一道应用题的几何解法

全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学第三册(选修Ⅱ)中有如下一道题:例题如图1,已知海岛A与海岸公路BC的距离为50 km,B、C间的距     

新题征展(130)

A 题组新编1.(1)如图1,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C修建公路的费用分别是1万元/km,2万元/km,求修建这两条公路的总费用最低是多少万元?     

一道选址问题的“圆”理和“折”理

题如图1,铁路线上线段AB=100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路.已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3∶5,为了使     

一个最优化问题的多角度探求

问题某人在海上以打鱼为生，他在如图1的海上A地捕鱼，A地离海岸最近点B的距离为6km，点B离他家C点10km，如果他划船的速度为3km/h，在海岸线BC上的步行速度为6km/h，一天回家有事，为了尽快到家，他应在海岸线BC上离家多远处的D点着陆?并求出所用的最少时间。     

一道选址问题的“圆”理和“折”理

题如图l,铁路线上线段AB=100km,工厂C到铁路的距离CA=20km．现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路．已知每吨货物运输lkm的铁路费用与公路费用之比为3：5,为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少,点D应选在何处？     

对一题多解的辩证理解

1 一题多解的优点“一题多解”之所以深受数学教师的重视,就是因为在解题过程中能够引导学生多层次、多角度的思考问题,全面地应用知识来分析问题与解决问题.例如人教版第二册(下B)的习题9.8的第4题:如图,已知正方体ABCD-A′B′ C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离.教师可以引导学生从不同的入口,挖掘不同的解法.解法1 ∵AC∥平面A′DC′,∴点A到平面A′DC′的距离h就等于异面直线AC与DA′的距离,从而转化为点面距.     

一道高考物理模拟试题的数学解法

北京市一些著名重点中学的特级、高级教师编写的《2 0 0 1年北京市海淀区高考模拟试卷》(北京理工大学出版社 ,2 0 0 1年 1月 )物理分册中有这样一道试题 :一辆小车在轨道 AB上行驶 ,速度 v1=50 km/ h,在轨道以外的平地上行驶的速度 v2= 4 0 km/ h,在离轨道垂直距离 PM=30 km处有一仓库 P,这辆小车从距离 M点 1 0 0 km的 A处行驶到仓库 P至少要用多少时间 ?原解答人运用光的折射定律给出了一种物理解法 .解法 1　我们若将运动方向倒过来 (逆向思维 )则问题变成小车从 P点怎样行驶到 A点用时最省 .这样 ,我们可把行程问题与光线问题联系…     

一道试题的解法透析

<正>一、试题呈现如图1,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km的地方有一居民点B.A、B之间的距离为90km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h,在草地上行驶的最快速度是30km/h.问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?     

让学生担当课堂的主角——一堂解三角形复习课的记述与感悟

1 问题提出 　　图1不久前,笔者上了一堂解三角形复习课,此前准备了三道例题,其中一道是:如图1,某观测站C在城A的南偏西20°的方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得距C为31km的公路上B处,有一人正沿公路向A城走去,走了20km后,到达D处,此时C、D间距离为21km,问这人还需走多少千米才能到达A城?……     

一道中考题的求解思路

<正>题目如图1,一艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A北偏西30°方向上,A地位于B地北偏西75°方向上,A、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离(参考数据:2^(1/2)≈1.41,3(1/2)≈1.41,3^(1/2)≈1.73,6(1/2)≈1.73,6^(1/2)≈2.45,结果精确到0.1).这是2013年烟台市中考数学试题第20题,《中学生数学》2014年10月下刊登了王志     

两个高考题的别解思考

问题1(2010全国卷12题)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为A.2√3/3 B.4√3/3 C.2√3 D.8√3/3问题2(2009全国卷10题)已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在面α,β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P,Q两点的距离的最小值为A.√2 B.2 C.2√3 D.4这两个立体几何问题,都是求最值,学生的得分很低,做对的学生也多是猜对的,那么这两个问题真的就那么难吗?究竟是哪里出了问题?难在什么地方?为什么这么多学生都不会做?     

一道应用题的多种解法

看下面这道应用题: 如图1,一条河宽1km,两岸各有城市A和B,A与B的直线距离为4km,今需铺设一条电缆线连结A与B,已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费是     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

赏析两道试题

现撷取 2 0 0 3年春季湖北省部分重点中学高三联考数学试题中的两道应用题加以赏析 .1.拙中见巧 ,平淡见珍奇题 1　 (理科第 12题 )某县位于山区 ,居民居住区域呈如图所示的五边形 ,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成 ,若AB =60km ,AE =CD=3 0km ,为了解决当地人民看电视难的问题 ,准备建一个电视传播台 ,理想方案是转播台距五边形的顶点的距离平方和最小 ,图中P1 、P2 、P3、P4 是AC的五等分点 ,则转播台建在 (　 ) .(A)P1 处　 (B)P2 处　 (C)P3处　 (D)P4 处解　以AB所在直线为x轴 ,EA所在直线为 y轴 ,A为原点建立坐标…     

数形结合解行程

<正>在数学的学习中,我们不仅要有灵敏的思维和扎实的基本功,还要善于思考,总结规律.题目在直线上依次有A、B、C三地,甲、乙两车同时分别从A、B地出发,沿直线匀速驶向C,最终到C,设甲乙行驶x(h)后,与B地的距离分别为y甲、y乙(km),y甲、y乙与x的函数关系如图1:     

“异侧和最小,同侧差最大”在解析几何中的应用

一、问题提出题1（2009年四川高考题理科第9题）已知直线l₁:4x-3y+6=0和直线l₂:x=-1,抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（）（A）2（B）3（C）5/11（D）16/37解析如图1,直线l₂:x=-1为抛物线y²=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l₂的距离PB等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离PF,故本题化为在抛物线y²=4x上找一个点P,使得     

关于抛物线的一个性质

我们在抛物线y=ax~4上取A、B、C。三个点,并使它们在ox轴上的投影距离相等、即A_1B_1=B_1C_1=m(图1)试求△ABC的面积。记A、B、C的横坐标为x_1、x_2、x_3,根据题设     

一道高考试题所引起的思考

2008年高考浙江卷理科第20题:已知曲线C是到点P(-1/2,3/8)和到直线y=-5/8詈距离相等的点的轨迹.l是过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不在l上)的动点;A,B在z上,MA⊥l,MB⊥x轴(如图1).……     

对一只圆柱形杯子倾斜问题的探讨

例题一只无盖的圆柱形杯子放在水平的桌面上.杯子的底面半径为1,高为4,杯子原来盛满了水.现让杯底一点A接触桌面,将杯子倾斜,倒出5/6的水,如图1,则其水面与桌面的距离等于______.(A)1(B)2~(1/2)(C)4/3(D)4/(17)~(1/2)分析设圆柱底面半径为R,底面积为S,高为h,则R=1,h=4.设弓形ABC的面积为     

一道高考题推广的简证与拓展

2010年高考四川卷文科21题:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、