Structure of the linearized problem for compressible parallel fluid flows

We consider the linearized compressible Navier-Stokes equation near a parallel flow in a cylindrical domain restricting our study to perturbations periodic in the generatrix direction. For any parameter values, we show that the initial value linear evolution problem is solved by the direct sum of a (strictly) contraction semi-group and an analytic semi-group. Any unbounded in time solution of this linear problem comes from isolated eigenvalues with finite multiplicities, which have non negative real part, and whose imaginary part is bounded. In addition, we precise the structure of the spectrum of the generator of the semi-group, locating the essential spectrum stricly on the left side of the complex plane.

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Sunto Si linearizzano le equazioni di Navier-Stokes comprimibili attorno ad un moto lineare in un cilindro. Senza imporre restrizioni sul moto di base, si studia il problema lineare per perturbazioni periodiche nella direzione della generatrice del cilindro. Si prova che il problema di evoluzione lineare è dato dalla somma diretta di un semigruppo di stretta contrazione ed un semigruppo analitico. Ogni soluzione temporalmente non limitata deriva da autovalori isolati di molteplicità finita, aventi parte reale positiva e parte immaginaria limitata. Si studia anche la struttura dello spettro del generatore del semigruppo, costituito nel lato destro del piano complesso da autovalori di molteplicità finita, e nel lato sinistro di autovalori e da uno spettro essenziale situato su di una retta parallela all’asse immaginario.

     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

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Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

Forza agente su una sfera in un fluido viscoso con memoria

Riassunto Si affronta il problema del moto di un corpo di forma sferica in un fluido viscoso incomprimibile, infinitamente esteso, con memoria non evanescente. Si assume che il fluido ed il corpo siano in quiete fino ad un istante fissato e che, successivamente, il corpo sia soggetto ad un moto traslatorio. In tali condizioni si determina il moto del fluido originato dal moto del corpo e l’azione del fluido sul corpo stesso.

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Summary The problem of the motion of a sphere in a viscous incompressible fluid of unlimited extent is examined, under the assumption that the memory of the fluid does not fade in time. The fluid and the sphere are assumed to be at rest up to a fixed time; subsequently the sphere is allowed to move without rotation. The motion of the fluid caused by the motion of the sphere and the action of the fluid on the sphere are determined.

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Lavoro eseguito nell’ambito del G.N.F.M. del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Infinitesimal discontinuities in non-linear dielectric media

Summary We study the propagation of first-order electromagnetic discontinuities in an isotropic nonlinear dielectric. By investigating the principal wave fronts, we deduce the fundamental differential equations characterizing the growth of the weak discontinuities.

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Riassunto In questo lavoro viene studiata la propagazione delle discontinuità elettromagnetiche del primo ordine in un dielettrico isotropo non-lineare.Esaminando i fronti d'onda principali, vengono dedotte le equazioni differenziali fondamentali che reggono l'evoluzione delle discontinuità deboli.

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Research supported by M. P. I. contract (60%).     

On the incompressible limit of inviscid compressible fluids

We consider the Euler equations of barotropic inviscid compressible fluids in a bounded domain. It is well known that, as the Mach number goes to zero, the compressible flows approximate the solution of the equations of motion of inviscid, incompressible fluids. Here we discuss, for the boundary case, the different kinds of convergence under various assumptions on the data, in particular the weak convergence in the case of uniformly bounded initial data and the strong convergence in the norm of the data space.

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Sunto Nel presente lavoro consideriamo le equazioni di Eulero per un fluido inviscido comprimibile barotropico in un dominio limitato. è ben noto che, quando il numero di Mach tende a zero, i moti comprimibili approssimano le soluzioni delle equazioni del moto relative ad un fluido inviscido incomprimibile. Qui discutiamo, per il problema al contorno, i diversi tipi di convergenza sotto differenti ipotesi sui dati, in particolare la convergenza debole nel caso di dati iniziali uniformemente limitati e la convergenza forte nella norma dello spazio dei dati.

