费马点、拿破仑点、重心、垂心与相似形

你了解费马点吗 ?它是这样定义的 :在一个锐角三角形中 ,与三个顶点的距离之和最小的点 ,叫费马点 .分别以△ABC的三边为底边 ,向形外作等边三角形 ,如图 ,连结AC′、BA′、CB′,你会发现神奇的现象 ,这三线交于一点 .这一点就是费马点 .如果A′、B′、C′是等边三角形的中心 ,连结AC′、BA′、CB′,这三线仍然交于一点 .这个点人们称为拿破仑点 .连结A′、B′、C′,△A′B′C′竟然是等边三角形 ,这个等边三角形叫做拿破仑三角形 .10 0多年前 ,德国数学家基佩特 (Ludwigkiepert,1846-193 4) ,发现了一个更有趣的现象 ,费马点、拿…     

以三角形的三边构图的数学名题

题 1　 (拿破仑定理 )以△ＡＢＣ各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明　如图 1,等边△Ａ′ＢＣ、△ＡＢ′Ｃ、△ＡＢＣ′的中心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,连结ＢＢ′ ,ＣＣ′ .∵　∠ＢＡＢ′ =∠ＣＡＣ′ =∠ＢＡＣ +60° ,∴　△ＢＡＢ′≌△Ｃ′ＡＣ .故　ＢＢ′ =ＣＣ′.同理可得　ＡＡ′ =ＢＢ′ =ＣＣ′.记△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ,连结ＢＯ1 、ＢＯ3,则ＢＯ1 =33 ａ ,　ＢＯ3=33 ｃ .∴　 ＢＯ1 ＢＯ3=ＢＣＢＣ′=ａｃ.又　∠Ｏ1 ＢＯ3=∠…     

拿破仑定理背后的故事

1 前言 拿破仑定理是平面几何中一个有名的定理.简述如下([5][6]):任取一平面三角形△ABC,以三条边为底线分别向外作等边三角形△XBC,△YAC,△ZAB,这三个等边三角形的中心(即内切圆心)L,M,N构成一个新的等边三角形△LMN,称作拿破仑外三角形.     

构造相似三角形探讨三角问题

众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1　一个重要性质在△ＡＢＣ中 ,以ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＢ ,ｓｉｎＣ为边可以构造一个△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,且△ＡＢＣ～△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .△Ａ′Ｂ′Ｃ′外接圆半径为 12 .图 1　三角形边角关系证　 (如图 1)设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理有 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ =12Ｒ(ａ ｂ)>ｃ2Ｒ=ｓｉｎＣ .同理ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ .因…     

关于三角形等力点的几个问题

文献[1]中定义,设S是△ABC平面上一点,满足BC.AS=CA.BS=AB.CS的点,叫做△ABC的等力点.一般三角形都有两个等力点(从力学角度看,称S点为等力点很贴切).文献[2]中指出,三角形的正等角中心与等力点互为等角共轭点.正等角中心F与等力点S的重心坐标分别为{asin-1(A π3),bsin-1(B π3),csin-1(C π3)}、{asin(A π3),bsin(B π3),csin(C π3)}.注:若在△ABC的外边作正三角形△BCA′、△CAB′、△ABC′,则AA′、BB′、CC′三线共点,该点称为正等角中心,当△ABC的最大角不大于120°时,正等角中心就是费马点;当△ABC的最大角大…     

例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

匹窦不等式的一些初等证法

匹窦(D.Pedoe)是一位著名的几何学家,早在本世纪四十年代初期,他就提出并证明了一个涉及两个三角形的边长和面积的不等式,这个不等式,称为匹窦不等式,即设△ABC和△A′B′C′的边长分别是α,β,γ和α′,β′,γ′,它们的面积分别记为△和△′,那么将有不等式     

外拿破仑三角形的推广

外拿破仑三角形的推广曹鸿强（国防科技大学计算机学院４１００７３）在初等数学的百花园中，有着许多绚丽多姿的奇葩，令千千万万的数学爱好者为之流连忘返．著名的外拿破仑三角形就是这样的一个例子．定理１对于任意△ＡＢＣ，分别以它的三条边为底边，向外作正三角形△...     

相似三角形及其应用(上)

<正>定义:如图1,△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且(AB)/(A′B′)=(BC)/(B′C′)=(CA)/(C′A′),则称△ABC与△A′B′C′相似,简记作△ABC∽△A′B′C′.一、相似三角形的判定1.两角对应相等的两三角形相似;2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;3.三边对应成比例,两三角形相似;4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;     

三角形全等(上)

<正>定义△ABC与△A_1B_1C_1中,若AB=A_1B_1,BC=B_1C_1,CA=C_1A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCA=∠B_1C_1A_1,∠CAB=∠C_1A_1B_1.则称△ABC与△A_1B_1C_1合同(全等),△ABC与△A_1B_1C_1全等,记为△ABC≌△A_1B_1C_1.两个三角形全等的判定:三角形全等的判定定理1如果一个三角形的两边和夹角,与另一个三角形的两边和夹角对应相等,则这两个三角形全等.简记为     

数学问题解答

1988年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)526。平面上有两个正三角形ABC、A′B′C′,B′C′在BC上且它们有公共中点O,三角形位置如图示。然后把△A′B′C′绕O点转动到△A″B″C″的位置。试证:不论两个三角形边长如何,也不论转过多大角,总有     

