对一个折线距离问题的探讨

广东试题设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A,B）为ρ（A,B）=|x₂—y₂-y₁|.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,（1）若点C（x,y）是平面上的点,试证明ρ（A,C）+ρ（C,B）≥ρ（A,B）;（2）在平面.xOy上是否存在点C（x,y）,同时满足①ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）;②ρ（A,C）ρ（C,B）.若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析:（1）由ρ（A,C）=|x-x₁|+|y-y₁|,     

由2010年高考题中不等式所想到的

（2010年辽宁理21）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1.（1）讨论函数f（x）的单调性;（2）设a<-1.如果对任意x₁,x₂∈（0,+∞）,|f（x₁）-f（x+2）|≥4|x₁-x+2|,求a的取值范围.（2010年湖北理21）已知函数f（x）=ax+b/x+c（a>0）的图像在点（1,f（1））处的切线方     

一道课本习题证法的讨论、拓展与应用

一、问题提出如图1,已知反比例函数y₁=1/x、y₂=3/x在第一象限的图像,过y₂上的任意一点A,作x轴的平行线交y₁于B,交y轴于C,过点A作x轴的垂线交y₁于D,交x轴于E,连接BD、CE,则BD/CE=_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>.此题是沪科版教材九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》的复习题.题目是反比例函数综合题,主要考查曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数的系数k的几何意义,相似三角形的判定和性质.题目难度适中,解决方法不唯一,能很好发散学生的思维,锻炼学生解决数学问题的能力.     

易被忽视的三角最值的求法

<正>若函数y=f（x）+g（x）,当f（x）、g（x）同时在某个自变量x₀处取得最大（小）值,则在自变量x₀处,函数y取得最大（小）值为f（x₀）+ g（x₀）.本文仅例探该结论在三角函数求最值方面的应用.     

一道抛物线质检题的解法探究

<正>题目过点P(a,-2)作抛物线C:x²=4y的两条切线,切点分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).(1)求证:x₁x₂+y₁y₂为定值．(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由．本题是笔者在高三复习中遇到的一道质检题,第一问求解容易;第二问难度较大,求解不易．本文对第(1)问给出一种解法,重点探究第(2)问的求解方法．     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

自相似集的球密度性质

本文讨论利用上、下球密度计算自相似集的Hausdorff中心测度与填充测度的问题.设E是满足强分离条件的自相似集,s为其Hausdorff维数,μ为定义于E上的自相似测度,则有如下结论:(1)如果存在x₀∈E,使得x₀关于μ的上球密度■(μ,x₀)=■,则对μ-几乎所有x∈E,有■(μ,x)≥■;(2)如果存在y₀∈E,使得y₀关于μ的下球密度■(μ,y₀)=■,则对μ-几乎所有y∈E,有■(μ,g)≤■.运用这一结论,对自相似集的测度计算问题进行了讨论.     

一类对称函数的Schur凸性与应用

对x=（x₁,x₂,…,x_n）∈R₊ⁿ及r∈{1,2,…,n},定义了对称函数F_n（x,r）=F_n（x₁,x₂,…,x_n;r）=∑_1≤i12…r≤n(∏₍j=1 x_ij/₁+x_ij^1/r,其中i₁,i₂,…,i_n是正整数.本文讨论了F_n（x,r）的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性,并借助于控制理论建立了若干不等式.     

一道新定义“进取点”题目的解析与收获

<正>题目(北京市海淀区2023年七年级下学期期末考试第26题)在平面直角坐标系xOy中,对于不重合的两点P(x₁,y₁)和点Q(x₂,y₂),给出如下定义:如果当|x₁|>|x₂|时,有|y₁|≥|y₂|;当|x₁|<|x₂|时,有|y₁|≤|y₂|,则称点P与点Q互为“进取点”.特殊地,|x₁|=|x₂|时,点P与点Q也互为“进取点”.     