     

Su una particolare classe di funzioni tensoriali di un tetravettore e sulla conseguente interpretazione dell'elettromagnetismo diMaxwell-Lorentz

Sunto Si estende dapprima allo spazio euclideo a quattro dimensioni e poi allo spazio-tempo pseudoeuclideo la particolare classe di funzioni tensoriali di un vettore che, in una memoria precedente dello stesso autore, era stata considerata limitatamente allo spazio euclideo tridimensionale. Tali tensori godono della proprietà che al mutare del sistema di riferimento le espressioni analitiche delle nuove componenti del tensore, scritte rispetto alle nuove componenti del vettore, conservano l'invarianza formale. L'analisi di tali funzioni tensoriali mette in evidenza che le espressioni analitiche delle loro componenti risultano indeterminate a meno di un piccolo numero di funzioni del solo modulo del vettore, chiamate funzioni di distanza (f. d. d.). Dall' attuale analisi risulta che il numero delle f. d. d. atte ad individuare un tensore dello stesso ordine diminuisce con l aumentare del numero delle dimensioni dello spazio. Così per il tenore del 2⁰ ordine si hanno tre funzioni di distanza nell' S₃ e due nell' S₄. Per il tensore del 3⁰ ordine si hanno 7 f. d. d. nell' S₃ e 5 nell' S₄. Il tensore q_{l, m, n} emisimmetrico negli indici l ed n è individuato nello spazio-tempo da una sola f. d. d. Nell' ultima parte della memoria si cerca un' interpretazione dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz mediante le dette funzioni tensoriali nello spazio-tempo. Si compone il detto tensore emisimmetríco q_{l, m, n} con il tetraelemento di linea oraria percorsa da una carica puntiforme in moto e si integra lungo la linea oraria. Il detto tensore q_{l, m, n} è funzione, appartenente alla classe in considerazione, del tetrasegmento che unisce il punto-evento in cui si trova la carica con il punto-evento in cui si vuole calcolare il campo elettromagnetico da essa generato. Scegliendo opportunamente l' unica f. d. d. che individua q_{l, m, n} è possibile ottenere il tensore elettromagnetico generato dalla carica. Si riesce così ad isolare l' aspetto geometrico dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz dall'aspetto analitico, che consiste nella particolare f. d. d. del tensore elettromagnetico q_{l, m, n}.     

Sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro e loro modelli algebrici

Sunto Si studiano i sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro, di fronte all'omologia unidimensionale. Si ravvisa che ad una classe d'omologia compete un solo invariante topologico, che è un intero d ≥ 0 qui denominato ?grado? della classe. Esso fornisce altresì il minimo numero di circuiti non intrecciati e disgiunti che intervengono in un ciclo della classe; inoltre, trascurando il valore d = 0 che risponde alla classe dei cicli omologhi a zero, si trova che d −1 è il minimo numero di punti doppi posseduti da un circuito il quale, orientato, sia un ciclo di una classe di grado d. Anche si costruiscono modelli di cicli, appartenenti a classi diverse, col minimo numero di mutue intersezioni. Infine si costruiscono in ogni classe modelli algebrici (cioè realizzati con le parti reali di curve algebriche reali) soddisfacenti a requisiti di minimo. Lavoro eseguito nell'Istituto di Geometria dell'Università di Pavia, nell'ambito del Gruppo di ricerca N. 32 (?Questioni di realità che offrono gli enti algebrici?) del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Comitato per la Matematica).     

On the distribution of complex numbers according to their transcendence types

Summary For each complex number its transcendence type is defined as a non-negative real number, which supplies a measure of its approximability by algebraic numbers. The distribution of complex numbers according to their transcendence types is studied and the existence of complex numbers with a given transcendence type is proved.

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Sunto Per ogni numero complesso è definito il suo tipo di trascendenza come un numero reale non negativo che fornisce una misura della sua approssimabilità mediante numeri algebrici. Si studia la distribuzione dei numeri complessi in relazione al loro tipo di transcendenza e viene dimostrata l'esistenza di numeri complessi aventi tipo di trascendenza assegnato.