相似三角形在证明几何问题中的应用

相似形是全等形的深入和发展 ,是初中几何的一个重要内容 .相似三角形是相似图形中最简单的情形 ,相似三角形具有相似图形所具有的一切性质 ,且相似三角形在解题中具有广泛的应用价值 .下面介绍相似三角形在证明几何问题中一些常见的应用 .一、在证明相似问题上的应用例 1　已知 :如图 ,定长的弦PQ(长度小于直径 )的两端点在半圆弧AB上滑动 .求证 :不论PQ在什么位置 ,从P ,Q分别向AB作垂线 ,其垂足P′,Q′与中点M所成的三角形都相似 .分析 :因为弦PQ为定长 ,OP ,OQ为圆的半径 ,所以△POQ为全等的等腰三角形 ,因而只须证△MP′Q′…     

用模型探究三角形内角和

在数学实验课上 ,我利用硬纸块三角形模型探究“三角形三个内角的和有什么规律” .其探究如下 :先用硬纸块制出两个完全一样的三角形△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′(图 1、图 2 ) ,再把△Ａ′Ｂ′Ｃ′沿虚线剪下∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,随意在△ＡＢＣ模型的顶点处拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,惊奇地得到图 3、图 4的情形 ,发现∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角刚好拼成一个平角 .显而易见 ,三角形三个内角的和等于 180° .图 1　　　　　　　　　图 2图 3　　　　　　　　　图 4为了验证上面的结论 ,我又重新拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,拼成图 5情形 …     

新证勾股定理逆定理

若三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.这便是著名的勾股定理逆定理.北师大版初中义务教育数学教科书第九册第17页介绍对此定理的经典证明:已知:如图1,在△ABC中,AB2 AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1证明:作△A′B′C′使∠A′=90°,A′B′=AB     

相似三角形识别方法的选择和应用

相似三角形的识别方法有好几种 ,如何应用 ,那要看题设或图中欲证的两三角形已具备了什么条件 ,尚缺什么条件 ,是否能补全 证题过程 ,一般思路如下 :①考虑是否有两角对应相等 ②当只寻得一角对应相等时 ,则考虑夹这角的两边是否对应成比例 ③若无一角对应相等时 ,则考虑三边是否对应成比例 例 1　在一次数学活动课中 ,小明画了个∠A′BC′,在BC′边上取点C ,作BC的垂直平分线交A′B于点E ,交BC于点D 再作出DC的垂直平分线交A′B于点A(如图 1 ) ,他给的工具是无刻度的直尺与笔 ,要求在△ABC内画出一个三角形与△ABC相似 ,并且…     

求角度问题两例

<正>求几何图形中的角度大小问题,形式多样,能突出考查同学们的基础知识和创新能力.现举两例,供参考.例1如图1,在△ABC中,∠ACB是∠CAB的2倍,且b=2a,求这个三角形的角的大小.分析依据原△ABC中的边c与已知两边的关系,为此延长AC到D,使得CD=CB,并据已知两角的关系得出BD=BA,以及△DBC与△DBA相似,则易得出边c与边a的关系,三角可求.     

两个猜想的证明——关于正则点的继续研究

本刊文 [1 ]发现了三角形的新特殊点 ,并作了初步探讨 ,文末留下了三个猜想 .本文将完成其中猜想 1和猜想 2的证明 ,从而解决任意三角形正则点个数的确定问题 .定理　除文 [1 ]所言的一个正则点 Z外 ,非等边三角形必有而且只有另一个正则点Z′.Z′在△ ABC的外部 ,且Z′A =bcλ′,　 Z′B =acλ′,　 Z′C =abλ′(λ′=a2 b2 - 2 abcos(C - 60°)等三式 )图 1证明　设△ ABC为非等边三角形 ,并设 A为其最大内角 ,B为最小内角 ,则 A >60°,B <60°.情形 　若 A - 60°>60°- B,按以下方法构图 ,使∠ B′O′C′ =A -60°,∠ C′…     

直觉的误导

问题　已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,如图1,我们称△ＡＢＣ是△ＰＢＣ在平面ＡＢＣ上的射影三角形,那么这两个三角形的顶角∠ＢＡＣ与∠ＢＰＣ哪一个大呢?　　这个问题看起来非常简单,凭直觉都认为∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ.事实并非如此,剖析如下.图2∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ的情形1)过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ.当垂足Ｄ在线段ＢＣ上时,因ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,则ＰＤ⊥ＢＣ.在Ｒｔ△ＰＤＡ中,ＡＤ<ＰＤ.在ＰＤ上取一点Ａ′,使ＡＤ=Ａ′Ｄ.易证△Ａ′ＢＣ≌△ＡＢＣ,因此∠ＢＡ′Ｃ=∠ＢＡＣ,如图2.因∠ＢＡ′Ｄ>∠ＢＰＤ∠ＤＡ′Ｃ>∠ＤＰＣ∠ＢＡ′Ｃ>∠ＢＰＣ.从而∠ＢＡ…     

拿破仑三角形的一个特例

拿破仑三角形,包括“外拿破仑三角形”和“内拿破仑三角形”这两类三角形,在三角形ABC三条边的外侧,分别作三个等边三角形,以它们的中心为顶点所构成的三角形,称为“外拿破仑三角形”,若在三角形ABC三条边的内侧,分别作三个等边三角形,那么以它们的中心为顶点也构成的一个三角形,这个三角形     

三角形的几个边角变换

本文给出从三角形边到角的几个变换,并简要叙述其应用.为方便计,本文下面均设a,b,c,△和a′,b′,c′,Δ′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和面积.引理1对△ABC,