Behaviour of a complex system having stand-by components in spares

Summary The reliability characteristics of a stand-by redundant complex system with instantaneous switch over have been discussed in two sections of this paper. In Section (I), it has been assumed that spare components can not fail in the stand-by interval where as in Section (II), it has been considered that they can fail even in the stand-by interval. TheLaplace-Stieltjes transforms of the distribution of the first time to system failure have been derived by using the signal flow graph method [Chow-Cassignol, 1962]. In the end, the mean time to system failure (MTSF) has also been evaluated.

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Zusammenfassung In diesem Artikel wird der Charakter der Zuverlässigkeit eines komplexen redundanten Systems mit Reserve, die ohne Zeitverzögerung eingeschaltet werden kann, in zwei Abschnitten diskutiert. Während im ersten Teil die Annahme gemacht wird, daß die Ersatzkomponenten nicht ausfallen können, bevor sie eingesetzt werden, wird im zweiten Teil diese Möglichkeit berücksichtigt. DieLaplace-Stieltjes Transformation der Verteilung der Zeit bis zum ersten Systemausfall wird mit der Signalfluß-Graphen-Methode erhalten. Zum Abschluß wird der Erwartungswert dieser Zeit berechnet.

     

Further auxiliary functions for non-stationary one-dimensional diffusion. Part II: Applications

In part I, basic properties of a class of functions (called Psi-functions) are investigated, e.g., series representation, recurrence relation, asymptotic behavior. In part II, the solution of some versions of the diffusion equation by a series of Psi- and Omega-functions is treated. Psi-functions may be used as auxiliary functions in the case of one-dimensional non-stationary diffusion under removal process or forced convection.

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Zusammenfassung In Teil I werden grundlegende Eigenschaften einer Klasse von Funktionen (genannt Psi-Funktionen) untersucht, z.B. Reihenentwicklung, Rekursion, asymptotisches Verhalten. In Teil II wird die Lösung einiger Versionen der Diffusionsgleichung durch eine Reihe nach Psi- und Omega-Funktionen behandelt. Psi-Funktionen eignen sich als Hilfsfunktionen im Fall eindimensionaler nichtstationärer Diffusion bei Absorption oder erzwungener Konvektion.

     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Dieser II. Teil der Arbeit über die Optimierung von Funktionalen enthält ein Verfahren zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems sowie die Untersuchung der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung. In Teil I (im vorigen Heft dieser Zeitschrift veröffentlicht) wurde die Existenz von Lösungen diskutiert sowie die dem Verfahren zugrundeliegende Funktionalgleichung abgeleitet.

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Summary This second part of the study about the optimization of functionals contains a treatment for calculating minimal sequences of our problem as well as the examination of the convergence of a minimal sequence towards a solution. In part I (published in the last number of this journal) the existence of solutions was discussed, and the functional equation, being the basis of this treatment, was derived.

     

Zur Bestimmung des günstigsten Standortes einer Betriebsfiliale

Zusammenfassung Am Beispiel des Warenhausproblems wird auf der Basis der linearen Planungsrechnung und der Spieltheorie ein mathematisches Modell konstruiert, das allgemeineren Problemen der Energie- und Warenversorgung als Grundlage dienen kann. In einem ersten Teil werden die zur Rechnung notwendigen Formeln hergeleitet und Hinweise auf Änderungsmöglichkeiten gegeben. In einem zweiten Teil wird dann das Warenhausproblem mit vorgegebenen Zahlen durchgerechnet. Die Lösungen werden auf ihre wirtschaftliche Bedeutung hin untersucht.

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Summary On example of the warehouse problem a mathematical model will be constructed basing on the theory of linear programming and theory of games, which can be used basically for more general problems of energy- or ware-supply. In the first part the formulas necessary for programming will be written and possibilities for change will be given. In the second part the warehouse problem will be counted over with predetermined numbers. The results will be tested on its economical importance.

