怎样求解数列的前n项和

<正>已知等差数列{an}求前n项的和Sn,可直接代入求和公式求和,而数列{|an|}前n项的和,则不能直接代入公式求和,那么怎样求数列{|an|}的前n项的和呢?笔者认为,关键是去绝对值符号,转化后再求和,即先分清数列{an}中哪些项是正值,哪些项是负值,分类讨论     

特殊数列求和问题的求解策略

<正>近几年高考卷中出现了一类特殊数列求和的问题,如递推公式中含有(-1)ⁿ,通项公式中含有三角函数等,本文试图对这类特殊数列求和解法做一探究.一、含(-1)n数列的求和题1(2014·山东卷理科)已知等差数列{a_n}的公差为2,前n项和为S_n,且S_1,S_2,S_4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;     

等比数列求和公式的另三种证法

对于首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列 {an)的前n项和Sn的求和公式的证明,课本上 采用了错位相减法,下面给出另外三种证法．     

配以对偶,柳暗花明——由一道试题的“特别奖”解法引发的思考

大家知道,数学中有许多问题有着和谐的对称美,如等差数列{an}的前n项顺序和与逆序和相加,由此巧妙地得到前n项求和公式.解题中如果能善于挖掘与利用这种和谐对称美,往往会有意想不到的收获,配以对偶这种解题技巧就是其中典型的一例.     

用组合数解数列求和问题

数列求和是数列中很重要的一项内容,求和的方法也是多种多样．现谈一下用组合数求数列和的一类问题,先看两个例题．例1 已知数列{an}通项为an=n(n 1), 求前n项和Sn．分析我们一般习惯应用错位相减法,但对于这种求和也可以应用组合数．     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项 an、am 存在关系 :an =am + ( n - m) d,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,猜想 :等差数列中 ,前 n项和 Sn与前 m项和Sm 之间 ,Sn 与 an 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,是否能给我们带来方便 ?本文将探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am =a1 + ( m - 1 ) d,得 a1 =am+ ( 1 - m) d,代入　 Sn =na1 + n( n - 1 ) d2 ,得　 Sn =n[am + ( 1 - m) d]+ n( n - 1 ) d2=nam + n( n + 1 - 2 m) d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前 n项和与其任一项之间的关系 .由 ( 1…     

数学课是这样“备”出来的

2006年4月4日,笔者参加了上海市青年教师教学优质课评比,获得一等奖.上课内容为“等差数列的前n项和公式(一)”.本文围绕着这节课的设计、试教及修改的全过程,谈谈本人在二期课改背景下对课堂教学设计的一点体会.等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一.等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式.它前承等差数列的定义、通项公式,后启等比数列的前n项和公式.本节课是数列求和的第一课,同时也是“倒序相加法”这一重要求和方法的典型载体.本课的教学重点是两个:(1)探究并获得等差数列的前n项和公式;(2)等差数列前n项和公式的初…     

通项放缩数列求和数列不等式

数列不等式是近几年高考试题中的热点,文[1]、[2]在解题方法上作了分析讲解,笔者深受启发.以数列和形式出现的不等式证明不仅考查灵活运用求和方法的能力,也考查了证明中放缩的技巧.利用递推公式求通项,对通项进行分析来求数列和,这是学生已掌握的方法.对通项进行合理放缩,转化为可求和的形式来证明数列不等式是笔者本文试图探求的问题.1放缩通项,利用等差(等比)数列公式求和例1(2005年武汉市高三年级二月调考卷)已知数列{an}满足an 1=2a2n 3an aan 1(n∈N ),a1=1.(1)在a=1时,求通项公式an;(2)a在什么范围内an 1≥an恒成立;(3)在-3≤a<1时,…     

唇齿相依的an与Sn

从所周知,如何由数列|an|的递推关系式求数列的通项公式an,如何由数列的通项公式an求数列的前n项和公式Sn是<数列>这一章中我们要解决的两大基本问题,当已知数列的前n项和公式Sn时,则通过an={S1=(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),很容易求得数列通项公式an,an与Sn可谓"唇齿相依";在高考与竞赛中还时常出现由an与Sn的关系式,求数列的通项公式的问题,本文通过一个典型题目的多种解法,介绍解决这类问题的几何常用策略,供大家参考.……     

用裂项相消法求几种数列的前n项和

全国新高考数学试卷中,数列是必考题.数列的前n项和有多种求法,裂项相消法就是数列求和方法的一种,它的解题关键是对通项公式的变形,或对前n项和的形式转化.本文通过多种题型,介绍通项公式的转化技巧.     

运用函数与方程的观点研究数列

数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成n的一次函数,而其求和公式可以看成是n的二次函数,因此许多数列问题可以用函数和方程的思想进行分析,加以解决.     

一类数列求和的方法

题目设数列{an}的通项公式为an=(n2 n)·3n,求Sn.分析乍看,使用错项相减法不能求得,不符合使用错项相减求和数列特征,因为使用该法时,数列an=bncn中有一个是等差数列,另一个为等比数列.本题cn=3n为等比数列,bn=n2 n不是等差数列.但该数列后半部分又确实成等比数列,前半部分又可     

有限数列的拆项相消求和法

关于有限数列的求和问题,在高中数学课本内只介绍了两种基本数列——等差数列和等比数列的求和公式.然而,我们经常碰到一些数列,这些数列既不是等差数列,也不是等比数列,求它们的前n项之和是困难的.利用拆项相消法可求某些数列的前n项之和.     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项an,am 存在关系 :an=am + (n -m )d ,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,我想 :等差数列中 ,前n项和Sn 与任意一项am,Sn 与Sm 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,能给我们带来方便吗 ?本文将重点探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am=a1+ (m -1 )d得 :a1=am+ ( 1 -m)d ,代入Sn=na1+ n(n - 1 )d2 ,得Sn=n[am + ( 1 -m )d]+ n(n - 1 )d2=nam+ n(n + 1 - 2m)d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前n项和其任一项之间的关系 .由 ( 1 )得　Sm=mam+ m( 1 -m)d2 ( 2 )( 1 ) ,…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

等差（比）数列的前n项和的几个性质及应用

等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1＋1/2n（n-1）d，通过分析这个公式，不难得到等差数列前n项和的性质．     

等差数列的证明方法

等差数列的判定或证明是高考中比较常见的一类问题,只有正确确定数列类型后,才能结合其通项公式、相关性质或前n和公式等来解决其他相关的问题.下面结合实例剖析判定或证明一个数列为等差数列的常见类型:定义法、通项法、中项法和求和法.一、把握定义法充分把握等差数列{an}的定义:an+1-an=d(常数)(n∈N)*,d为公差,把问题转化为其对应的定义模式来处理.通过定义或定义的等价命题来判定或证明一个数列是等差数列是最常见的方法.     

数列

1.本单元重、难点分析本单元的重点:等差数列、等比数列的概念、通项公式及前n项和公式,等差数列、等比数列的有关性质及其应用.本单元的难点:等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导以及它们的综合运用.在数列的五个基本量(等差数列中:a1,n,d,an,Sn;等比数列中:a1,q,n,an,Sn)中"知三可求     

高阶等差数列前n项和的注记

通过对数列应用逐差法原理,首先给出了数列的n阶差定理.由此出发对数学手册中的高阶等差数列的通项公式及前n项求和公式进行了系统的完整的证明.从而使得利用两个公式研究高阶等差数列时显得更为简便科学.     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…