Conservative similarity solutions of the one-dimensional autonomous parabolic equation

Summary conditions are established on the coefficient functions of the one-dimensional autonomous parabolic equation for the existence of conservative solutions in the first quadrant of the plane of the independent variables length and time. Such a solution is characterized by the condition that its integral over the length variable from zero to infinity exist and be independent of time. Those conservative solutions are considered which can be expressed by means of a dimensionless variable and a function of the time variable (similarity). For the case that the similarity relation is linear in the length variable, coefficient functions are specified that lead to conservative solutions.

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Zusammenfassung Es werden Bedingungen aufgestellt über die Koeffizientenfunktionen der eindimensionalen, autonomen, parabolischen Gleichung für die Existenz konservativer Lösungen imersten Quadranten der Ebene der unabhängigen Variablen Länge und Zeit. Eine derartige Lösung ist dadurch charakterisiert, dass ihr Integral über die Längenvariable von Null bis Unendlich existiert und unabhängig von der Zeit ist. Es werden konservative Lösungen betrachtet, die mit Hilfe einer dimensionslosen Variablen ausgedrückt werden könen, die als Quotient einer Funktion der Längenvariablen und einer Funktion der Zeitvariablen definiert ist (Ähnlichkeit). Koeffizientenfunktionen, die zu konservativen Lösungen führen, werden für den Fall angegeben, dass diese Ähnlichkeitsbeziehung linear in der Längenvariablen ist.

     

A note on the linear theory of shallow shear-deformable shells

The solution of the tenth order problem of two-dimensionally homogeneous isotropic shallow shear-deformable elastic shells is expressed in terms of three functions, one of them solution of a second order equation and two of them solutions of two simultaneous fourth order equations, in such a way that known results for shear-deformable plates and for non-sheardeformable shells appear directly as special cases.

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Zusammenfassung Die Lösung des Problems der zwei-dimensional isotropischen flachen elastischen Schale wird ausgedrückt durch drei Funktionen. Zwei von diesen sind Lösungen von zwei simultanen Gleichungen der vierten Ordnung und die dritte ist Lösung einer Gleichung der zweiten Ordnung. Das neue in diesem Resultat, welches schon einmal in 1969 in einer etwas anderen Art und in einem allgemeineren Zusammenhang gegeben wurde, besteht darin, daß in der neuen Fassung bekannte Ergebnisse für schubverformbare Platten und für nichtschubverformbare Schalen unmittelbar als spezielle Fälle erhalten werden.

     

Permanent replicas of the crystalline structure of hailstones

Zusammenfassung Es wird eine Technik für die rasche Zubereitung dauerhafter Abgüsse (Replicas) der Struktur von Hagelsteinquerschnitten geschildert. Das Verfahren dürfte sich als besonders förderlich in Studien über die innere Struktur solcher Partikeln erweisen. Alle Vorkehrungen können in einem Raum normaler Temperatur vorgenommen werden, sofern eine Kühltruhe mit einer Betriebstemperatur bis –20°C zur Verfügung steht.Die Hagelschlossen werden auf einem Block aus plastischem Schaum verankert, mit einer Säge in zwei Teile geschnitten und die Schnittflächen mit grobem und feinem Sandpapier geschliffen und schliesslich über Samt geglättet, für welche Vorkehrungen nicht mehr als einige wenige Minuten benötigt werden. Hierauf werden die Eiskörper für etwa 15 min bei einer Temperatur von –20°C gehalten, oder so lange, bis sich auf den polierten Schnittflächen infolge Sublimation (Verdampfung) Ätzfiguren ausgebildet haben.Die geätzten Eisoberflächen werden mit einer 5%igen plastischen Lösung von einer Temperatur von –5°C überzogen und nach Abtropfen der überschüssigen Lösung alsdann auf –20°C gehalten, bis das Lösungsmittel verdunstet ist. Die entstandenen plastischen Filme werden hierauf von der Eisoberfläche abgestreift und zwischen zwei Glasplatten gebracht. Sie können in dieser Form entweder photographiert werden oder schliesslich als Diapositive Verwendung finden. Lichtbilder von natürlichen Hagelschnittflächen und solche von Abgüssen illustrieren die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.     

