一道预赛题的“秒杀”与改造

2011年高中数学联赛湖北省预赛中有如下试题：     

一道赛题的简解

2008年伞斟高中数学联赛吉林省预赛第17题是一道求最小值问题,本文给出此题一个简解．     

简解一道联赛题

最近遇见一道“陈题”,笔者发现此题蕴含的数学思想不一般,是一道可圈可点的好题,现整理如下,供大家参考．     

一道联赛题的多种解法

题目（2010年全国高中数学联赛填空） 已知函数f（x）=√x-5-√24-3x,则f（x）的值域为_______． 解法一（复合函数法）通过观察易知数y=√x-5在[5,8]上是增函数,且y=√24-3x在[5,8]上也为增函数,因此f（x）在其定义域[5,8]上为增函数,故f（x）的值域为[-3,√3].     

一道预赛题的简解及推广

若不等式x~（1/2）＋y~（1/2）≤k2~（1/2）x＋y对于任意正实数x,y都成立,求实数k的取值范围.文1、文2、文3的三位作者从不同的角度对此题进行了正确解答,解题过程有繁有简,各有千秋.在数学简洁美、和谐美和统一美的启迪下,笔者给出再下面新的、简朴的解答,并给出该命题的推广,供同学们参考.     

一道预赛题的探究与推广

题目（2011年全国高中数学竞赛江西省预赛）以抛物线y=x^2上的一点M（1,1）为直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形AMAB与AMCD,则线段AB与CD的交点E的坐标为_________.     

一道联赛预赛题的通法求解

赛题（2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛题第5题）已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为___。     

一道预赛题的简证及推广

2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题为：设a,b,c为非负实数,满足bc＋ca＋ab=1．证明：b＋c^-1＋c＋a^-1＋a＋b^-1≥2^-5。     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

两道湖北省预赛题的另解

题1（2011年湖北省预赛第9题）已知二次函数y=f（x）=x^2＋bx＋c的图象过点（1,13）,且函数y=f（x-1/2）是偶函数．     

对一道高中数学联赛题的思考

数学学习中,我们做的不只是一道题,还可能是个“传说”!我想,对一些经典题多作些思考、猜想与总结,定会发现“传说”!     

简解一道预赛题

<正>题目已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,求此三棱锥体积的最大值.分析这是2012年全国高中数学联赛新疆预选赛的压轴题,本题如果对已知条件三棱锥的三条侧棱两两垂直分析到位的话,就可以利用坐标法进行解答,就会比命题组提供的解答方法(见文[1])简单易行.解在三棱锥O-ABC中,因为OA、OB、OC两两垂直,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角     

江西预赛题另证

2008年全国高中数学联赛江西预赛题第10题：设x、y、z为非负实数,且满足yz＋xz＋xy=1,     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

一道题的错解分析与一类题的解法规律

最近在一本中学数学杂志上见到这样一道题目 :已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ- 4的定义域与值域都是Ｍ ,求Ｍ .原解　令ｘ2 - 2ｘ- 4=ｘ,解之得ｘ1 =- 1 ,ｘ2 =4.因为ａ>0 ,- ｂ2ａ =- - 22× 1 =1∈ ( - 1 ,4)= (ｘ1 ,ｘ2 ) .图 1由图 1可知 ,所求的Ｍ= [4,+∞ ) .1　解法分析上述解法是否正确呢 ?在回答这个问题之前 ,我们先来看解这道题的一个通法 .通解　先求满足条件的闭区间Ｍ .令Ｍ =[ｍ ,ｎ],分情况讨论如下 :( 1 )ｍ <ｎ≤ 1ｆ(ｘ)在 [ｍ ,ｎ]上单调递减 ,令 ｆ(ｍ) =ｎｆ(ｎ) =ｍ,即 ｍ2 - 2ｍ- 4=ｎｎ2 - 2ｎ- 4=ｍ,解得ｍ =1 - 2 12…     

一道预赛题的简解

<正>2013年湖北省高中数学联赛高一、高二预赛题中均有以下一道试题:求函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)的值域.命题组提供的参考解法如下:易求得函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}.(1)易知函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)是[1,+∞)上的增函数,所以,当x≥1时,y≥1.(2)当x≤-1时,