极值点偏移问题中另解引发的深度思考

1.典型例题常规解答例。1已知实数m>1,f(x)=e^mx-x-m有两个零点x₁,x₁,求证:x₁+x₁<0.证明f′(x)=me^mx-1,令f′(x)=0,得x=1/min1/m.为叙述简便,记x₀=1/min1/m,因为m>1,所以x₀<0.当x∈(-∞,x₀)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x₀,+∞)时,fv(x)>0,f(x)单调递增.     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

简单现象背后的玄机

<正>我们经常会遇到一些简单、显然的事情或现象,细想想为什么会是这样,有时还真不容易说清楚.例题已知0123<π,设a= （sinx₁）/（x₁）,b=（sinx₂）/（x₂）,c=（sinx₃）/x₃,则a、b、c的大小关系是_<sub>.分析a、b、c具有相同的结构;都是分式形式,容易联想斜率公式,将问题转化为比较直线斜率的大小问题.     

完备α度量的相对抛物型仿射球(英文)

摘要:设y:M→Rⁿ⁺¹是一个光滑连通流形到实仿射空间Rⁿ⁺¹的局部强凸浸入超曲面,而且是一个定义在区域Ω（?）Rⁿ上的严格凸函数x_n+1=f（x₁,x₂,…,x_n）的图.在α相对法化下,相对抛物型仿射球满足一个四阶非线性偏微分方程组.本文证明了这类抛物型仿射球的一个新的Bernstein性质.     

一道含参二次函数题的“小题大作”

<正>众所周知,不在同一直线上的三个点确定一条抛物线,那么什么形式的含参变量的二次函数的图像过两个定点呢?通过下面的问题,进行说明.2016年厦门中考第15题已知点P(m,n)在抛物线y=ax²-x-a上,当m≥-1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是_.一、抛物线过两个定点解将原二次函数解析式整理为y+x=a(x2-x-a上,当m≥-1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是_.一、抛物线过两个定点解将原二次函数解析式整理为y+x=a(x²-1),     

Long Time Asymptotics Behavior of the Focusing Nonlinear Kundu-Eckhaus Equation

The authors study the Cauchy problem for the focusing nonlinear KunduEckhaus(KE for short) equation and construct the long time asymptotic expansion of its solution in fixed space-time cone with C(x₁, x2, v₁, v₂) = {(x, t) ∈ R²: x = x₀ + vt,x₀ ∈ [x₁, x₂], v ∈ [v₁, v₂]}. By using the inverse scattering transform, Riemann-Hilbert approach and ■ steepest descent method, they obtain the lone...     

非线性边值问题的奇摄动

本文研究边值问题:εy"=f(x,y,y',ε,μ)(μ0(ε,μ)y(x,ε,μ)|(x=1-μ)=φ₁(ε,μ)其中ε,μ是两个正的小参数 在f_y’≤-k<0和其他适当的限制下,存在一个解且满足其中y₀,0(x)是退化问题 f(x,y,y',0,0)=0(01(0,0)的解,而y_i-j,j(x)(j=0,1,…,i;i=1,2,…m)能够从某些线性方程逐次求得.     

MAPS PRESERVING THE NORM OF THE POSITIVE SUM IN Lp SPACES

For 1

p）+be the set of positive elements in L_p with norm one.Assume that V₀:S(L_p（Ω₁）)₊→S(L_p（Ω₂）)₊ is a surjective norm-additive map;that is,‖V₀（x）+V₀（y）‖=‖x+y‖,?x,y∈S(L_p（Ω₁）)₊.In this paper,we show that V₀ can be extended to an isometry from L_p（Ω₁） onto L_p（Ω₂）.     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

如何平移二次函数的图像

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移的实质是图像形状大小、开口方向不变,位置发生变化.即系数a不变,顶点移动,所以在平移二次函数图像时一般把二次函数一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x+m)2+k的形式,并抓住常数a、m、k与平移的关系.1.系数a与抛物线的平移无关,在平移过     

习题的探究

<正>题目过抛物线y²=2px,（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y₁,y₂;求证:y₁y₂=-p²,此题是人教社课本高二（上）册P₁₁₉页第7题,本题内涵十分丰富,笔者从以下几方面进行探究与反思.