The transverse flexure of a thin circular plate subject to parabolic loading over a concentric ellipse

Zusammenfassung Auf der Basis der Poisson-Kirchhoffschen Theorie und unter Verwendung der komplexen Methode werden die Durchbiegungen und Spannungen in einer dünnen isotropen Platte unter einer parabolischen Belastung ermittelt, die sich über die Fläche einer konzentrischen Ellipse erstreckt. Der Rand der Platte ist einer elastischen Bindung unterworfen, welche Auflage und Einspannung als Sonderfälle enthält. Es werden auch Grenzfälle der erhaltenen Lösung diskutiert.     

Unsteady energy transfer in a layer of gray gas by thermal radiation

Zusammenfassung Das Aufheizen oder Abkühlen einer ruhenden Schicht eines strahlenden Gases wird analysiert. Streuung der Strahlung wird dabei vernachlässigt, und der Wärmetransport durch Leitung und Konvektion wird als vernachlässigbar klein im Vergleich zum Strahlungsaustausch betrachtet. Ein Schema wird entwickelt für die numerische Lösung der nichtlinearen Integral-Differentialgleichung der Energie. Von einer beliebig angenommenen Anfangsverteilung der Temperatur ausgehend werden Temperaturen und Strahlungs-Wärmestromdichten als Funktion der Zeit ermittelt. Weiterhin werden für konstante und sich ändernde Stoffgrössen die Einflüsse der optischen Dicke, der Anfangstemperaturverteilung und der einfallenden Strahlung auf die Temperaturverteilung und den Wärmetransport dargestellt.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Integral representations in two dimensional potential theory

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass mittels einer passenden Integraldarstellung der Potentialfunktion eine Klasse von Problemen der zweidimensionalen Potentialtheorie auf die Lösung einer Abelschen Integralgleichung zurückgeführt werden kann. Das Verfahren wird durch Anwendung auf Probleme der klassischen Aerodynamik, der Magnetoaerodynamik und der Elastizität veranschaulicht.     

Approximate solution of the propagation of an axisymmetric blast wave generated by a finite spherical charge

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ausbreitung starker Stosswellen in einem idealen Gas ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Für den Fall einer axialsymmetrischen Strömung werden Ähnlichkeitstransformationen angegeben, welche die Eulerschen Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren. Die klassischen Lösungen von SirG. I. Taylor sind in den angegebenen Transformationen enthalten.Es wird weiter gezeigt, dass der Ähnlichkeitsansatz keine exakte Lösung für den Fall einer von einer endlichen explodierenden Ladung erzeugten Stosswelle liefert, jedoch eine Näherungslösung gestattet.Numerische Ergebnisse für eine kugelförmige Stosswelle, erzeugt durch die Explosion einer endlichen Ladung, sowie für eine axialsymmetrische Stosswelle, erzeugt durch eine Punktladung endlicher Energie, werden mitgeteilt.     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

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Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.

     

The vertical plate in laminar free convection: Effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature

Summary For laminar free-convection flow past a heated vertical plate of finite length, the local asymptotic flow structure is studied in regions where the boundary-layer equations do not provide a correct approximation at large Grashof numbers. The leading-edge region is shown to contribute a secondorder term to the integrated heat transfer. An integral form of the energy equation permits calculation of this correction in terms of the second-order boundary-layer solution away from the edge, without knowledge of the flow details near the edge, which can be obtained only by solution of the full Navier-Stokes equations. Near the trailing edge and near a jump in the prescribed plate temperature the longitudinal pressure gradient is found to be important in a thin sublayer adjacent to the plate, and the transverse pressure gradient is important in the remainder of the boundary layer, each for a distance along the plate which is slightly larger in order of magnitude than the boundary-layer thickness. At the trailing edge the sublayer problem is nonlinear and cannot be solved analytically, but it can be shown that the local correction to the total heat transfer is of slightly larger order of magnitude than the leading-edge correction. It is pointed out that the trailing-edge flow is identical in form to the flow near the edge of a rotating disc in a stationary fluid. The temperature-jump problem is linear and a solution is given which shows how the singularity in streamline slope predicted by the boundary-layer solution is removed.