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Vorgel. v.: W. Knödel     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

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Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

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Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Eine Entscheidungsregel für den Fall partiell bekannter Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung Gewöhnlich befaßt sich die Entscheidungstheorie mit zwei Extremfällen für Ungewißheitssituationen je nachdem, ob für die Zustände der Welt die Wahrscheinlichkeiten bekannt (I) oder völlig unbekannt (II) sind. In dieser Arbeit wird ein Mischtyp der folgenden Form untersucht: Die Menge aller Zustände der Welt sei in gewisse Teilmengen zerlegt, diese seien ihrerseits in kleinere Mengen aufgeteilt und so fort. Für jede Teilmenge möge bezüglich ihrer Unterteilung einer der Fälle I oder II vorliegen. Ein zugehöriges Entscheidungskriterium wird entwickelt, das auf einer abwechselnden Anwendung des Bayes- und des Minimax-Kriteriums (je nachdem, ob gerade Fall I oder II vorliegt) beruht. Es wird begründet durch Reduktion des Mischtyps auf den Fall II.

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Summary Ordinarily decision theory is concerned with two extreme cases of uncertainty depending on whether the probabilities for the states of the world are known (I) or completely unknown (II). In this paper a mixed type is investigated: Let the set of all states of the world be partitioned into certain subsets, which are themselves partitioned into smaller sets, and so on. For each subset let either cases I or II be relevant with respect to its partitioning. An appropriate decision criterion is developed that is based on alternating applications of the Bayes- and the Minimax-criterion (depending on whether case I or II happens to be present). It is established by reducing the mixed type to case II.

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Diese Arbeit entstand im Rahmen eines Forschungsauftrages der Fraunhofer-Gesellschaft zur Förderung der angewandten Forschung e. V. unter der Leitung von Prof. Dr.G. Menges.

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Vorgel, v.:H. Söhngen     

The strains and the energy in thin elastic shells of arbitrary shape for arbitrary deformation

Zusammenfassung Im ersten Teil (I) werden Formeln entwickelt, welche die kinetische und potentielle Energie dünner Schalen beliebiger Form explizit als Funktion eines beliebigen Verschiebungsfeldes ausdrücken. Dies geschieht auf rein analytische Weise ohne Zuhilfenahme geometrischer Darstellungen einzelner Schalenelemente. Von besonderem Wert für viele Anwendungen ist es, dass vollständige Freiheit in der Wahl der Flächenkoordinaten besteht.Im zweiten Teil (II) wird zunächst die Anwendung der Theorie auf zwei bekannte Beispiele gezeigt: 1. Platte in schiefwinkligen Koordinaten, 2. zylindrische Schale. Als neues Beispiel wird 3. die schraubenflächige Schale eingehend behandelt. Für einen besonderen Einspannungsfall wird die Frequenz der Grundschwingung als Funktion der Verwindung angenähert numerisch berechnet.     

Unsteady motion of a spheroid in an elastico-viscous liquid

In this paper we have considered the unsteady motion of a spheroid moving from rest in viscoelastic fluid. The paper has been divided into two sections. In Section A a general formula as well as approximate formula for the drag has been calculated. In Section B the expression for the velocity of the spheroid started from rest under the action of constant force has been investigated.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die nicht-stationäre Bewegung eines Spheroids von der Ruhe in einem viskoelastischen Fluid betrachtet. Die Arbeit ist in zwei Abschnitte geteilt. Im ersten Teil werden allgemeine Formeln sowie Näherungen für den Widerstand entwickelt. Im zweiten Abschnitt werden Ausdrücke für die Geschwindigkeit eines Speroids hergeleitet, welches von der Ruhe aus unter dem Einfluss einer konstanten Kraft sich bewegt.

     

On the stability of finitely deformed elastic membranes

Zusammenfassung Die Arbeit befaßt sich mit einigen Stabilitätsproblemen bei elastischen Membranen unter endlichen Deformationen und konservativer Belastung. Im Teil I wird die Änderung der Verzögerungsenergie diskutiert, hervorgerufen durch eine kleine der endlichen Anfangsverformung übergelagerten Deformation. Im Hinblick auf spätere numerische Anwendungen folgt die Herleitung von empirischen Formänderungsfunktionen aus experimentellen Resultaten von Treloar für vulkanisierte Gummimembranen. Für ein Blatt unter gleichmäßigem Zug wird die Stabilität bei fehlender Belastung oder bei eingespanntem Rand untersucht.     

Zur Erstellung von optimalen Triebfahrzeuglaufplänen

Zusammenfassung Das Problem der Erstellung optimaler Triebfahrzeuglaufpläne wird mathematisch als Zuordnungsproblem aufgefaßt. Dabei wird auf die Ermittlung der Kostenelemente für dieses Zuordnungsproblem besonders eingegangen. Die Kostenelemente werden einmalig berechnet und nur zum Teil für das Zuordnungsproblem gespeichert. Dadurch können auch Laufpläne für größere Zugzahlen bei relativ kurzen Rechenzeiten ermittelt werden.

