一道数学竞赛题的讨论

对浙江省大学生数学竞赛题的一道试题从试题结论的推广及新的结论等方面进行了讨论.     

一道数学竞赛题的再讨论

对第七十五届美国大学生数学竞赛中一道关于定积分最大可能取值的题目,文献[2]给出其推广.利用定积分的性质,本文给出该竞赛题更一般的形式及其证明.文献[2]的推广是本文结果的特例.     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

一道美国大学生数学竞赛题的讨论

对一道美国大学生数学竞赛题进行了讨论,给出了该试题的推广.     

一道国际数学竞赛题的探究

2009年7月10日至22日在德国的不莱梅举行的第52届国际数学奥林匹克竞赛的第2题是：设△ABC的外心为O．点P,O分别是线段CA,AB上的点．设K,L,M分别是线段BP,GQ,PQ的中点．如果直线PQ与△MKL的外接圆相切,证明：OP=OQ.     

一道国际竞赛题的简证

题目:(2006年土耳其国家队选拨考试)已知正数x,y,z满足xy yz zx=1,证明:247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2≥63.文[1]采用三角换元法,并利用导数和Jensen不等式给出了证明.274(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2.但证明过程中错证了cosA cosB cosC≤323.从而证明247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2的证法是错误的.下面给出一个简证.证明:先证(x y)(y z)(z x)≥98(x y z)(xy yz zx)①上面不等式等价于(x y z)(xy yz zx)-xyz≥98(x y z)(xy yz zx)(x y z)(xy yz zx)≥9xyz.由A—G不等式有x y z≥33xyz,xy yz zx≥33x2y2z2,故(x y z)(xy yz…     

一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看2003年第16届爱尔兰数学奥林匹克试题9(见文[1])：     

一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看 2 0 0 3年第 16届爱尔兰数学奥林匹克试题 9(见文 [1]) :设a ,b >0 ,求最大的正实数c ,使得对于任意的正实数x ,均有c≤max{ax 1ax,bx 1bx} .解　设 f (t) =t 1t ,t >0 ,g(x) =max{ f(ax) ,f(bx) } .原问题转为求 g(x) 在x >0时的最小值 .若a =b ,则g(x) =ax     

一道国际数学竞赛题的再推广

[原命题] 锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于三角形ABC的面积.(见图1) 这是第28届国际数学奥林匹克竞赛的一道试题。《中学生数学》89年第6期《一道国际     

一道国际大学生数学竞赛题的注记

对一道国际大学生数学竞赛题做进一步讨论,从而得到更为一般的结果.     

对一道竞赛题的探究

<正>本文从五个方面对一道竞赛题进行探究,目的在于引导学生一图多用,多题一解,抓住解决问题的实质,培养学生探究精神和探究能力.原题(世界数学团体锦标赛)如图1,点E和点F分别是正方形AB-CD中BC边和CD边上的点,且∠EAF=45°,求EF:AB的最小值.     

对一道竞赛题的探究

第31届美国大学生数学竞赛B卷第6题是一道很有趣的题目,本文用命题的形式表述如下:命题1 边长依次为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S=√abcd,则它可内接于某圆.     

构造二次函数巧证一道国际竞赛题

进入初三年级,我们学习了二次方程ax^2＋bx＋c=0根的判别式△=b^2-4ac,学习了二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c与x轴有无交点的判别方法,将二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c化简变形得到f（x）=a[（x＋b/2a）^2-△/4a^2],当a〉0,△=b^2-4ac≤0时,有f（x）≥0．     

关于一道国际数学竞赛题的一点思考

一九六七年在南斯拉夫举行的第九届国际中学生数学竞赛中,有一道试题是: 运动会开了n(n>1)天,发出m个奖牌。第一天发出一个,加上余下的(m-1)个奖牌的1/7;第二天发出2个,再加上余下的奖牌的1/7;如此继续下去,最后第n天,恰好发出余下的n个奖牌。问运动会共开了几天7共发了多少个奖牌? 题目的答案是n=6,m=36,即运动会开了6天,共发了36个奖牌。证明这个结论也不是十分困难的。我们认为,在给学生解答这个题目之后,除要求掌握本题的解题思路与证明方法之外,还应该引导他们继续思考、探索。首先,我们会想到运动会开的天数6与发出的奖牌数36与     

对一道数学竞赛题的探究

如图1,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是     

对一道竞赛题的再推广

贵刊文[1]提出了一种对如下命题的推广,即： 命题对任意正实数a,b,c,均有：（a^2＋2）（b^2＋2）（c^2＋2）≥9（ab＋bc＋ca）．     

对一道平面几何竞赛题的探究

题目2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛第5题：点P为正方形ABCD内一点,PA-1厘米,PB-2厘米,PC-3厘米,则△PBC的面积（单位：平方厘米）为（）．     

对一道数学竞赛题的剖析

九一年全国高中数学联赛第一试第四大题“设O为抛物线的顶点,F为焦点,且pQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求△OPQ的面积”。这是考基础知识和能力的一道解几题,该题难度不大,满分为20分,本人参加了湖北考区的评卷工作。从学生卷面及得分情况看,确实不能令人满意,应该说,这是一道好得分的考题,相反,学生的失分率很高,抽样统计,得0-10分的学生与得11-20分的学生人数之比为2比1,这是极不正常的现象。究其原因,我认为学生还是受思维定势的影响,加上运算能