一则高考模拟题的思路探析

<正>题目呈现(2023年11月日照市高三期中考试22题节选)已知函数f(x)=xe^a-x(x∈R).(2)若方程e²f(x+2)-x+2=0的两根互为相反数．(1)求实数a的值;     

例析有零点函数的参数取值问题

<正>高考解答题中涉及参数的函数问题,主要考查函数的单调性、函数的零点、函数的极值(最值)、求参数取值,解题过程中往往用到分类讨论、数形结合、化归与转化等思想方法,处理这类问题,同学感到困难.本文结合2016年全国高考Ⅰ卷理科数学21题第一小问,探讨有零点函数中参数的取值问题基本思路.已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求a的取值范围.一、函数零点判定函数零点个数的判定     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,     

也谈巧借导数求方程根的个数

<正>《中学生数学》2014年3月上有姚键新老师的一篇文章《巧借导数求方程根的个数》,该文思路正确,方法妥当.但例3解完之后的评语这样写到:"……(2)所涉及方程|lnx|=x/e^(2x)+c,如果将其转化成函数y=|lnx|与y=x/e(2x)+c,如果将其转化成函数y=|lnx|与y=x/e^(2x)+c的图像的交点问题,则很难再继续进行下去……".笔者认为这种描述有值得商榷的地方,下面想就这种方法谈一谈.例题(2013年山东21)设函数f(x)     

借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

一道高考题的多种解法及推广

<正>笔者探究的问题是2012年湖北高考数学卷(理)第6题,原题如下:设a、b、c、x、y、z是正数,且a²+b2+b²+c2+c²=10,x2=10,x²+y2+y²+z2+z²=40,ax+by+cz=20.则(a+b+c)/(x+y+z)=().(A)1/4(B)1/3(c)1/2(D)3/4解析题目中出现6个未知数,而只有3个等式,因此不能把a、b、c、x、y、z具体的值求出来,只能寻求整体与部分的关系来解题.命题实质是考查柯西不等式的应用.由柯西不等     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

利用导数求参变量范围题的错题分析

<正>题目设函数f（x）=-a（x²+1）^1/2+x+ a,x∈（0,1）a∈R⁺.若f（x）在（0,1）上是增函数,求a的取值范围.错解f′（x）=（-ax）/（x²+1）^1/2+1,∵f（x）在（0,1）上是增函数,∴在x∈（0,1）上有f′（x）>0,     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

恒成立不等式面面观

在高三复习中,我见过很多题目似乎相似,课余加以比较分析,果然有不少发现.题一若|x-(a+1)2/2|≤(a-1)2/2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B,求A∪B=B时a的取值范围.题二已知p:|1-x-1/3|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

考题新解

<正>2015年浙江省高考数学文科最后一题(第20题),其中第二小题的题目中涉及到函数的零点问题,标准答案是利用函数、方程、不等式思想解的题目.事实上,利用函数零点的概念解题还是比较简单明了的,请看下面的解法.设函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).     

2015年新课标(Ⅰ)卷数学(理)第12题解法的探究

<正>一、试题呈现题目(2015年新课标(Ⅰ)理12)设函数f(x)=e~x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x_0,使得f(x_0)<0,则实数a的取值范围是().(A)[-3/2e,1)(B)[-3/2e,3/4)(C)[3/2e,3/4)(D)[3/2e,1)二、思路分析本题是有关不等式的存在性恒成立问题,难点是不等式的解是整数,但处理的方法与一般性的恒成立问题并无本质区别,解决这类问题通常有三种思路:     

一道高考试题的多种解法赏析

<正>1试题再现(2020年新高考数学全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=ae^(x-1)-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.问(1)易得,下面给出问(2)解法.2隐零点法隐零点法是处理导函数零点不能直接求出的情况下常用的方法,借助隐零点,可以进一步研究原函数的单调性和极最值,给解决导数问题带来极大帮助.     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

巧换元 妙解方程(组)

<正>有些方程或方程组不易直接求解,若巧换元,还可妙解题.换元的关键是选择换元对象,确定换元方法,有时还要做些变形,才能妙解题.换元是一种解题技巧,而巧换元则是巧中之巧,现举例说明.例1解方程(4x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)=8x⁴.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x4.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x²-5x+1)(6x2-5x+1)(6x²-5x+1)=8x2-5x+1)=8x⁴.(1)     

幂函数不等式的错解剖析

<正>例若(a+1)^(-(1/3))<(3-2a)(-(1/3))<(3-2a)^(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x^(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x^(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x^(-(1/3))的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).故不等式可化为     

从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.