     

Global in time solutions for the Poiseuille flow of Oldroyd type in 3D domains

A Poiseuille flow in a 3D cylindrical domain is considered for a non-newtonian fluid of Oldroyd type. We prove existence (and uniqueness) of a global (in time) weak solution. Moreover, this weak solution is a strong solution when data are more regular. These results have already been obtained in the case of two concentrical cylinders ([3]). Now, we consider an extension to an unique cylinder. Then, a mixed parabolic-hyperbolic PDE's system appears but the parabolic equation is of degenerate type. The key of the proofs is to estimate in appropriate Sobolev weighted spaces (and to obtain strong convergence in weak norms by means of a Cauchy argument).

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Sunto In questo lavoro viene considerato il moto di Poiseuille in un dominio cilindrico tridimensionale per un fluido non-Newtoniano tipo Oldroyd. Viene dimostrata l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole, globale nel tempo. Inoltre, questa soluzione debole diviene forte quando i dati diventano più regolari. Questi risultati sono già noti nel caso del dominio tra due cilindri concentrici ([3]). Qui consideriamo l'estensione ad un unico cilindro. Si ottiene, in questo caso, un sistema di equazioni alle derivate parziali misto parabolico-iperbolico, dove l'equazione parabolica è però di tipo degenere. Il punto chiave delle dimostrazioni consiste nel fornire delle stime in un appropriato spazio di Sobolev pesato ed ottenere convergenza forte nelle norme deboli mediante un argomento alla Cauchy.

     

L p Regularity and partial Hölder continuity for solutions of second order parabolic systems with strictly controlled growth

Sunto Si dimostra innanzitutto la regolarità L^p-globale, 2 < p < p₀, delle derivate spaziali D_iu delle soluzioni di un problema di Cauchy-Dirichlet per sistemi parabolici lineari del II ordine definiti in un cilindro Q=×(0,T) Rⁿ×R_t, con dati al bordo nulli e coefficienti L. Questo risultato generalizza quello di [6]. Se ne deduce un risultato L^p-locale, 2

0, per le derivate spaziali D_iu di soluzioni di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati. Ne consegue che, sotto opportune ipotesi, le soluzioni in Q di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati, sono parzialmente hölderiane in Q nel senso che esiste un cilindro Q₀ Q, chiuso in Q e di misura di Hausdorff n-dimensionale 0, tal e che la soluzione u è hölderiana in QQ₀. Questo risultato generalizza quello di [8].     

On steady irrotational flow of incompressible ideal fluid in a circular domain with free surface

We study irrotational steady flows of an incompressible ideal fluid in a two-dimensional circular domain, with free surface. Stationary solutions have been studied as bifurcation problems assuming the obstacle exactly circular, and in the presence of surface tension. In this paper, disregarding the surface tension, for non circular obstacles, we analize the set of solutions close to bifurcation points letting the Froud number as driving parameter.

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Sunto Si studiano moti irrotazionali stazionari di un fluido ideale incomprimibile in un dominio bidimensionale circolare con superficie libera. Di recente, le soluzioni stazionarie sono considerate come problemi di biforcazione assumendo che l’ostacolo sia un cerchio, supponendo che vi sia una tensione superficiale sulla superficie libera. In questo lavoro trascurando la tensione superficiale e considerando ostacoli non circolari, analizziamo l’insieme delle soluzioni vicino punti di biforcazione al variare del numero di Fround.

     

A univalent spiral-vortex model for separated flow past a polygonal obstacle

Summary A free-streamline flow model for flow past a polygonal obstacle with a near-wake terminating in Tulin's double spiral vortices is constructed. The flows are univalent for a large class of geometries. In addition a criterion is given for determining the underpressure as function of the Reynolds number using the Stokes solution for diffusion of a vortex sheet, and an extension of Tulin and Hsu's matching theory to transitional flows.

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Sunto Si costruisce un modello di flusso con scia e vortici a doppia spirale alla Tulin per un ostacolo poligonale arbitrario. Il flusso risulta univalente per un' ampia classe di geometrie. Inoltre viene proposto un criterio per correlare il parametro del modello al numero di Reynolds del corrispondente flusso viscoso, combinando la soluzione di Stokes per la diffusione di uno strato di vortici con la teoria di Tulin e Hsu (1980).