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Zusammenfassung Bei laminarer natürlicher Strömung längs einer senkrecht stehenden endlichen geheizten Platte bei sehr grossen Grashof'schen Zahlen gibt es kleine Bereiche, bei denen die Grenzschichtgleichungen keine echte asymptotische Darstellung liefern. Im Vorderkantenbereich findet man ein Zusatzglied zweiter Ordnung für die gesamte Wärmeübertragung. Die Berechnung dieser Korrektur erfolgt durch eine Integralform der Energiegleichung, wobei nur die Lösung der Grenzschichtgleichung zweiter Ordnung fern von der Kante benützt wird, während die Kenntnis der Strömung in der Nähe der Kante nur durch eine Lösung der exakten Navier-Stokes'schen Gleichungen gefunden werden könnte. In der Nähe der Hinterkante und in der Nähe einer Diskontinuität der gegebenen Plattentemperatur wird das Längsdruckgefälle in einer dünnen Unterschicht wichtig; das Querdruckgefälle wird in dem restlichen Teil der Grenzschicht berücksichtigt, für eine Länge, deren Grössenordnung etwas grösser ist, als die der Grenzschichtdicke. Bei der Hinterkante ist das Unterschichtsproblem nicht linear, und es gibt keine analytische Lösung, aber man kann zeigen, dass die Grössenordnung der Korrektur der gesamten Wärmeübertragung etwas grösser ist als die Korrektur bei der Vorderkante. Die Strömung bei der Hinterkante ist dieselbe wie die Strömung bei der Kante einer rotierenden Scheibe in einer sonst ruhenden Flüssigkeit. Das Temperatur-Diskontinuitätsproblem ist linear, und eine Lösung ist hier gefunden worden, wodurch die von der Grenzschichttheorie gegebene Singularität (unendliche Quergeschwindigkeit) entfernt wird.

     

Heat conduction with nonlinear boundary condition

The paper is concerned with determination of the solution of the one-dimensional heat equation in a semi-infinite region subject to a nonlinear boundary condition at the surface. The exact solution is obtained and is expressed in infinite series. It is shown that the series is absolutely and uniformly convergent. Two special cases of Newton's cooling and of Stefan-Boltzmann's radiation at the boundary are discussed.

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Zusammenfassung Diese Arbeit befaßt sich mit der Lösung der Gleichung der eindimensionalen Wärmeleitung in einem Halbraum mit nicht-linearen Randbedingungen an der Oberfläche. Es wird eine genaue Lösung gefunden, die die Form einer unendlichen Reihe besitzt. Es wird gezeigt, daß die Reihe absolut und gleichmäßig konvergiert. Als zwei Spezialfälle werden Newton-Kühlung und Stefan-Boltzmann-Strahlung behandelt.

     

The effect of a transverse pressure gradient on the stability of couette flow

Zusammenfassung Der Einfluss eines transversalen Druck-Gradienten auf die Stabilität einer Couette-Strömung ist durch direkte Lösung der Differentialgleichungen untersucht worden. Es stellt sich heraus, dass für besondere Werte von Drehzahl und Druck-Gradient die Kurve der neutralen Stabilität zwei Minima besitzt; dies führt zu unstetigem Verhalten der kritischen Wellenzahl. Eingehende Resultate sowohl für die Eigenwerte (Taylor-Zahl und Wellenzahl) als auch die Eigenfunktionen (Radial- und Transversal-Komponenten der Störungsgeschwindigkeit) werden hier vorgelegt für den Fall, dass der äussere Zylinder still steht.     

Biharmonic solutions to the steady-state thermoelastic problems in three dimensions

Zusammenfassung Die Kelvin-Almansi-Darstellung einer Bipotentialfunktion vermittelst zweier harmonischer Funktionen wird zur Lösung elastischer Wärmespannungsprobleme für stationäre Temperaturfelder angewendet.Es werden die Wärmespannungen infolge willkürlicher stationärer Temperaturfelder in einigen fundamentalen Bereichen, nämlich im Halbraum, in der dicken Platte und in der Vollkugel untersucht.     

