放缩法、裂项法等.放缩法如何应用?怎样放缩?很少有人在这方面作较深入探讨.本文向诸位推荐一种简捷的方法:构造不等式法.     

对一道奥赛题的再探索

第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题为:求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.文[1]将该题推广如下:设ai>0(i=1,2,…,n,n≥2),∑ni=1ai=1,B>0,A Bn>0,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥Ai∑=n1ai2 B恒成立.本文将对该题作进一步的探索.引理(幂平均值不等式)若α≥β>0,ai>0(i=1,2,…,n),则∑ni=1aiαn1α≥∑ni=1aiβn1β(1)特别地,当β=1,α≥1时有∑ni=1aiαn≥∑ni=1ainα(2)证略.探究1设α>β≥1,A>0,B>0,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1aiα≥Ai∑=n1αiβ B(n≥2,n∈N)(3)对…     

任意阶Laplace算子的特征值估计

设D为n维Euclid空间Rn的一个有界区域,且0＜λ1≤λ2≤…≤λk≤…是l阶Laplace算子的Dirichlet问题{(-△)lu=λu, 在D中,u=(e)u/(e)n=…=(e)l-1u/(e)nl-1=0,在(e)D上的特征值.得到了该问题用其前k个特征值来估计第(k+1)个特征值λk+1的不等式k∑i=1(λk+1-λi)≤1/n(4l(n+2l-2)]1/2{k∑i=1(λk+1-λi)1/2λil-1/lk∑i=1(λk+1-λi)1/2λi1/l}1/2,此不等式不依赖于区域D.对l≥3,上述不等式比所有已知的结果都要好.陈庆民与杨洪苍考虑了l=2的情形.我们的结果是他们结果的自然推广.当l=1时,我们的不等式蕴含杨洪苍不等式的弱形式.文中还给出了陈和杨的一个断言的直接证明.     

一个关于非负矩阵的不等式

证明:若(xij)是一个元素不全为零的m×n非负矩阵,则当0相似文献   

有限时滞中立型大系统的稳定性

引理1 令P=(p_(ij))是m×m的非负矩阵(即p_(ij)≥0),β≥0,q_i≥0(i=1,…,m)且记.若β<<1且矩阵P的谱半径ρ(P)<1,则不等式     

Boundedness of Marcinkiewicz integral related to multilinear commutators with variable kernels on Hardy spaces

Let→b=(b1,b2,…,bm),bi∈∧βi(Rn),1≤I≤m,βi＞0,m∑I=1βi=β,0＜β＜1,μΩ→b(f)(x)=(∫∞0|F→b,t(f)(x)|2dt/t3)1/2,F→b,t(f)(x)=∫|x-y|≤t Ω(x,x-y)/|x-y|n-1 mΠi=1[bi(x)-bi(y)dy.We consider the boundedness of μΩ,→b on Hardy type space Hp→b(Rn).     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 11 x32≤1207.证明的关键是先证明了对任意0相似文献   

具有多变时滞中立型微分方程的振动性

考虑具有多变时滞中立型微分方程[x(t)-∑i=1^lpi(t)x(t-τi(t))]′ ∑j=1^mqj(t)x(t-σj（t））=0,获得了该方程所有解振动的几族充分条件．其中定理3的条件是“Sharp”条件，即当Pi(t)，τi(t)，qj(t)，σj(t)(i=1，2，…，l，j=1，2，…，m)为常数时，条件是充分必要的．     

赫尔德不等式的推论变形与运用

一、引式:赫尔德不等式 设aij＞0(1≤i≤j≤n,1≤j≤m),若aj(1≤j≤m),且α1+α2+…+αm=1,则mП(n∑aij)aj≥n∑aijaj. 显然,当这个不等式只有两项,即当1/p+1/q=1时,(xp0+xp1+…+xpn)1/p(yq0+yq1+…+yqn)1/a≥x0y0+x1y1+…+xnyn,当α1=α2时即为(Cauchy)不等式,从中可以看到Cauchy不等式是Holder不等式的特殊情况.     

几个不等式的简证

《数学通讯》(教师版)2006年上年度刊登了一组关于不等式研究的专题文章,笔者拜读之后受益匪浅,笔者探究发现其中的几个不等式更加简捷的证明方法,现写出来,供读者参考.例1[1]设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1n∑i=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai(1)这是文[1]对文[2]证明的如下一个不等式的逆向不等式:设ai>0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1.则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi(2)文[1]通过构造函数,考察函数的凸性,然后用数学归纳法证明了(1)式.其实,有了(2)式,(1)式的证明便唾手可得,不必绕道而行.事实上,由(2)式∑ni=1piai=∑ni=…     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

卡尔松不等式 一批著名不等式的综合

在文[1]中,有所谓卡尔松(Carlson)不等式:设a_(ij)≥0,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。则     

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

Banach函数空间的H(o)lder不等式

本文给出了基本不等式‖nⅡi=1ai,ai≤‖n∑i=1,aiai(ai>0,ai>0,n∑i=1,ai=1)的一个确界形式,以此统一得出Banach函数空间Lp(E,u),L∞(E,u),L∞(R),C(R)等的 H(O)lder函数不等式.     

用权方和不等式证明分式不等式

最近文[1]给出了哥西不等式的一个直接推论———分式型哥西不等式:设xi∈R,yi∈R (i=1,2,…,n),则x12y1 xy222 … yx2nn≥(xy11 xy22 …… xynn)2(1)及其在证明分式不等式中的应用.由于不等式(1)中每个分式分子、分母的幂指数必须分别为2、1,使不等式(1)应用受到局限.本文将介绍不等式(1)的推广———权方和不等式以及它在证明分式不等式中的应用.设xi∈R ,yi∈R (i=1,2,…,n),m∈R ,则x1m 1y1m xy2m2m 1 … xymnnm 1≥((xy11 xy22 …… xyn)n)mm 1(2)当且仅当yx11=yx22=…=yxnn时,(2)取等号.这就是著名的权方和不等式,其证明容易…