     

Free molecular flow past a flat plate in the presence of a nontrivial gas-surface interaction

Aerodynamic forces acting on a flat plate, placed in a uniform free molecular flow, are investigated by means of a non trivial gas-surface interaction model proposed by the authors. Drag and lift coefficients and lift to drag ratio are calculated for a large number of values of some meaningful parameters, such as the speed ratio, the gas-wall temperature ratio, the attack angle and two coefficients contained in the reemission model. Simple analytical expressions, different from the classical ones, are obtained for very high or very low speed ratio values.

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Riassunto Le forze aerodinamiche agenti su una lastra piana, posta in una corrente uniforme di gas in regime di molecole libere, sono studiate per mezzo di un modello non banale di interazione gas-superficie solida, già proposta dagli autori. I coefficienti di resistenza e di portanza e il rapporto tra queste due quantità sono calcolati per un notevole numero di valori assegnati ad alcuni parametri significativi, come il rapporto di velocità, il rapporto tra temperatura del gas e della parete, l'angolo di attacco e due coefficienti propri del modello di riemissione. Per velocità molto alte o molto piccole si forniscono delle espressioni analitiche esplicite, differenti da quelle ricavabili dalla teoria classica dei coefficienti di accomodamento.

     

On the falling of objects in non-Newtonian fluids

The falling of a lamina in between two parallel plates containing a fluid of second grade is studied. The velocity of the lamina and the fluid are determined by solving the mixed initial—boundary value problem using Laplace transform. Explicit exact solutions are obtained for the velocity of the lamina and the fluid. Next, the falling of a cylinder in a tube containing a fluid of second grade is analyzed using Laplace transform, and once again exact solutions are found.

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Sunto Si studia la caduta di una lamina fra due piastre parallele contenenti un fluido di secondo grado. La velocità della lamina e del fluido sono determinate risolvendo un problema misto al contorno—a valori iniziali per mezzo della trasformata di Laplace—.Si studia poi la caduta di un cilindro in un tubo contenente un fluido di secondo grado utilizzando ancora la trasformata di Laplace e anche in questo caso si determina la soluzione esatta.

     

The asymptotic analyses of non-linear waves in magneto-thermoelastic solids with thermal relaxation

Summary We investigate the magneto-thermoelastic model with one-dimensional deformation proposed in [1] when Fourier's law is replaced by Cattaneo's Eq. [4]. By means of an asymptotic analysis, we point out the main features of the non-linear wave processes related to different hypotheses based on the order of magnitude of physical parameters connected to thermal relaxation, heat and electrical conduction. In the various cases we obtain the evolution equations which govern the wave amplitude.

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Sommario In questa Nota si prende in esame il modello della magneto-thermoelasticità con deformazioni undimensionali proposto in [1], sostituendo peró alla legge di Fourier l'equazione di Cattaneo [4]. Facendo uso di metodi perturbativi, si mette in evidenza il carattere dei processi ondosi non-lineari connessi con different ipotesi sugli ordini di grandezza dei parametri fisici legati alla conduzione del calore, al rilassamento termico e alla conducibilità elettrica finita. Nei vari casi si deducono le equazioni di evoluzione che governano l'ampiezza d'onda.

     

Estensione delle formule di Eulero e di Lambert ai moti centrali hamiltoniani

Sunto Le formule diEulero e diLambert dànno il tempo di percorrenza di un arco parabolico o ellittico, descritto da un punto che si muove di moto centrale rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, sicchè la forza mo’rice segue la legge newtoniana. Quelle formule vengono estese in questa nota ai casi in cui il moto del punto, ancora parabolico o ellittico, è centrale non più rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, ma rispetto a un punto qualsiasi, sicchè la forza motrice segue la legge hamiltoniana. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Spazio delle configurazioni e vincoli di anolonomia

Riassunto Si considera il moto di un sistema soggetto a vincoli di olonomia e di anolonomia. Dopo aver scontati i vincoli del primo tipo con l'introduzione del moto di un punto rappresentativo entro lo spazio delle configurazioni, si mostra l'utilità, per tener conto anche di quelli del secondo tipo, della introduzione di un'opportuna n-pla di congruenze ortogonali, alcune delle quali individuate dai vincoli di anolonomia; si mostra in particolare il significato che hanno, nello studio del moto di tali sistemi, i coefficienti di rotazione del Ricci. A Bruno Finzi nel suo 70 ^mo compleanno. Entrata in Redazione il 5 gennaio 1970.     

