余弦定理的证明方法赏析

1余弦定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.     

统一证明正、余弦定理又一方法

文 [1 ]中用向量平移的方法同时证明了正、余弦定理 ,本文再给出另一种利用向量统一证明正、余弦定理的方法 .图 1如图 1 ,在△ABC中 ,a,b,c分别是三个内角A ,B ,C所对的边 ,以三角形外接圆的圆心O为原点 ,半径OA所在的直线为x轴建立直角坐标系 ,设外接圆的半径长为R,于是A点坐标为(R,0 ) .由三角函数的定义得B点坐标是(Rcos∠AOB ,Rsin∠AOB) ,而∠AOB =2∠C ,故B点坐标为 (Rcos2C ,Rsin2C) .同理C点坐标为(Rcos∠AOC ,Rsin∠AOC)而∠AOC =-2B .故C点坐标为 (Rcos2B ,-Rsin2B) .1 )正弦定理∵AB =(Rcos2C -R ,Rsin2C…     

正余弦定理证明的教学改进

解斜三角形这部分内容,由初中教科书放到全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(下),在平面向量后去讲授,对用向量去解决数学问题,起了一个很好的示范作用.     

也谈正余弦定理证明的教学改进

解斜三角形原本可放在三角函数这一章,用三角的知识完全能证明正、余弦定理,可作为三角函数的应用.而现在将其放到平面向量一章,用向量去解决,这对突出三角函数与向量的交汇起示范作用,体现了新课程中数学各知识间的融会贯通.     

还是用“余弦定理”证明好

在区间(O,x)内,由于余弦函数是单调函数,故在解三角形的某些问题时,采用余弦较正弦为好,仅举一例。题目:△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a、b、c,如果a~2=6(b+c),求证A=2B。(六年制重点中学高中数学课本代数第一册复习参考题三A组25题)。绝大部分资料上对此题的证明都是用弦定理。如《教学参考书》(人民教育出版社出版)上     

等补四边形的性质证明方法赏析

<正>2019年湖北省咸宁市中考数学试卷第23题,题目设计新颖,考查了同学们对新定义类题目的理解与应用.既考查了同学们对基本图形的掌握,又考查了灵活多变的思维能力.1题目呈现(2019年湖北咸宁)定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解:如图1,在等补四边形ABCD 中,AB=AD,连接AC,AC是否平分∠DCB?请说明理由.     

证明线段相等的几种方法赏析

<正>初中阶段证明线段相等的方法非常多,下面我们以一道题为例来说明常见的几种证明线段相等的方法.题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E,求证:DE=EF.证明一、利用全等三角形证明方法一如图2,作DM∥AC,交BC于M.     

E~n中n维余弦定理和正弦定理的新证明

利用Grassmann代数的理论与方法,给出了n维欧氏空间En中n维单形第二余弦定理一种简单的证明.然后利用第二余弦定理给出了n维单形正弦定理一种新的简单证明.     

以动感技术破解余弦定理无字证明的教学难点探析

余弦定理是高中数学的重要定理之一,其证明方法多种,特别是无字证明蕴含丰富的转化和化归思想,对发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养非常有意义.但传统教学中,该定理的无字证明难度较大.本文以动感技术融合该定理的教学.也许能更好引导学生经历观察、猜想、操作及验证环节,破解余弦定理无字证明的教学难点,助力学生理解,发展学生直观想象、数学抽象以及逻辑推理等数学核心素养.     

巧用余弦定理

贵刊85年第4期“中学生园地”中刊登了这样一道题:“在△ABC中角A=45°,高AD分BC成BD=3,DC=2,求△ABC的面积”的两种解法,其中一种是几何解法,一种是三角解法。前者相当麻烦,后者简捷明确,是此题的一种较好的解法。但可惜不适合初中教学,今介绍一种三角解法, 既简单又适用于初中教学。解设AD=x,则 AB~2=x~2+3~2,AC~2=x~2 +2~2, ∵BC~2=AB~2+AC~2 -2AB·ACcos∠BAC,∴(3+2)~2=x~2+3~2+x~2+2~2-2(x~2+3~2)~(1/2)×     

漫谈余弦定理

平面三角形里,我们有如下熟知的余弦定理:如图1,在△ABC中,c2=a2 b2-2abcosC.图1 图2在中学课本里,余弦定理是用坐标法证明的.如图2,建立直角坐标系,则A、B的坐标分别为A(bcosC,bsinC)、B(a,0),于是c2=|AB|2=(a-bcosC)2 (bsinC)2=a2 b2-2abcosC.     

余弦定理的推广

众所周知的余弦定理是指下面的数学命题: 设△ABC的三边的长分别为a、b、c,三个内角依次为A、B、C,则 当△ABC为直角三角形时,由余弦定理可得出勾股定理。 可是,在三维欧氏空间,对于四面体是否亦有类似定理呢?答案是肯定的。 事实上,我们有如下令人兴奋的结果:     

余弦定理的应用

众所周知,余弦定理是解三角形的重要定理之一,运用它独特的结构形式:a2+b2-2ab00sC在求解三角形中的化简、求值、证明时有着非常广泛的作用和独特的魅力,"用活"余弦定理有时会有意外的欣喜.……     

变化多端的余弦定理

设△ABC中A,B,C所对边长分别为a,b,c,则c2＝a2+b2-2abcos C,或cos C＝(a2+b2-c2)/2ab.这便是赫赫有名的余弦定理,它是揭示三角形的边角之间数量关系的重要定理,有着广泛的应用,本文将给出余弦定理的几种变化形式,并结合例题说明它们在解题中的应用.     

22余弦定理

２２余弦定理４１５５００湖南澧县教研室曹继银１３７４００内蒙古科右前旗教师进修学校姚殿平本设计乃综合曹、姚两老师的来稿充实改写而成的．其特色在于：从生活实例出发．先探究几个特殊的例子①观察、概括诸特例中的共同点，引导猜测具有一般性的某个结论②再验证于...     

“探究证明型”问题赏析

<正>发现是创新的前提,中考中"探究证明型"问题就是从发现到创新的具体展现.此类问题一般是先提出问题,然后进行类比探究,并进行拓展研究,因此在解决过程中,要注意"思前想后",注意前面解决问题的方法对后面问题解决的提示作用.下面通过两例欣赏一下此类问题的解决过程.     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

余弦定理与向量

1如以x_a,x_b,x_c分别表示三角形三边a,b,c上首尾相接的向量,则x_a x_b x_c=0.所以内积(x_a.x_a)=[-(x_b x_c)]-[(x_b x_c)]或x_a~2=(x_b x_c)~2=x_b~2 x_c~2 2(x_b.x_c).其标量式:a~2 b~2 c~2 2bc.cos(π-A)=b~2 c~2-2bccos A即为三角形的余弦定理.进而考虑任一有向角折线:∑n