小球碰杯底问题的研究

<正>最近发现研究小球碰杯底的题目还真有一番情趣,增长不少见识,大多数题目是以下面的方式呈现的.题1在抛物线y=x²内画一个圆,问在什么情况下圆的"底部"能碰到抛物线的"底部"?解设圆的方程为x2内画一个圆,问在什么情况下圆的"底部"能碰到抛物线的"底部"?解设圆的方程为x²+(y-r)2+(y-r)²=r2=r²,r>0.     

2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题解法探究

<正>2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题是以抛物线和圆为载体的最值问题,这类问题要求高、难度大,考生答题时容易出现耗时长、计算错误等困难,笔者通过切线的不同求法、三角形面积公式的选择和构造不同函数求最值的角度探究解法,特写此文与读者共鸣.试题呈现(2021全国乙卷理科21)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)2+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

抛物线与椭圆相切的一些结论

<正>在本刊的文[1]中,屈伸老师探究了抛物线与圆相切的一系列结论.在文末,他建议读者进一步探究椭圆或双曲线与圆相切的性质.在本文,我们对屈老师的建议稍作修改,探究抛物线与椭圆相切的性质.如图1,设椭圆■与抛物线x²=2py相切于两点,设其中一个切点为N.再设抛物线的焦点为F,     

椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

斜率关系问题的推广与应用

<正>笔者在辅导学生时,学生提出下面问题"AB是抛物线y²=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y2=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y²=2px,(p≠0)或椭圆x2=2px,(p≠0)或椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,(a>b>0)或双曲线     

对一道新高考联考题的多视角思考与求解

<正>为了熟悉新高考模式,广东、福建等第三批高考综合改革省市安排了此次2021年新高考适应性考试.此题为单项选择题第7题,该题体现了新高考命题的创新性,其解题思路与方法具有很大的开放性.1试题呈现(2021年新高考八省联考)如图,已知抛物线y²=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)²+y2+y²=1的两条切线,     

庆贺中共十九大

<正>将下述汉字换成30以内,且从小到大排列的自然数,建立等式.(1)庆²+贺2+贺²+中2+中²+共2+共²十2十²+九2+九²+大2+大²+胜2+胜²+利2+利²+召2+召²+开2+开²=2017;(2)拍2=2017;(2)拍²+手2+手²+欢2+欢²+迎2+迎²+新2+新²+同2+同²+学2+学²=2017;培2=2017;培²+育2+育²+圆2+圆²+梦2+梦²+接2+接²+班2+班²+人2+人²=2017.     

竞赛题的探究

<正>2013年浙江省高中数学竞赛预赛第18题为如下的一道解析几何题:已知抛物线y²=4x,过x轴上一点K的直线与抛物线交于P、Q两点,证明:存在唯一一点K,使1/PK2=4x,过x轴上一点K的直线与抛物线交于P、Q两点,证明:存在唯一一点K,使1/PK²+1/QK2+1/QK²为常数,并确定点K的坐标.我们自然地想到对于圆锥曲线,是否都能找到某个定点K使得过点K的直线与圆锥曲线交于P、Q两点满足1/PK2为常数,并确定点K的坐标.我们自然地想到对于圆锥曲线,是否都能找到某个定点K使得过点K的直线与圆锥曲线交于P、Q两点满足1/PK²+1/QK2+1/QK²为常数.下面     

蒙日圆的一种几何证法

<正>法国数学家蒙日(Monge,1746-1818)是画法几何的创始人.他发现:椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆.下面是我的推导过程.引理椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的两个焦点分别为F_1,F_2,直线l与椭圆相切于点P,     

对称性助你解题

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上两个不同点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),如果y_1=y_2,那么这两个点是关于对称轴的对称点,     

伸缩变换在解析几何中的应用

<正>我们知道圆与椭圆经过伸缩变换可以互相转化,把椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),横坐标缩短为原来的a(a>1)倍(或伸长为原来的a(a<1)倍),再把纵坐标缩短为原来的b(b>1)倍(或伸长为原来的b(b<1)倍,就可以得到圆x2=1(a>b>0),横坐标缩短为原来的a(a>1)倍(或伸长为原来的a(a<1)倍),再把纵坐标缩短为原来的b(b>1)倍(或伸长为原来的b(b<1)倍,就可以得到圆x²+y2+y²=1的图像.又由于圆的对称性使得圆中直线与圆的位置关系比较容易解决,而且在     

数字“1”与高中数学的渊源

<正>高中数学中有许多与"1"有关的知识,指数函数图像经过的定点(0,1),对数函数图像经过的定点(1,0),三角函数中借助单位圆定义正弦、余弦、正切,sin²α+cos2α+cos²α=1,椭圆、双曲线的标准方程右边为1,椭圆离心率在0到1之间,双曲线离心率大于1,抛物线离心率等于1,平面向量中的单位向量,必然事件的概率为     

智慧窗

<正>1欢呼"嫦娥三号"发射成功请你将下述句子中的汉字分别换成不同的自数数,使等式成立.嫦²+峨2+峨²+三2+三²+号2+号²+登2+登²+月2+月²+成2+成²+功2+功²=2014;玉2=2014;玉²+兔2+兔²+探2+探²+月2+月²+圆2+圆²+梦2+梦²+实2+实²+现2+现²=2014.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2新年祝福四位数2014可拆分为六个正整数的平方和,满足:{2014=中2=2014.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2新年祝福四位数2014可拆分为六个正整数的平方和,满足:{2014=中²+学2+学²+生2+生²+学2+学²+习2+习²+好2+好²,{2014=中2,{2014=中²+学2+学²+生2+生²+身2+身²+体2+体²+棒2+棒².其中前者六个数等差2,后者六个数等差4.写出这两个拆分.(相同的汉字代表相同的数,不同的汉字代表不同的数)(黑龙江省绥化市教育学院(152002)田永海)     

求圆的方程问题的四种解法

<正>在数学的学习过程中,如果对一题有多种解法,则说明对知识有更多的理解;对知识的应用也更加熟练.下面就以一道求圆的方程为例:已知圆C_1:x²+y2+y²+2x+2y-8=0与C_2:x2+2x+2y-8=0与C_2:x²+y2+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求圆心在直线y=-x,且过A、B两点的圆的方程.方法一(待定系数法)     

数量积在解析几何中的作用

<正>如图,椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B,点P(a2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B,点P(a²/c,t)(t≠0)(其中c是椭圆的半焦距).直线PA、PB分别交椭圆于M、N两点.判断点B与以线段MN为直径的圆之间的位置关系.分析判定点与圆的位置关系的基本思路是:点到圆心距离d与圆半径r相比较,分为d>r、d=r、d相似文献   

圆锥曲线的“蒙日圆”

<正>圆锥曲线有关切线的问题时常出现,而关于椭圆的切线,有一个著名的定理:在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上(如图1),该圆的圆心是椭圆的中心,半径等于(a²+b2+b²)2)^(1/2),其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴.因为发现该圆的人是法国数学家加斯帕尔·蒙日,所以这个圆又叫蒙日圆.