1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

参数方程与极坐标单元测试题

一、选择题（每小题只有唯一正确答案）１下列以θ为参数的参数方程：（１）ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝２ｓｉｎθ｛（２）ｘ＝２ｓｉｎθｙ＝－ｃｏｓθ｛（３）ｘ＝２－２ｃｏｓθｙ＝１－ｃｏｓθ｛（４）ｘ＝２ｃｓｃθｙ＝ｃｔｇθ｛其中表示的曲线是椭圆的方程的个数为（...     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题反三角函数和简单三角方程（高一）李岱宗（广西南宁市二中５３００２２）第一套反三角函数的性质与计算１．若ｔｇｘ＝ａ，其中ｘ∈（π２，π），则有（）（Ａ）ｘ＝π２＋ａｒｃｔｇａ．（Ｂ）ｘ＝π２－ａｒｃｔｇａ．（Ｃ）ｘ＝π＋ａｒｃｔｇａ...     

构造图形求sin18°

构造图形求ｓｉｎ１８°王昌元（湖北省松滋师范４３４２００）１构造如图１所示的三角形，依余弦定理易得ｃｏｓ３６°＝１—２ｘ２（１）ｃｏｓ７２°＝ｘ即２ｃｏｓ２３６°－１＝ｘ（２）由（３）得（ｘ－１）（２ｘ＋１）（４ｘ２＋２ｘ－１）＝０（４）易知，在（４...     

三角函数与反三角函数单元测试题

一、选择题（每小题４分，共４０分）１．集合Ｐ＝｛ｘ｜ｘ＝ｃｏｓｋπ６，ｋ∈Ｚ｝中元素的个数为（）．（Ａ）９个（Ｂ）８个（Ｃ）７个（Ｄ）６个２．若ｓｉｎθ＝３５，ｃｏｓθ＝－４５，则２θ的终边在（）．（Ａ）第二、四象限（Ｂ）第三、四象限（Ｃ）第三象限（...     

A New Class of Generalized Landau Linear Positive Operator Sequence and Its Properties of Approximation

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎ１９０８，Ｅ．Ｌａｎｄａｕｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｗｅｌｌｋｎｏｗｎｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｏｐｅｒａｔｏｒｓ［１］Ｌｎ［ｆ（ｔ）；ｘ］＝Ｋｎ∫１－１ｆ（ｔ）［１－（ｔ－ｘ）２］ｎｄｔ，　　　　（１．１）ｗｈｅｒｅ　　　　　Ｋｎ＝［∫１｛－１（１－ｔ２）ｎｄｔ］－１～ｎπ　　（ｎ→∞）．（１．１）ｗａｓｕｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅＷｅｉｅｒｓｔｒａｓｓＴｈｅｏｒｅｍ．Ｓｉｎｃｅｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｐｒｏｐ－ｅｒｔ…     

让学生直接参与对例习题的改造

对题目进行改造我们并不陌生，在全国高考及各级考试的试题中，我们常常会发现有些题目是由旧题改造而来的．①由课本例习题改造而成．例如：求函数ｙ＝ｓｉｎ３ｘｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ３ｘｃｏｓ３ｘｃｏｓ２２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最小值．（１９９４年全国高考文科试题）这是高级中学代数上册１９９５年版Ｐ２３０例５题：求证ｓｉｎ３αｓｉｎ３α＋ｃｏｓ３αｃｏｓ３α＝ｃｏｓ３２α的改造形式．由课本例习题改造的高考题还有很多，在此不一一列举．②由其它书籍上的题目改造而来的高考题．已知函数ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，ｘ∈（０，π２）．若…     

一道错题与一个有意义的结论

题目：若ｔｇＡ、ｔｇ３Ａ是方程ｘ２＋６ｘ＋７＝０的根．求２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１的值．这是某地区的一道期末统考题．命题者提供的解答是：∵２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１＝－ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ...     

Wilkins 不等式的推广

书［１］［２］收录了Ｗｉｌｋｉｎｓ的三个奇特结果：对任意△ＡＢＣ（其内角Ａ，Ｂ，Ｃ）有Ⅰ．ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ２≤２９３．仅当Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ１３３时取等号；Ⅱ．ｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ≤１５４（２１３－５）·２１３＋２２，仅当Ａ＝Ｂ＝ａ...     

反正弦函数教案(1)

一、教学内容：反正弦函数的定义及简单运算．二、教学目的：①正确理解反正弦函数的定义;②明确ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝ｘ,ｘ∈［－１,１］,ａｒｃｓｉｎｘ∈［－π２,π２］的含义;③利用反正弦函数定义解决有关问题;④通过反正弦函数定义的学习,让学生在实...     

The Properties of Finitely Generated Shift-invariant Subspace in L_(2π)~2

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｔｆｉｒｓｔ,ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｏｕｒｎｏｔａｔｉｏｎｓ．Ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｃｌａｓｓｏｆａｌｌｓｑｕａｒｅ－ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ２π－ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｂｙＬ２２π,ｔｈａｔｉｓ,Ｌ２２π＝｛ｆ（ｘ）｜ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２π）,ｘ∈Ｒ,∫２π０｜ｆ（ｘ）｜２ｄｘ＜∞｝．　　Ｆｏｒａｎｙｆ（ｘ）,ｇ（ｘ）∈Ｌ２２π,ｔｈｅｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ〈ｆ,ｇ〉ｉｓｄｅｆｉｎｅｄａｓ〈ｆ,ｇ〉：＝１２π∫２π０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ．（１．１）　…     

周期究竟是多少?

周期究竟是多少？华志远（江苏省锡山市中学２１４１５４）第七届“希望杯”全国数学邀请赛（高二第一试）的选择题（４）：“函数ｙ＝ｃｓｃｘ·ｃｏｓ３ｘ－ｃｓｃｘ·ｃｏｓ５ｘ的最小正周期是：（Ａ）π４，（Ｂ）π２，（Ｃ）π，（Ｄ）２π．”的结果填（Ｂ）还是（...     

例说用解几知识解三角题

用解析法解决问题直观、清晰、深刻．在学习三角知识的过程中,试图用解析法来解决一些三角问题,能另辟解题途径,使得题解构思新颖,方法巧妙、过程简捷．下面举例说明．１　求三角函数值 解 设直线由条件等式知ｌ１与ｌ２重合．显然ｌ１是过单位圆ｘ２＋ ｙ２＝１上的点（ｃｏｓ α,ｓｉｎα）的切线,而ｌ２与ｌ１重合,则ｌ２也是单位圆的切线．于是由圆心到切线ｌ２的距离等于圆的半径,有 ,代入已知等式得 例２ 设方程 ａｃｏｓ ｘ＋ｂｓｉｎ ｘ＋ｃ＝０（ａ～２＋ ｂ～２≠０）在［０,π］中有两个相异实根ａ和β,求ｓｉｎ（ａ …     

关于函数f（x）＝sin~mxcos~nx的最值

关于函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ~ｍｘｃｏｓ~ｎｘ的最值周晓（四川省旺苍中学）解决某些生产、生活中的实际问题时要遇到求下列函数在（０，）上的最大值的问题：ｙ＝Ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ，ｙ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ，ｙ＝ＳｌｌｌＣＯＳ３Ｓ，ｙ—Ｓｌｌ’ＩＣＯＳＳ，如此等等．...