Elastic field perturbation by an elliptic inhomogeneity with a sliding interface

Summary Muskhelishvili complex potentials are used to solve the problem of an infinite elastic plane containing an elliptic inhomogeneity with a sliding interface but no eigenstrain. The boundary conditions considered are (a) continuity of normal tractions and displacements and vanishing shear tractions at the interface, and (b) vanishing stresses at infinity. After a conformal mapping of the elastic plane, the solution is obtained in terms of a set of infinite algebraic equations yielding the Laurent's expansion coefficients of the complex potentials. Distinct sets of formulae must be written for a circular inhomogeneity (degenerate ellipse) and an elliptic inhomogeneity (no degeneracy), and in both cases no closed-form solution is obtainable. For an elliptic inhomogeneity the solution requires iteration and recursion, and implies vanishing stresses in the homogeneity when the system is loaded with a remote uniform shear parallel to the axes of the ellipse.

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Riassunto I potenziali complessi di Muskhelishvili vengono usati per risolvere il problema di un piano elastico infinito contenente una disomogeneità ellittica con interfaccia scorrevole e che non sia all' origine di un campo di sforzi in terni. Si considerano le condizioni al contorno: (a) continuità delle trazioni e degli spostamenti normali e annullamento delle trazioni tangenziali all' interfaccia; (b) annullamento degli sforzi all' infinito. Mediante una trasformazione conforme del piano elastico, la soluzione viene espressa in termini di un sistema di infinite equazioni algebriche per i coefficienti degli sviluppi di Laurent dei potenziali complessi. Si trova che occorre scrivere distinti sistemi per i casi di disomogeneità circolare (ellisse degenere) e di disomogeneità ellittica (non circolare). In ambedue i casi non è ottenibile una soluzione in forma chiusa. Nel caso di disomogeneità ellittica la soluzione consiste in formule ricorrenti e richiede iterazione; inoltre, essa implica l'annullamento del campo di sforzi nella disomogeneità quando il sistema è soggetto ad uno sforzo di taglio uniforme applicato all' infinito parallelamente agli assi dell' ellisse.

     

The behaviour of induced discontinuities behind a first order discontinuity wave for a quasi-linear hyperbolic system

Summary In the present paper we study the propagation into a constant state of the induced discontinuities associated with a first order discontinuity wave for a quasi-linear hyperbolic system. Making use of the theory of singular surfaces and the ray-theory, we derive and solve completely the equations which the induced discontinuity vector must obey along the rays associated with the wave front. So we determine the evolution law of and find that it depends non-linearly on the first order discontinuities and on the geometrical features of the wave front; thus the behaviour of the induced discontinuities is known once the evolution law of the first order discontinuity wave is obtained explicitly.

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Riassunto In questa nota studiamo la propagazione, in uno stato costante, delle discontinuità indotte associate a un'onda di discontinuità del primo ordine per un sistema iperbolico quasi-lineare. Adottando un'opportuna combinazione della teoria delle superfici singolari e delle teoria dei raggi, determiniamo in maniera completa il comportamento del vettore delle discontinuità indotte lungo i raggi associati al fronte d'onda. Troviamo che la legge di evoluzione di dipende non linearmente dalle discontinuità del primo ordine e dalle caratteristiche geometriche del fronte d'onda. L'andamento di è perciò noto una volta nota esplicitamente la legge di evoluzione delle discontinuità del primo ordine.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (G.N.F.M.) and supported by M.P.I. of Italy.