一道小题的多种解法

<正>在求解数学问题时,由于思考的角度不同,一些典型问题往往有不止一种的解答方法,这就是通常所说的一题多解.一题多解并不是目的,通过它可以训练和培养思维的灵活性和创造性.下面通过一道例题加以说明.例如图1,已知四边形ABCD是正方形,点E在BF上,若四边形AEFC是菱形,则∠EAB=_____.     

中点四边形的判定与性质

<正>中点四边形是依附于原四边形产生的一类特殊的四边形,不同的原四边形其中点四边形形状不同.人教版八年级数学下P_(68)第9题给出了其定义:"我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形".研究中点四边形,一般是通过连接对角线把四边形中的问题转化为三角形问题,运用三角形中位线定理解决.现将中点四边形的判定与性质作如下归纳:一、中点四边形的判定     

一个四边形面积等分问题的思考

<正>1.问题如图1,四边形ABCD中,过点P能否作出四边形ABCD的面积等分线,若能,请画出面积等分线;若不能,说明理由.本文先给出具体的解答.进一步思考,通过与一些无刻度尺作图的联系,发掘出几个新题目.2.问题的解决方法1这个问题的解答分成两部分,首先作出过点A(或者点D)的四边形ABCD的面积等分线;如图2,连接AC、BD,作出BD的中点E,     

对一道几何题解题方法的研究

一、问题的提出 如图1,设四边形ABCD是圆内接四边形,I和J分别是△ABD和△BCD的内心,证明:四边形ABCD为外切四边形,当且仅当A,I,J和C共线或者共圆. 二、问题的分析 1.四边形ABCD既是圆内接四边形,又是外切四边形,即四边形ABCD是双心四边形,可以考虑利用双心四边形的一些性质.     

中考中的中点四边形

<正>一、中点四边形及性质顺次连接多边形各边中点所得的新多边形叫做原多边形的中点多边形.性质1中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系:(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形;(2)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形;(3)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;(4)对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.     

一个中考折叠问题的再探究

<正>矩形的折叠问题一直以来广受各省中考命题的青睐,在折叠的过程中,产生了很多几何问题,涉及轴对称性质、三角形全等和相似、四边形等方面知识,变化多端,趣味极强.我们来看这道中考题(2014年长沙22题)如图1,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O.     

转化——学好四边形的关键

在几何“四边形”这一章中 ,主要内容是有关四边形、多边形的概念和性质 .要学好这些内容 ,关键是抓好两个转化 .一、将四边形 (多边形 )转化为三角形来研究利用对角线往往可以把多边形问题转化为三角形问题来解决 ,如四边形内角和定理的证明就是从四边形的一个顶点引一条对角线 ,将它转化为两个三角形的内角和问题来进行证明的 .图 1例 1　如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ＡＤ =8,∠Ａ =6 0°,∠Ｄ =1 5 0° ,四边形周长为 3 2 ,求ＢＣ和ＣＤ的长 .分析　要设法使ＢＣ、ＣＤ在同一个三角形中 ,再利用此三角形的特性计算 .解　连结ＢＤ …     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

用方程思想求面积三例

<正>在平面几何中,面积比与线段比可以互相转化.因此,利用方程思想可以有效地解决一些与面积相关的问题.例1(青少年国际城市邀请赛试题)如图1,设E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点,线段BE、CF交于点D,已知△BDF、△BCD、△CDE的面积分别为3、7、7.求四边形AEDF的面积.解如图1所示,连AD.     

正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题,受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题.引理1圆内接四边形为平行四边形(矩形),当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径.引理2圆内接四边形为菱形(正方形),当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条互相垂直的直径.引理1,引理2由简单的平面几何知识即可得证,在此从略.问题1以正八边形的八个顶点为顶点可作多少个四边形?其中含有多少个梯形?多少平行四边形(含矩形)?多少个菱形(含正方形)?分析1)此正八边形的八个顶点中任意四点即可构成一个四边形,故四边形个数为C4=70.2)若构成梯…     

侧面向底面展开图是特殊四边形的三棱锥

文 [1 ]研究了表面展开图为四边形的四面体 ,已经得到下面定理 :定理 1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两顶点上的三面角之和均为1 80°(即文 [1 ]中的定理 1 ) .定理 2　任意四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ＡＤ ,且ＡＢ <ＡＣ ,∠ＢＤＣ与∠ＤＢＣ均小于90° ,则四边形一定可以翻折成四面体 (即文[1 ]中的定理 4) .本文将讨论三棱锥的侧面向底面展开图为特殊四边形的情形 ,并给出其充要条件及由特殊四边形折成三棱锥的方法 .1　筝形图 1　定理 3图定理 3　三棱锥侧面向底面展开图为筝形的充要条件是底边三角形有且只有两顶点上的三…     

