一元二次方程有根“1”的条件的应用

本刊第二期刊登的四川渡口四中黄应勤《用观察法解某些一元二次方程》的短文,有一个结论:若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0,反之,若a+b+c=0,则必有一根为1。此结论不仅能迅速地求出某些一元二次方     

构造一元二次方程证明三角条件等式

一元二次方程是方程中一类重要而又简单的方程,其许多结论(如求根公式、根的判别式、韦达定理及其逆定理)在解题中有着极其广泛的应用。因为三角函数我们是在实数范围内研究的,因此某些三角条件等式,如果能构造出一元二次方程(以某一个三角函数作为未知数),则可运用一元二次方程中的一些重要结论来解决问题。现举数例说明。一、构造方程,将所求问题转化为求方程的解。例1     

一元二次方程根与系数特殊关系应用

实系数方程 (l)c=0,贝J xl竺程似’ 酝十犷O‘“‘。’有‘性质:右对二2 酝十。二0(a笋0)有。 b十,赴一专为方程的二根‘为c一a反之,:,~1,z:二axZ十酝十c~O(a并夕只理0)的二根,则。 b 。一0. (2)若对ax, 酝 c一0(a护0)有a e二b,则x,二一l,xZ二一二为 a肚2十厉十e=0(a护0)的根;     

一元二次方程两根异号的条件

相容条件是指两个条件的关系是包含关系。如果条件A与条件B有AB,则在解题时条件A可以舍去。如果不舍去条件A,当然不会使解答产生错误,但使解答过程繁锁,方法不尽合理,运算难得简练。这种问题的产生,或是对问题的条件没有进行认真的分析和思考,粗     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

师:上节课我们复习了方程、方程组及其解法,已明确了一元一次方程与一元二次方程在解方程、方程组中的基础地位.这节课复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.(出示课题)同学们回顾一下     

构造一元二次方程证明几何不等式

近年来,在部分省、市中考试题中,时常出现一些有关几何不等式的证明题,证明这类问题的方法较多.今介绍一种构造一元二次方程,运用根的判别式来证明的方法,现以部分     

编程求一元二次方程的根

本文欲编写一个程序,用于求一元二次方程的根,使得只要给出了方程的系数,该方程的根就可立即求出．为使所编程序如同做数学题一样,我们采用数学软件MATHCAD进行编写．     

浅谈方程有根问题的证明方法

证明方程在某个区间内有根是微积分中常见的一类问题。然而，很多学生在解决这类问题时，往往感到很困难，不知如何下手。本文将分析这类问题的特点，指出解决这类问题的方法，总结其规律。一、问题的特点证明方程在某个区间内有根，常用的定理有两个：根的存在定理和洛尔定理。其共同的特点，就是要找一个合适的函数F（X）满足各自定理的条件。找一个合适的函数，就是我们常说的找辅助函数，这是解决问题的关键。二、解决问题的方法前面说过，解决这类问题的关键就是找辅助函数F（X），如何去找，要根据方程的形式、特点。下面我们结合具…     

关于一元二次方程根的讨论

在高二数学期未复习中,我们发现许多学生对于一元二次方程的正根、负根、有理根、整数根的讨论以及判断两根在某开区间内(外)的充要条件的问题感到很困难,一是把握不     

一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

关于一元二次方程在一定范围内有解的条件问题

一元二次方程在一定范围内有解的条件问题,是中学数学中的一个重要问题,大家经常碰到它,但很少见有全面系统的研究。本文想就此作一点探讨。 (一) 一元二次方程有两根在实数范围的条件     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学学习的重点,是重要的基础知识,也是解数学题的重要工具,它能用于判定方程根的情况,证明二次三项式为完全平方式,利用其构造一元二次方程,进行代数恒等式或不等式的证明;与几何知识相联系时,还可以解决判断三角形的形状;解决二次函数相关问题等.一元二次方程根的判别式是中考必考内容.本文通过近年各地中考题探讨其应用,供读者学习参考.     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即     

趣说一元二次方程根的特性

1.根的实数性众所周知,对于实系数方程ax2 bx c=O(a≠O)来说,只有在△=b2—4ac≥O才有实数根.并且满足:△>0方程有两个不相等的实数根;△=0方程有两个相等的实根.△<0方程无实数根.因此,一个实系数的一元二次方程,最多只有2个实根.     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

复系数一元二次方程根的判别

我们知道，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，可由根的判别式△＝b2－4ac来判定，有如下根的判别式法则：定理1实系数一元二双方程ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c∈R，a≠0，当△＞0时，方程有两个不相等的实根；当△＝0时，方程有两个相等的实根；当△＜0时，方程有两个共轭虚根．定理1的逆命题也成立．现在问：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中的系数是一般复数，定理1是否仍成立？容易看出，不能简单地将定理1推广到复数范围．这是困为：当a、b、C中有虚数时，△＝b2－4ac可能为虚数，这时△＞0，△＝0，△＜0均不成立；即使△…     

怎样求一元二次方程的整数根

近几年的数学竞赛中常出现含有参数的一元二次方程的整数根问题,解这类问题需要有较强的综合分析问题的能力.本文结合几例谈谈这类问题的常见解法.     

一元二次方程根的几何求法及根与系数关系的几何解释

对一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),我们首先把它化为二次项系数为1的形式,即为 x~2+px+q=0 (1) 然后给出直接用几何法求方程(1)的根的方法,并对方程(1)有解、无解及有解的根与系数间的关系作几何解释,以供同行们参考。