一道高中数学联赛预赛题的探究

<正>例题(2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛第5题)已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为__.这是一道构思精巧,新颖别致,给人带来美的享受的试题,就像一个透明光亮的球体内有一个鲜活的四面体在游动,它的体积随着四面体的位置变化而变化.学生得分很低,据调查做对的同学也多是猜对的,这个问题真的那     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

一道2019年高中数学联赛预赛题的探究

<正>一、题目呈现(2019年全国高中数学联赛江西省预赛第9题)设椭圆C的两焦点为F₁,F₂,两准线为l₁,l₂,过椭圆上的一点P,作平行于F₁F₂的直线,分别交l₁,l₂于M₁,M₂,直线M₁F₁与M₂F₂交于点Q.证明:P,F₁,Q,F₂四点共圆.二、证法探究证法1设椭圆方程为x²/a²+y₂/b²=1(a> b>0),据对称性知,点Q在y轴上(如图1).记P(x₀,     

一道2023年全国高中数学联赛预赛试题的探究

先给出一道2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题的解法,并对其进行变式拓展,探究这类三角函数最小值问题的命题策略,给出符合学生思维的常规解题方法.     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

对一道全国高中数学联赛题的思考

20 0 0年全国高中数学联合竞赛第 14题是 :若函数 f( x) =- 12 x2 + 132 在闭区间[a,b]上的最小值为 2 a,最大值为 2 b,求[a,b].由于对于给定的二次函数 f ( x)和给定的正常数 k,并不一定存在闭区间 [a,b],使f( x)在 [a,b]上的最小值为 ka,最大值为 kb,由此使笔者想到 :命题者是如何找到 f( x)的 ?其相应闭区间的存在性是否有一般性的判别法则 ?当闭区间存在时 ,其个数问题能否确定 ?事先可否对闭区间提出一些特殊要求 ?经探索 ,笔者获得了如下结论 :定理　存在闭区间 [m,n]( m 相似文献   

对一道联赛预赛题的探究

<正>~~     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

一道联赛预赛题的通法求解

赛题（2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛题第5题）已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为___。     

一道高中数学预赛题的多向推广

众所周知,等差数列存在一些美妙的性质,列出如下. 性质1 等差数列{an｝的前n项之和An=an2+bn. 性质2 若等差数列{an｝与等差数列{bn｝前n项之和分别为An,Bn,则An/Bn=an+b/cn+d. 证明:设{an｝,{bn｝的公差分别为d1,d2,由An=na1+n(n-1)d1,Bn=nb1+n(n-1)d2,得An/Bn=d1/2n+(a1-d1/2)/d2/2n+(b1-d2/2)=an+b/cn+d,其中a=d1/2,b=a1-d1/2,c=d2/2,d=b1-d2/2.     

一道联赛预赛题的通法求解

<正>赛题(2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛题第5题)已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为_______.这是一道构思新颖、独具匠心的试题.由于四面体的体积随着它的位置、形状的变化而变化,考生抓不住变化中的三个不变(一个半径,一组对棱长),故而考生的得分率很低;即使文[1]也没有从     

2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题答案

1.C.原方程变形为lolgo3g(333x) lolgo3g(3327x)=-34,即1 l1og3x 1 l3og3x=-34.令1 log3x=t,则1t 3t=-43,解得t1=-1,t2=-3.所以1 log3x=-1或1 log3x=-3,所以方程的两根分别为91和811,故a b=8110.2.A.连PD,则DP=25BC,所以DP//BC,故∠ADP=∠B,故S△APDS△ABC=12AD.DP.sin∠ADP12A     

对一道全国高中数学联赛题的探讨和引伸

一九八八年全国高中数学联赛第一试试题中,有这样一道选择题: 已知:三个平面α、β、γ,每两个平面之间的夹角都是θ,且α∩β=α,β∩γ=b,γ∪α=c.若有命题甲:θ>π/3 命题乙:a、b、c相交于一点.则(A)甲是乙的充分条件但不必要. (B)甲是乙的必要条件但不充分. (C)甲是乙的充分必要条件. (D)(A)、(B)、(C)都不对. 不难证明甲是乙的充分条件.在证充分性之前值得指出:现行教材没有明确提到两平面间的夹角,但通常都是指两平面相交所成的诸二面角的平面角中不     

一道2023年全国高中数学联赛解析几何题的探究

<正>本文对一道高中数学联赛解析几何题进行探究,通过对题目中的条件进行改编,得到更为一般的结论,并针对结论分析轨迹的变化趋势．同时对联赛题追根溯源,发现它与教材中的某一习题类似,从中可以看出教材习题是联赛题目的重要素材库和来源．