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The problem of producing optimal engine schedules is mathematically seen as an assignment problem. In this connection the determination of the cost elements for this assignment problem is of particular interest. The cost elements are determined only once and only a part of them is stored for the assignment problem. Thus, even engine schedules for larger quantities of trains can be determined within relatively short execution times.

     

Load-displacement relations for elastic bodies

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass bei statischen Eigenwertproblemen der infinitesimalen Elastizitätstheorie die an einem Teil der Oberfläche, an welchem die Verschiebungen vorgeschrieben sind, angreifende Dyname in den vorgeschriebenen Grössen ausgedrückt werden kann. Das Verfahren verlangt die Kenntnis der Oberflächenverschiebungen und Oberflächenspannungen unter gewissen behelfsmässig definierten Gleichgewichtszuständen. Es wird auf einen Zylinder mit vorgeschriebenen Endverschiebungen und auf den Halbraum unter einem reibungsfreien starren Stempel angewandt.     

Boundary layer stability at longitudinally curved walls

Summary A theory of the stability of laminar boundary layer flow along a concave wall is derived without making use of the neglections and simplifications which characterize the former theory. The investigated boundary layer flow contains the curvature influence in second order approximation. It refers to walls with leading edge curved like the involute of a circle. Here there exists a self similar boundary layer flow and its asymptotic part does not vary longitudinally. A straight forward solution is given which contains an analytic asymptotic part. The neutral curves are determined for different wall curvature parameters.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der Stabilität der laminaren Grenzschichtströmung an längsgekrümmten konkaven Wänden vorgelegt, die die Vereinfachungen und Vernachlässigungen der früheren Theorie nicht benutzt. Die untersuchte Grenzschichtströmung enthält den Krümmungseinfluss in zweiter Ordnung genau. Sie bezieht sich auf Wände mit scharfer Eintritts-Kante, die wie die Evolvente eines Kreises gekrümmt sind. Hier besteht eine ähnliche Grenzschichtströmung, und ihr asymptotischer Teil ändert sich nicht in longitudinaler Richtung. Es wird eine direkte Lösung gegeben mit einem analytischen asymtotischen Teil. Die neutralen Kurven werden für verschiedene Wandkrümmungsparameter bestimmt.

     

Extension of a crack by a shear wave

Zusammenfassung Eine ebene, unstetige, horizontal polarisierte Schubwelle breitet sich in einem brüchigen elastischen Material aus, das einen Riss enthält. In dieser Arbeit werden die Bedingungen für den Rissfortschritt untersucht, nachdem die ankommende Welle durch den Riss gebeugt wurde. Die Untersuchung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil werden die Teilchengeschwindigkeiten und Schubspannungen in der Ebene des Risses infolge Beugung der Schubwelle bestimmt. Es wird dabei angenommen, dass der Riss sich sofort, oder kurz nachdem die Wellenfront die Risskante getroffen hat, mit beliebiger Geschwindigkeit ausbreitet. Im zweiten Teil wird die Energiegleichung als Kriterium für den Rissfortschritt benützt. Es wird gezeigt, dass in einem ursprünglich ungestörten Material der Riss sich nur dann sofort ausbreitet, wenn die Schubspannung eine Quadratwurzelsingularität an der Wellenfront zeigt. Wenn die Schubspannung an der Wellenfront kontinuierlich ist, dann beginnt der Rissfortschritt, kurz nachdem die Risskante getroffen wird. In einem statisch vorgespannten Material, das einen Riss enthält, kann der Rissfortschritt sofort einsetzen, wenn der Spannungsfaktor gross genug ist.

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This work was supported by the Advanced Research Project Agency of the U.S. Department of Defense through the Northwestern University Materials Research Center.     

Über die Existenz von unendlich vielen periodischen Lösungen einer einfachen Temperaturregelung

Zusammenfassung Eine räumliche Temperaturregelung wird hier durch eine parabolische Differentialgleichung mit gekoppelten Randbedingungen modelliert. Um den bekannten Existenzsatz anwenden zu können, wird die Gleichung durch eine Störung regularisiert. Wegen der Kompaktheit der Menge der Lösungsfunktionen von gestörten Gleichungen existieren in dieser Menge Häufungspunkte. Mit Hilfe des strengen Maximum-Prinzips zeigt man, daß solche Häufungspunkte die Lösungen der ungestörten Gleichung sind. Die damit erzielte Existenzaussage wird numerisch bekräftigt.

