分式函数的值域

本文主要对一例求分式函数（含无理根式）的值域问题所产生的不同错解进行诊治,期望对读者有所帮助．     

分式函数的值域

本文主要对一例求分式函数(含无理根式)的值域问题所产生的不同错解进行诊治,期望对读者有所帮助.     

关于二次分式函数的值域问题

设y=(ax~2 bx c)/(mx~2 nx e)(a~2 m~2≠0)①我们把这个函数叫二次分式函数,其定义域A={x|mx~2 nx e≠0),设值域为B。     

求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

函数值域的解法探究

2001年全国高中数学联合竞赛试题11. 函数的值域为______________. 笔者愿和大家一起对这道赛题的解法作一番探讨.先看参考答案: 解两边平方得(2y-3)x=Y2-2, 从而y≠3/2且x=(y2-2)/(2y-3). 由y-x=y-(y2-2)/(2y-3)(?)(y2-3y 2)/(2y-3)≥0 (?)1≤y≤3/2或y≥2.     

诊治一例分式函数的值域

本文主要对一例求分式函数（含无理根式）的值域问题所产生的不同错解进行诊治,期望对读者有所帮助．     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

一类分式函数的定义域或值域新探

关于函数y=ax+b/cx+d(bc≠ad,c≠0,a,b不全为零)的定义域或值域的研究经常散见于各类书刊,本文试从一次函数的角度来探索这类函数的定义域或值域,旨在进一步完善和充实对于它的研究。     

函数值域问题释疑

函数值域问题是高中数学教学的“难点”之一。本文从三方面介绍学习函数值域问题应注意的重点,为初学者排难释疑。 1 注意掌握求函数值域的技巧与方法 对于不同的函数,求其值域的方法也不同,下面介绍一些见诸于中学教材与有关参考资料的函数值域问题求解方法与技巧。     

值域问题的多种解法

<正>在函数运算中,求值域一直是一种很常见的题型,它的答题形式虽然多种多样,但解题类型相对固定,一般会存在分式函数、换元、复合函数等多种情况,每种情况的解法大多一种,很少能出现一题多解的现象.然而,如标题所示的这道题目显然是个例外,它具有分式函数的结构,又结合有两种不同的三角函数,因而除其特有的解法外,此题会显得更加灵活,更能彰显数学的魅力之所在.原题求函数y=1-sinx/2-cosx的值域.     

用判别式法求一类分式函数的值域应该注意的问题

对形如,一少了牛黔绍(。。,。)的分式函数 “义.月卜口X卞‘般用判别式法求其值域.具体作法是,由~少, 。 .l a义1 b劣 e(1) 去分母得 夕(a、: b二 c)=d、2 e二 f(2)再整理为关于,的方程: (ay一d)二, (by一e)二 气ey一f)=o(3) ,.’x〔R, :.刁=(b夕一。),一4(。y一d)(。少一f)>。(4)又整理为关于夕的不等式: (乙,一4ae)少: 2(Zaf Zed一6e)少 eZ一4df 》〕·(5) 最后解此关于夕的不等式就得到y的取值范围. 然而,不等式(5)的解集是否恰为函数式(l)的值域还需考虑. 若记(z)、(2)、(s)、(4)、(5)这五个式子中的y的取值范围分别是集Yl、Y:、犷:…     

分式求值问题的解法

<正>求值问题是初中特别是初一、初二年级考察学生计算及思维灵活性的一个重要载体,这其中等式条件下分式求值问题有一定的难度,一般比较灵活,这里介绍常用方法.1直接代人法对于显性条件,可以直接代入,起到消元的作用.例1(2017年复旦大学附中自主招生试题)已知实数x、y满足:x-y-3=0,2y³+y-6=0.则x/y-y²的值为().     

几何问题中的函数值域

在近几年高考中,频繁出现的求直线的斜率和截距、动点坐标、向量夹角、图形面积等参数的取值范围问题,表面看来是几何问题,但其实质可以看作是函数的值域问题.从数量关系来看,需把所求的量用另外一个量表示,建立这两个量之间的函数关系,然后通过求函数的值域,即可得到所求参数的范围.     

一道函数值域题的三种常规解法

拜读了甘大旺老师2001年第2,4期的文章《就一道函数值域题答赵卓同学问》,我大开眼界,由此,我又获得了下面一道值域题的一种新解法。     

一类分式函数避免使用判别式法求值域的技巧

求 ｆ(ｘ) =ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1型函数的值域 ,是函数学习中的一个难点 ,解题时一般使用判别式法 ,但是 ,判别式法计算较繁 ,容易出错 ,因此 ,笔者认为 ,在能避免使用判别式法解答时 ,应尽量避免使用 .下面介绍可避免使用判别式法的三种情形 .情形 1　分子分母系数满足 ａ2ａ1=ｂ2ｂ1≠ ｃ2ｃ1.此时 ,所求函数可化为 ｆ(ｘ) =ｆａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1 ｅ的形式 ,只需用配方法求出 ｇ(ｘ) =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1的值域 ,就可求得原函数的值域 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =2ｘ2 2ｘ 3ｘ2 ｘ 1的值域 .解　∵ ｆ(ｘ) =1ｘ2 ｘ…     

对判别式法求二次分式函数值域的思考

众所周知,判别式方法适用于形如y=a₁x²+b₁x+c₁/a₂x²+b₂x+c₂（a₁²+a₂²≠0）①,定义域为全体实数或者缺失个别点的"几乎全体实数".若定义域为全体实数R,则将分式函数①转化为y（a₂x²+b₂x十c₂）=a₁x²+b₁x+c₁②,这个转化是等价转化,判别式法可以大胆使用,无需顾忌.但是,若定义域为缺失个别点的"几乎全体实数",则①转化为②就不是等价变形,需要考虑y可能的增根,否则易产生错误.1对值域产生增根的探究     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…