一个不等式的另证、推广与联想

不等式选讲（选修4—5）在介绍反证法时，采用了以下的例题： 已知a，b，c为实数，a＋b＋c〉0，ab＋bc＋ca〉0，abc〉0．     

2014年全国高中数学联赛加试第一题的证法探究

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题：设实数a,b,c满足a＋b＋c=1,abc〉0．求证：ab＋bc＋ca〈√abc/2＋1/4.本文探究这道试题的几种解法,供读者参考。     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

构造三次函数证明不等式

我们先来看一个引例：已知a,b,c∈R,且a＋b＋c〉0,ab＋bc＋ca〉0,abc〉0.求证：     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

IMO31一道预选题的简证

第31届IMO预选题：已知a，b，c∈R，试证： （a^2＋ab＋b^2）（b^2＋bc＋c^2）（c^2＋ca＋a^2）≥（ab＋bc＋ca）^3     

活跃在不等式证明中的一个常用不等式

本文由一个恒等式得到一个常用的不等式,并举例说明其在证明不等式中的应用.设a,b,c为正实数,则有(a+b)(b+c)(c+a)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca).①证明因为(a+b+c)(ab+b十ca)≥9abc,所以(a+b)(b+c)(c+a).=(a+b+c)(ab+be+ca)-abc.≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-1/9(a+b+c)(ab +bc+ca)=8/9(a+6+c)(ab+b+ca).     

一道联赛不等式的简证与溯源

题目(2010年全国联赛广东省预赛)设非负实数a,b,c满足a+6+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc). 文[1]给出该不等式的一种证法,本文将给出它的另外两个简证并谈谈该不等式的源, 证明先证左边9abc≤ab+bc+ca<=>(b+c)≥(9a-1)bc<=>a(1-a)≥(9a-1)bc.     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

数学问题解答北大核心

2018年5月号问题解答（解答由问题提供人给出） 2421已知a,b,c,d∈R^＋,且a＋b＋c=3,求证： 2（4√a＋4√b＋4√c）＋3≥3（ab＋bc＋ca）． （安徽省六安第二中学 陶兴红 237005）     

一个代数恒等式与一类不等式的证明

文[1]的第218—219页上讨论了如下代数恒等式： （a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）-abc =（a＋b）（b＋c）（c＋a）     

IMO42—2加强的推广

第42届（2001年）国际数学奥林匹克试题第2题是： 对所有正实数a，b，c，证明： a/√a^2＋8bc＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1① 文[2]将①式加强为： 若a，b，c∈R^＋，λ≥8，则 a/√a^2＋λbc＋b/√b^2＋λca＋c/√c^2＋λab≥3/√1＋λ②     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

一道预赛题的简证及推广

2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题为： 设a，b，c为非负实数，满足bc＋ca＋ab=1．证明：b＋c^-1＋c＋a^-1＋a＋b^-1≥2^-5。     

一类最值题的命制及其求解

第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题：已知a,b,c为正实数,a2＋b2＋c2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2＋2b2＋ab2=4（＊）,整理得a＋b2=2,在此式中再分别令a=x＋y/2,b=xy（1/2）或者a=2x＋y/3,b=xy（1/2）等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题：问题1已知x,     

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

不等式a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca及其应用

本文介绍一个常见的不等式 ,把它当作一个定理 ,并围绕这个定理及其推广精选了从易到难各档次的五个题目加以解答 ,意在开发它的功能 ,加强它在解题中的运用 .定理　a ,b ,c∈R ,则a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .证明　∵ 2 (a2 +b2 +c2 ) =(a2 +b2 ) + (b2 +c2 ) + (c2 +a2 )≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .“ =”号成立时当且仅当a =b =c .推广　x ,y ,z∈R+ ,a ,b ,c∈R ,那么　 y +zx a2+ x +zy b2 + x +yz c2 ≥ 2 (ab +bc+ca) .证明　∵ yxa2 + xyb2 + zyb2 + yzc2 +xzc2 + zxa2 ≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴推广成立 .该定理…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

《几个猜想不等式的探究》一文的商榷

贵刊文[1]在对一道不等式再思考后提出了四个猜想,其中猜想2如下:猜想2若a3 b3 c3=3,a,b,c∈R,则a b c≤3,ab bc ca≤3,abc≤1.贵刊文[2]在探讨上述猜想2时,认为“在题设条件下,可以证明前两个不等式是成立的”,其证明过程应用了一个引理:引理设p>q>0,x1,x2,…,xn为正实数,则x1