The stability of time-dependent laminar flow: Flow with curved streamlines

Zusammenfassung Das Problem der Stabilität laminarer, inkompressibler und stationärer Strömungen mit gekrümmten Stromlinien wird hier ausführlich untersucht. Im Gegensatz zur klassischen Behandlung der Stabilität, wo die untersuchten Strömungen stationär sind und wo Stabilität genau definert ist, bedarf dieses System zur Lösung einer neuen Basis. Interpretation und Formulierung dieser neuen Basis werden vorgenommen, und drei Definitionen werden als die wichtigsten herausgestellt. Bei Anwendung dieser Kennzeichen auf neutrale Stabilität und durch Erweiterung der vonOrr für parallele Strömungen entwickelten Analyse, wird für die kritische Reynolds-Zahl ein Mindestwert als eine Funktion der Zeit errechnet. Für den Fall einer Strömung zwischen konzentrischen Kreiszylindern mit einer stationären und einer Schwingungskomponente in der Zeit werden quantitative Ergebnisse geboten. Das stationäre Problem wird in diesem Zusammenhang als ein spezieller Grenzfall behandelt.     

Approximations and bounds for a generalized optimal stopping problem

We study a finite-horizon nonstationary Markovian decision problem, that can be interpreted as generalized optimal stopping and whose solution via the usual dynamic programming is in most practical cases not feasible from a computational point of view. Under certain assumptions, most importantly stochastic monotonicity, upper and lower bounds are obtained for optimal values and decisions using a reduced dynamic programming. From this, a suboptimal policy is derived with an upper bound on its suboptimality. Computational aspects and a particular application from optimal exploratory oil drilling are discussed.

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Zusammenfassung In der Arbeit wird ein nichtstationäres Markowsches Entscheidungsproblem mit endlichem Planungshorizont betrachtet, das als verallgemeinertes Stopp-Problem interpretiert werden kann. Die numerische Lösung des Problems mit Hilfe der üblichen Methode der dynamischen Optimierung ist in der Regel zu rechenaufwendig. Es wird deshalb eine Methode der approximativen Lösung des Problems (mit gewissen Einschränkungen) vorgeschlagen, und es werden obere und untere Schranken für den Optimalwert hergeleitet. Ferner wird eine suboptimale Politik mit einer oberen Schranke für die Suboptimalität angegeben. Abschließend wird ein praktisches Anwendungsbeispiel (optimale Versuchsbohrungen nach Öl) diskutiert, an dem auch rechentechnische Aspekte des entwickelten Lösungsverfahrens erläutert werden.

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Research partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Italy, through contract n.80.02343.01 and through GNAFA.     

The method of the kernel function in the theory of elastic plates

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Bergmanschen Methode der Kernelfunktion auf die Probleme der Statik dünner elastischer Platten. Die Bergmansche Methode besteht im wesentlichen aus 1) der Erzeugung eines vollständigen Satzes partikulärer Lösungen der Differentialgleichung, 2) der Orthogonalisierung dieses Satzes in einem geeigneten Sinne und 3) der Approximation der Lösung von den gegebenen Randwerten aus durch lineare Kombination der Orthogonalfunktionen. Mit Hilfe dieser Methode werden die Durchbiegungen und Randmomente einer Halbkreisplatte mit eingespanntem Rand für gleichmässig verteilte und linear veränderliche Vollbelastung gefunden und mit den Ergebnissen einer anderen Untersuchung verglichen.

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This work was sponsored partly by the Southwest Research Institute, San Antonio, Texas, and partly by the National Bureau of Standards, Washington, D. C.     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

Theory of micropolar plates

Zusammenfassung Auf der Basis der linearen Theorie der mikropolaren Elastizität wird eine Theorie für Dehnung und Biegung mikropolarer Platten entwickelt. Die Platten werden aus Hantel-Elementen zusammengesetzt angenommen. Die Theorie berücksichtigt Drehungs- und Schiebungseffekte sowohl klassischen wie auch mikropolaren Ursprungs. Es entstehen symmetrische und antimetrische Spannungsverteilungen als Bestandteile einer ungekoppelten Feldtheorie. Es werden Sätze bezüglich der inneren Energie und der Eindeutiekeit der Lösung aufgestellt. Einige Näherungstheorien sowie die Natur mikropolarer Biegewellen in unendlichen Platten werden diskutiert.     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.