二次函数图像中最值问题的突破——以一道中考模拟压轴题的演变为例

二次函数图像中竖直线段的最值问题是数学中考常涉及的内容.它与几何图形结合求几何图形的最值问题是很容易拓展的内容.然而,在2019年4月苏州一模考试中,28题压轴题第2小问求三角形面积的最值问题,班级的得分率为0.65,仍有35%的学生因为数学建模不够准确,导致得分率较低,甚至不能得分.建模是数学学习的一个重要思想,笔者将水平线段、斜线段、三角形的周长、三角形的面积以及四边形的面积的最值问题统一转化为求例题竖直线段的最值问题.     

一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

知识交汇 思维多样——一道面积最值问题的探究

涉及三角形面积的最值问题,切入思维多样,破解技巧多变,是高考中一类具有创新情境的综合应用问题,极受命题者青睐.结合实例,就一道三角形面积最值的多视角探究与应用加以展示,归纳总结解决问题的规律与技巧,引领并指导解题研究与复习备考.     

三角形中一类面积最值问题的解法探究

<正>在正余弦定理的运用中,有一类求面积最值问题的题目值得关注.这类题有一个特点,即知道三角形的一条边和边所对的角,或者是知道三角形的一条边以及另两条边满足的某个关系,求三角形面积的最值(或范围).下面按已知条件分两种情况举例探讨其解法.     

一类三角压轴题的求解策略

<正>解三角形是高考的重要考点之一,主要考查正余弦定理,三角形边角转换,向量等知识与方法.近来在高三复习中经常遇到三角类求面积最值问题,使学生一筹莫展,下面就谈谈解这类问题的一些处理策略.当遇到一些三角最值求解问题时,主要思路是借助正弦与余弦定理把三角形中边长与相关角的正余弦值,通过选取变量建立相应的     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

从竞赛角度解二次函数图象中三角形面积的最值问题

<正>二次函数图象中三角形面积的最值问题,是全国各地经久不衰的中考热点,也是各级各类竞赛的热门试题.从中考角度看通常有三种解法,即直接求面积法、铅锤法、平行切线法,详见樊龙老师发表于《中学生数学》2013年6月下的《二次函数图象中三角形面积的最值问题》.~([1])若从数学竞赛角度来看,还可以有另外两种解法,能使得解题过程显得直接明了.借     

拓展思维方向，总结解题规律——对一道三角形面积题的探究

<正>三角形面积问题中经常同时兼备三角形的“边”与“角”这两类不同的要素,而涉及三角形面积的最值或取值范围问题,又进一步融合三角形中“动点”与“静点”之间的对比与变化,构建相应的定值与最值、取值范围等变量之间的关系,构成一幅优美的图片,倍受各方关注,一直是高考数学命题的一个热点题型．     

基于定边对定角模型的同题异构

1引言定边对定角模型在初中数学阶段是最为常见的构造隐形圆方式之一,通常用于线段最值,面积最值.本文中是在定边对定角模型的背景下,着力对三角形周长最值问题进行同题异构,通过化折为直思想、构造隐形圆的方法完成周长最值的解决.     

解三角形中的面积最值

<正>解三角形的面积最值是高考的热点内容,它涉及正弦定理、余弦定理、面积公式、三角恒等变换公式,考查方程思想、化归转化思想、函数思想及不等式的运用.正是由于此类试题涉及多个知识点,思路灵活,解法多样,因此倍受命题专家的青睐.本文结合几个例子谈谈解三角形面积最值的处理策略.     

一类椭圆中心三角形面积最值的探究

从一道与椭圆有关的三角形面积最值问题的错解出发,首先是对错解进行纠正,然后将试题进行拓展,得到几个有趣的结论.     

三角形问题中的最值的求解方法

<正>解三角形问题中最值(取值范围)是高考及竞赛重点知识点之一,它不仅与解三角形自身的常见的基础知识密切相关,而且与代数及一些几何中的有关性质密切联系.这类问题综合性较强,解法灵活,对能力要求较高.本文结合全国各省市历年高考和竞赛试卷中涉及解三角形问题中的面积、角、角的三角函数值、边长、周长的最值(取值范围)的求解策略进行归纳,以提高同学们的思维能力和解题能力.例1在△ABC中,内角A、B、C所对的边     

求换角度求解一道三角综合题

<正>题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4(a2+b2-c2),求sinA+sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用.首先根据余弦定理和三角形面积公式可以得到关于角C的正切值,进而确     

条条大路通罗马,一题多解辨最优——解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题是高一数学教学的重难点.本文以学生的认知经验为教学起点,以分类型例题为载体,通过条件与问题的多重变式进行探究,层层深入,引导学生积极思考,迁移探究三角形中面积、周长、重要线段的最值问题,并总结出综合运用正余弦定理求解此类最值问题的方法策略.同时通过一题多解的方式进行拓展教学,开阔学生的思维,引导学生感悟函数与方程、转化与化归、直观想象等思想方法的深刻本质与实用魅力,真正提升学生的思维品质.     

运用三角知识解决四边形问题

<正>解三角形是高中数学学习的重要内容,同学们对解三角形问题比较熟悉,但面对有关四边形问题时,感到陌生并有畏惧心理.本文以解决四边形中的线段长与范围、四边形的面积及最值、四边形中有关角的三角函数值的求解作例,逐一探讨其解决方法,供大家参考.一、四边形中线段长及取值范围的求解     

圆锥曲线焦点弦三角形面积公式及其最值

<正>圆锥曲线焦点三角形面积的计算往往采用韦达定理,尤其是最值问题,求导计算量大,一直为多数学生所诟病,本文另辟蹊径,巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点三角形面积公式,并结合均值不等式或对号函数推论对其最值进行研究,供广大师生们阅读.1圆锥曲线焦半径公式与焦点弦公式设直线l过焦点F且交圆锥曲线于A,B两点,不妨设| AF |> |BF|,     

应用基本不等式，破解三角形最值

<正>利用基本不等式破解三角形中的角、边、周长、面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注.本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值.     

圆锥曲线中三角形面积问题的探究

在圆锥曲线中的三角形面积问题是圆锥曲线有关最值问题比较常见的一种题型,它综合了数形结合思想、函数方程思想以及化归转化思想等多种数学思想方法,有利于考查学生的能力,下面对圆锥曲线中三角形面积问题进行举例说明.     

例说用余弦定理妙解平面几何问题

众所周知,余弦定理是解斜三角形的一个公式.它不仅能解斜三角形,也能解答很多平面几何难题.如平面几何中的不等量命题、定值命题、最值命题,多边形的面积命题等.由此可见,余弦定理在平面几何中的应用是相当广泛的.在此略举数例,供同学们参考.     

求换角度求解一道三角综合题

题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4（a2＋b2-c2）,求sinA＋sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用.