两个数学问题的面积法妙证

<正>问题1^([1])如图1,PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q,若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.证明如图1所示,设直线MN分别交直线AB和CD于点P_1和P_2,则欲证P、M、N三点共线,须证点P_1与P_2重合,     

一道立体几何题的教学探究过程

题目:如图1，在正方体A BCD-A＇B＇C＇D＇中,过对角线BD＇的平面交CC＇、AA＇于点E、F,求证:四边形BED＇F行四边形. 学生1:由面面平行的性质定理可得BE∥D＇F,BF∥D＇E,所以四边形BE＇F是平行四边形. 学生答题后,我感觉本题的教学功能还没有充分发挥出来,于是提出了下面的问题.     

从一道习题的教学谈能力的培养

下面就是一道习题的教学浅谈能力的培养。命题:四边形ABCD、E、F、P、Q分别为BC、DA三等分点。则S_(BFPQ)=1/3S_(ABCD) 分析:这是大家熟悉的命题,所要运用的知识是等底同高面积相等。略证:连BD、FD,则S_(△BDF)=(2/3)S_(△BCD), 同理,S_(△BDQ)=(2/3)S_(△ABD)。再连FQ。显然S_(△QBF)=(1/2)S_(△BFQ), S_(△FQP)=(1/3)S_(△DFQ),综合上面等式有 S_(EFPQ)=(1/3)S_(ABCD)。解决了这一命题后,我们将问题这样引伸:如果四边形对边等分点是3呢?回答是找不到位于中间的四边形此,类问题没有研究的可能。等分点为4,对应等分点分别连线,可让学生得出位于中间的四边形的面积为原四边形面积的     

Whc175的解决

文 ( 1 )中提出了 Whc 1 75:若 A′、B′、C′、D′是四边形 ABCD的内接四边形 PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,问 AA′、BB′、CC′、DD′共点的充要条件是什么 ?文 ( 2 )给出了该问题在三角形中的一个结论 .本文将给出 Whc 1 75的两个结论 ,从而完全解决了 Whc 1 75.图 1定理 1　如图 1 ,A′、B′、C′、D′是凸四边形 ABCD的内接四边形PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,且APPB=λ1,BQQC=λ2 ,CRRD=λ3 ,DSSA=λ4 ,则 AA′、BB′、CC′、DD′共点的必要条件是λ1λ2 λ3 λ4 =1 .证明　如图 1 ,建立直角坐…     

抛物线与特殊四边形存在问题探求

抛物线与四边形作为代数和几何中最重要的章节,历来都是中考的必争之地,其中抛物线与特殊四边形存在探求问题更是将数形结合的数学思想体现得淋漓尽致,现将此类近年中考的常见题型加以归类,剖析解法,供读者参考.     

一个数学问题的简证

<正>问题^([1])如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对边AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,M为PQ的中点,MC与⊙O交于另一点G.求证:A、G、P、Q四点共圆.证明如图1所示,连AG,延长CM至点N,使CM=MN.则四边形PNQC为平行四边形.于是∠PAQ+∠PNQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180°,     

探究多边形中“一个角问题”

一、剪下一个角同学们可能遇到过四边形截去一个角后,还剩多少个角的问题,这个问题,我们可以用图形来说明.图(1)沿∠C的两边截去,不经过点B、点D,还剩5个角,即得一个五边形.图(2)沿∠C的一边截去,经过点D(或点B),不经过点B(或点D),还剩4个角,即得到     

井田问题与定比分点

井田问题与定比分点 图 1　　一块不规则四边形的田地 ,如图 1中的ＡＢＣＤ .在每条边上都取三等分点 ,再把两双对边上的三等分点连起来 ,成了一个井字形 .井字把这块田分成 9小块 .由于四边形不规则 ,这 9小块的面积有大有小 .但是 ,巧得很 ,无论如何 ,正中间那一块的面积 ,恰是四边形ＡＢＣＤ面积的九分之一 !但要证明这个有趣的断言 ,却不是那么容易 .面前有一个难题 ,它又十分有趣 .不做不甘心 ,做又太难 .怎么办呢 ?有一条十分有用的规则 :“如果当前的问题太难 ,你就做一个比较容易的类似的问题 .”我们退一步 ,先解决一个简单一点的…     

一类新定义问题的解法

<正>新定义问题是中考中的常见题型,它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,信息的收集、迁移和应用能力.该试题新颖别致,颇具魅力,现就新定义四边形的问题举几例和大家一起探讨.1等对角线四边形例1我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;