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On the existence of an infinite number of periodic solutions for a simple temperature control

Summary A parabolic differential equation with coupled boundary conditions models a temperature-control-system in the one-dimensional space. In order to use a known existence theorem the equation is regularized by a perturbation. The set of solution functions of the perturbed equations is compact. Accumulation points of this set are solutions of the equation because of the strictly maximum principle. This proposition is confirmed with a numerical example.

     

Diffusionsprobleme in Strömungen mit diskontinuierlicher Geschwindigkeitsverteilung I

Zusammenfassung Betrachtet wird die zweidimensionale, stationäre Massen- oder Wärmediffusion in einer reibungsfreien, parallelen Kanalströmung. Diese ist in zwei Gebiete mit jeweils konstantem Massenfluss unterteilt. Die Massenflüsse können gleich oder entgegengesetzt gerichtet sein. Auf deren Unstetigkeitsfläche befindet sich möglicherweise eine Zwischenwand mit einem Schlitz. Im Falle der Massendiffusion ist auch der Einfluss eines Gravitationsfeldes senkrecht zur Strömungsrichtung mitberücksichtigt. Die diffundierende Substanz wird von einer Punktquelle produziert. Das Randwertproblem wird mit der Singularitätenmethode behandelt und auf eine Integralgleichung zurückgeführt. Exakte oder angenäherte analytische Lösungen werden in verschiedenen Spezialfällen angegeben. In diesem ersten Teil der Publikation werden folgende zwei Fälle behandelt: Eine Quelle in einem unbegrenzten Medium und in einer Kanalströmung ohne Zwischenwände.

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Summary This paper deals with two-dimensional diffusion of mass or heat in a non-viscous parallel channel flow. The flow is divided into two regions with constant mass fluxes, which have the same or the opposite directions. The two flow regions are possibly separated by a wall, except for a strip of finite length, across which transport may occur. In the case of mass diffusion, the influence of a gravity field perpendicular to the direction of the flow is considered. The diffusing substance is produced by a source singularity. The boundary value problem is treated with the method of singularities and reduced to an integral equation. Exact or approximate analytical solutions are given for various special cases. In this first part of the paper, the following two cases are considered: A source in an unbounded medium and a source in a channel flow without an inner wall.

     

The second fundamental problem of elasticity applied to a plane circular ring

Zusammenfassung Ein ebener Kreisring mit vorgegebenen Randverschiebungen wird mittels der komplexen Methode nachN. I. Muskhelishvili behandelt. Es wird ein einfaches Beispiel gelöst und die Lösung mit der fehlerhaften vonH. Reissner verglichen.     

Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

A linearized theory of tube drawing

Zusammenfassung Der Artikel behandelt isotherme Verformungen eines linearviskoelastischen Stoffes im einachsigen Spannungszustand. Die Deformationsgeschichte des Materials für den Zeitabschnitt (–, 0) wird als bekannt angesehen. Ein Teil der mechanischen Arbeit, die am Material während dieses Zeitabschnitts geleistet wird, kann in rein mechanischer Weise dadurch zurückgewonnen werden, dass der Körper geeigneten weiteren Verformungen unterworfen wird. Der Artikel behandelt den Höchstbetrag, der auf diese Weise zurückgewonnen werden kann.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Naval Research under Contract No. 562(10) with Brown University.     

Asymptotic theories for the unsymmetric vibrations of cylindrical shells,part II—Application

Summary The asymptotic theories which were developed in part I of this paper are applied to the problem of wave propagation in infinite cylindrical shells. It is shown that the wave velocity-wavelength spectrum can, in the range of the defined validity of the theories, be represented by a superposition of the membrane and simplified bending theories.

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Zusammenfassung Die asymptotischen Theorien, welche im ersten Teil dieser Arbeit aufgestellt worden waren, werden jetzt auf das Problem der Wellenfortpflanzung in zylindrischen Schalen angewendet. Es wird gezeigt, dass im Gültigkeitsbereich der Theorie das Wellengeschwindigkeits-Wellenlänge-Spektrum durch Superposition der Membran- und der vereinfachten Biegetheorie dargestellt werden kann.