学会运用换元法

<正>同学们知道,换元法是中学数学中最为常见的也是基本的数学方法之一.通常情况下,一个数学问题,通过某种换元,不但可以简化问题的表述形式,而且更为容易地透过问题情境,揭示问题本质.因此,面对一个数学问题,增强换元解题意识,正确地使用换元方法,是在解题过程中应当关注的.那么,利用换元法     

换元法证明不等式

换元法是数学解题中的一种重要的思想方法，在中学数学中有着广泛的应用．在证明不等式时，根据题设条件，进行合理的代换，可以使字母之间的关系更清楚，还可以改变待证式的结构特征，为综合运用其它方法和有关知识创造条件．因此，常能起到化繁为简、化难为易的作用．下面通过具体的例题介绍换元法在证明不等式中的运用．     

三角换元法的几处妙用

三角换元是一种十分实用的方法,它很好地体现了数学中一项基本的思想一转化．而且与许多知识都有交叉,下面通过一些具体的题目展示一下三角换元的美妙之处．     

换元法解一类取值范围题

例1实数x,y满足x~2+xy-2y~2=1,求S= 3x~2-y~2的取值范围。这是《数学通报》2006年第4期上《一类求取值范围问题的解法》中的一例,也是该刊2007年第9期上《二次方程约束条件下的一类取值范围问题》中的例题。前者用判别式法得到了一个不引人注目     

换元法的应用

现实生活中有这样一个故事：一个人掉了一颗上衣钮扣,他跑遍了所有能跑的钮扣店也没有配到一颗同样的钮扣,为此他很沮丧．一日与朋友谈及此事,朋友说：“为何不把钮扣都换了呢!”这人才恍然大悟．     

一个不等式问题的换元法证明

在《数学通报》2005年第4期由提供人用反证法给出了证明,如果我们另避蹊径,还可得到以下证明方法：     

剖析换元法应用于初中函数问题的主要路径

换元法的运用主要将问题转变成另一个问题,以实现问题的便捷、快速解决.因此,解答初中数学的函数问题时,教师可依据相关函数内容,把内容抽象的函数问题通过换元的形式,转换成相对简单的问题,以便于学生更好地理解内容,实现高效解题.     

换元法的两个妙用

1换元使分离常数更容易分离常数是研究分式函数的一种代数形式的常用方法.高中阶段主要考察的分式函数有:y=（ax+b）/（cx+d）,y=（ax;+bx+c）/（mx+n）,y=（mx+n）/（ax;+bx+c）等,或通过换元可以化成这种形式的分式函数.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数,进而研究这些分式函数的值域,单调性及最值等问题.因此,能     

换元法解一类取值范围题

例1实数x，y满足x^2＋xy-2y^2=1，求S=3x^2-y^2的取值范围．     

换元法在解题中的应用

换元法是在解题时引入新变量,借助新变量进行解题的方法.换元思想的本质是把复杂、不熟悉的问题转化为简单、解决起来顺手的问题.“难题”并非无本之木,借助于换元法,总可以寻到蛛丝马迹,将难题转变为熟悉的形式.本文中结合几个典型案例,从“为何换元”“如何换元”“求解步骤”三个方面介绍了换元法在解题中的应用.     

倍值换元法求解二元最值问题

有些二元最值问题,取得最值时两个变元之间存在某种倍值关系,在求最值时就可以考虑倍值换元,通过实例说明倍值换元法在解决数学竞赛和名校自主招生试题中的应用.     

利用换元法求一类二重积分

本文利用换元法解决了一类复杂的二重积分计算问题.     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …     

独辟蹊径，柳暗花明——换元法在初中数学解题中的应用

初中数学题目具有难度系数高、运算量大等特点,对学生的数学基础知识、数学思维要求相对比较高,尤其是一些非典型的问题,唯有另辟蹊径,借助一个或者若干个新的元素进行替代,充分借助变量代换的手段,实现化繁为简、化难为易,最终完成题目的解答.本文以此为切入点,结合大量的例题,针对换元法在初中数学不同类型题目中的具体应用进行探究.     

换元法及其应用

所谓换元法，指的是在解数学题时．把某个式子看成一个整体。用一个变量去代替它．从而使问题得到简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量（Jot）代换，”目的是变换研究对象．将问题移至新对象的知识背景中去研究．把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化．     

曲面积分的换元法

给出了曲面积分的换元法,丰富了曲面积分的计算方法.     

换元法教学浅谈

数学是中学的一门主要课程,它的目的主要是培养学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,逐步养成和提高学生运用数学知识去分析和解决实际问题的能力。     

曲线积分的换元法

给出了曲线积分的换元法,丰富了曲线积分的计算方法.     

活用换元法 巧解竞赛题

令标老师在文中介绍的各种换元法确乎巧妙.但读者更希望知道这些巧妙的换元法是如何想到的,其中有哪些规律性的东西,以便今后自己也能灵活应用它.令标老师文章的美中不足之处正是缺少这样的分析.这些只能由读者自己来动脑筋分析完成了,读者经过自己分析,也许能收获更多.     

一个不等式问题的换元法证明

有一道不等式的证明题:对于所有的正实数a,b,证明（a/（a+3b））^1/2+（b/（3a+b））^1/2≥1（*）在《数学通报》2005年第4期由提供人用反证法给出了证明,如果我们另避蹊径,还可得到以下证明方法:解法1由式子的结构通过联想,字母轮换对称,被开方式子都是一次比例式,为求计