一个圆中命题的类比推广

<正>在圆中有结论"如图1,AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过A、B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有PO2=PC·PD."类比到椭圆:"AB是椭圆的长轴,O是椭圆的中心,F1,F2是椭圆的焦点,直线AC,BD是椭圆过A、B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有PF1·PF2=PC·PD.     

一个命题的再推广

在圆中有结论：如图1,设AB是⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别相交于C、D.则OP2=PC·PD.     

有心圆锥曲线切线的性质

在研究圆的切线过程中,我们很容易证明如下结论: 如图1,设AB为 O的直径,P为 O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点D、C,则PO2=PC·PD.     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

圆锥曲线的切线的几何作图

圆的切线的几何画法是大家熟悉的。我发现了另外三种圆锥曲线的切线的初等几何画法。一、作图 i)椭圆的切线的几何作图如图1,0为椭圆的中心,F_1、F_2为椭圆的焦点,P为椭圆外一点,过p作椭圆的切线。作法 1.以O为圆心,长半轴长a为半径作⊙O。 2.以PF_1(或PF_2)为直径作⊙O＇,交⊙O于Q、Q＇(若P在⊙O上,则Q、Q＇分别为以PF_1、PF_2为直径的圆与⊙O的另一交点)。 3.连PQ、PQ＇,则PQ、PQ＇就是所求作的切线。     

由一道高考题反思解析几何的教学

1问题的提出笔者有幸参加了2005年江苏省的高考阅卷工作,评阅的是第19题,题目如下:如图1,圆O1和圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2 PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.这是一道公认的好题,它源自课本,体现图1了平面     

关联调用核心知识 理性构建基本图形——一道尺规作图题的解法探究赏析及教学价值导向北大核心

2021年南京中考第25题是考察用两种不同的方法过圆外一点作圆的切线的尺规作图题,对于初中学段加强尺规作图的教学进行了很好的评价引领.现将本题的解法探究赏析及教学价值导向呈现如下.(南京2021年中考第25题)如图1,已知P是☉O外一点.用两种不同的方法过点P作☉O的一条切线.     

圆上的两个结论的再推广

文 [1 ]将圆上的两上结论 :结论 1　P是⊙O上任意一点 ,AB是直径 ,经过A和B各作圆的切线 ,分别与经过点P的切线相交于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 2　过同心圆中的小圆上任意一点P作小圆的切线与大圆相交于A和B ,则P图 1　椭圆是弦AB的中点 .我们将上述结论作如下推广 .结论 3　如图 1 ,过椭圆 x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴AB的端点A ,B分别引切线AM ,BN ,P是椭圆上异于A ,B的任意一点 ,过点P引椭圆的切线CD分别交AM ,BN于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 4　过椭圆…     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

圆的性质向椭圆拓展九例

椭圆可看作一个被“压扁”的圆,圆可视为椭圆的极端情形.圆和椭圆在许多性质上具有相似性.把圆的性质向椭圆拓展,不仅强化了知识之间的内在联系,而且也锻炼了创新思维品质.本文将圆的有关性质在椭圆上进行拓展,限于篇幅,各项性质和拓展的正确性的证明,留给读者完成.性质1圆中直径所对的圆周角是直角;拓展1设P(x,y)是椭圆ax22 by22=1(a>b>0)上任意一点,且不与P1(a,0),P2(-a,0)重合,则kPP1·kPP2=-ab22.性质2圆的切线垂直于过切点的半径;拓展2过椭圆ax22 yb22=1(a>b>0)上异于椭圆四个顶点的任意一点P作椭圆的切线l,则klkOP=-ab22(O为坐标…     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

半径和切线

<正>圆的切线的判定是中考命题的热点和重点,如何迅速、快捷地证明圆的切线呢?通常通过半径来实现.一、"已知半径,证垂直."若直线经过半径的外端,则证直线垂直于半径.例1如图1,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧︵BC上的一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP是半圆O的切线.     

点关于圆的极线的讨论

文 [1 ]中指出了点P(a,b)关于圆x2 +y2 =r2 (r >0 )的极线 ,当点P在圆内时极线的情形 .最后谈到不必作出相关切线也能较快地作出P点的极线ax +by=r2 :首先解方程组 :ax+by=r2bx-ay =0 ,求得Q点坐标ar2a2 +b2 ,br2a2 +b2 ,然后在OP延长线上依坐标找到Q点 ,最后过Q点作直线OP的垂线即得 .这个办法是代数的方法 ,因为要解代数方程才能得到Q点坐标 ,另一个不易确定的是如何依据坐标在OP上较准确地找到Q点 .这个问题较好的几何处理办法是 :作过P点的直径EF交圆于E、F两点 ,再过P点作直径EF的垂线交圆于MN ,过M点作圆O的切线MQ交直径E…     

有心圆锥曲线的一个性质及其应用

大家知道,圆有这样一个简单性质:设 PA 和 PB是⊙O 的切线,A 和 B 是切点,则 OP 平分弦 AB 反之,设 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,过 A 作被 OP 平分的弦 AB,则 PB 切⊙于 B.我们发现有心圆锥曲线(椭圆和双曲线)也有类似的性质,即有     

探究x0x+y0y=r2与x0x+y0y=x02+y02的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105有这样一道习题:已知圆C的方程是x2+y2=r2,求经过圆C上一点M(x0,y0)的切线的方程.同学们在处理该问题时给出以下的解答过程:如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=     

切线·切点弦·调和垂线

咨签‘、.了、.尹下且n﹄了‘、了通、 对一于方程 翔x+加夕=产大家眼热它是过圆 广十犷=产上一点P(翔,细)的圆的切线方程。 若点尸不在圆仁,而在圆外呢?这时直线(I)写圆(扣的位置关系如何呢, ’课本《平面解析几协P126页第,24题回答了这个问题犷梦’、若点P在圆外,过P作圆的两条切线.方穆(I)表示过两切点的直线,简称(I)为点尸的圆的切点弦方程。 这里,切点弦(直线)可看作切线的发展切线看作切点弦(直线)的特例,一般与个别的关系得以统“’‘但这并不使得那些爱动脑筋的学生满愈,他们笋问:若点尸在圆内呢,还有切点弦吗? 为此,对点p的位觅…     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

直线与圆相切的判定

在直线与圆的位置关系中 ,相切关系很重要 .要掌握“切线证明”的思路和方法 ,首先要搞清切线的判定方法有哪些 ?切线的判定方法有 :①直线l与⊙O有且只有一个交点时 ,直线l与⊙O相切 .②圆心O到l的距离d =r ,则直线l与⊙O相切 .③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 .综合起来有两类 :(1)已知垂直 ,证半径或作垂线证半径 .(2 )已知半径 ,证垂直或连半径证垂直 .现分别举例说明 :第一类 :已知垂直 ,只需证半径 .如果所给直线不知过不过圆上某点 ,其证明方法是“作垂直 ,证半径” .例 1如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A的平分…     

一道竞赛题的推广

题目如图1,PA,PB为⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过P的直线交⊙O于C,D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ~2=PC·PD-QC·QD.这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区的一道试题,联想到圆与圆锥曲线的许多结论具有相同之处,笔者试着利用几何画板进行验证,结果是在圆锥曲线中的确有