在运动变化中探求直线与平面的关系

立体几何中的线线之间,线面之间或面面之间,是否存在某种关系？有时我们用性质定理难以回答,这时我们可在运动变化中求解它们之间的关系,分析运动起始位置时它们的关系,推理出运动过程中某种关系的存在性,请看三例.例1异面直线a,b夹角为50°,过空间一点P的直线l与a,b夹角都为30°的直线有     

变化之中有不变——求运动中的不变量

以动点运动为背景,设计探索变量之间的函数关系问题、特殊情形时的变量取值问题,都是学习中的重要问题.在运动的过程中,虽然质点是运动的,许多量都会随着改变,但有时却存在一些不变量:如运动的直线与某一直线的交点位置不变;运动的线段的长度不变;运动的直线与某一直线所夹角的     

向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦.也就是a·b=|a|·|b|·cosα,其中α是向量a和b之间的角.     

空间中的平行与垂直

本专题的主要内容是空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．着重研究它们之间的平行与垂直关系．     

向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦．也就是a·b。｜a｜．｜b｜．cosα,其中α是向量五α万b之间的角．     

关于双曲线的一种方程

1　关于双曲线的一种方程设在平面直角坐标系中有两条相交直线l1 和l2 ,它们的方程分别是l1 :a1 x+b1 y+c1 =0 ,　l2 :a2 x+b2 y+c2 =0 .因为是相交直线 ,所以当然满足条件a1 b2 -a2 b1 ≠ 0 ( 1 )则凡以这两条相交直线作为渐近线的双曲线的方程总能写成(a1 x+b1 y+c1 ) (a2 x+b2 y+c2 ) =d ( 2 )其中d是任一非零常数 .反之 ,方程 ( 2 )当d≠ 0并且满足上述条件( 1 )时 ,就表示以l1 和l2 为渐近线的一条双曲线 .关于这一结论可以查阅高等学校的解析几何教材 ,比如吕林根、许子道等人编著的由高教出版社出版的《解析几何》[1 ] (第三版 ) .其…     

利用向量求异面直线所成的角

异面直线所成角的问题,是空间“三大角”问 题之一,历来是考试的重点内容．传统的方法是 按定义平移,然后再通过解三角形的方法来求出 角的,如何平移,有一定的难度和技巧．如果是使 用向量,求异面直线所成角便不再困难了．a与b 是两异面直线,设它们所成的角是θ,任取一个 与a共线的已知非零向量a,一个与b共线的非 零向量b,则a与b的夹角(?)便是θ或π-θ,所     

巧求数量积,事半却功倍

两个非零向量的数量积的定义如下:a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ=为两向量的夹角.根据定义,在求非零向量的数量积时,既要考虑它们的模又要顾及到它们的夹角.而在一般的几何(非坐标运算)问题中,一般都会优先给出有向线段的模,这使得我们在解决问题时总是先由     

用行列式求通过定点的曲线与曲面方程

线性方程组的理论中有一个基本结论 :含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。利用这个结论 ,我们可以建立用行列式表示的直线、平面和圆的方程 ,也可以求出一般多项式的表达式。如果平面上有两个不同的已知点 ( x1,y1) ,( x2 ,y2 ) ,通过这两点存在惟一的直线。设直线方程为 :ax+by+c=0 ,且 a,b,c不全为零。由于 ( x1,y2 ) ,( x2 ,x2 )在同一直线上 ,所以它们满足上述直线方程 ,即 :ax1+by1+c=0 ,ax2 +by2 +c=0。因此有ax +by +c=0ax1+by1+c=0ax2 +by2 +c=0　　这是一个以 a,b,c为未知量的齐…     

利用圆对等腰三角形的腰分类

例(2010年四川宜宾)如图1,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连接OA,若在直线a上存在点P,使△AOP是等腰三角形.那么所有     

向量不等式-｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a｜｜b｜的应用

由平面向量的数量积公式：a·b=｜a｜·｜b｜cosθ（其中θ为非零向量a与b的夹角），我们容易得到下面的结论： －｜a｜·｜b｜≤a·b≤｜a｜·｜b｜. 当a与b共线且方面相同时，右边的不等式取等号；当a与b共线且方向相反时，左边的不等式取等号。     

向量学习中的误区

误区一“实数α、b、c,由αb=αc,α≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确. 例1 取夹角为45°,|c|=1/2,α与c的夹角为0°. 显然a·b=a·c=-1/2,但b≠c. 误区二“如果αb=0,那么α、b中至少有一个为零”在向量推理中不正确. 例2 已知 ,α与b的夹角为90°,则有 的夹     

三垂线定理及其逆定理的学习

三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定理 ,应用十分广泛 .学好三垂线定理及其逆定理 ,首先要弄清该定理中涉及的面及各条线之间的关系 .图 1无论三垂线定理还是逆定理 ,其结构都是“一面四线” ,如图 1所示 :平面α ,斜线PA ,射影AO ,垂线PO ,平面内直线l.其中一面是指α ,三垂线是指 :PO ,OA ,l .共涉及四个垂直关系 :PO⊥OA ,PO⊥l,AO⊥l ,PA⊥l.为了更好地帮助同学们认清定理的本质 ,消除模糊认识 ,配与以下例题 .例 1　判定下列命题是否正确 :①若a是平面α的斜线 ,直线b垂直于a在α内的射影 ,则a⊥b .②若a是平面α的斜线…     

相交线、平行线教与学

第1课 相交线、对顶角 (启读指导课) 一、情趣引入 请一学生演示教材P_(52)图2-1,演示时,教师指明木条a、b表示两条直线,钉住的点表示它们的交点,拿住a,转动b,让学生观察,思考:b的位置     

一个误传已久的答案

题目 从平面外一点向平面引两条与平面斜交的射线，它们的角为α，这两条射线在平面内的射影的夹角为β，那么α与β之间的关系是（ ）     

构造二面角解题

本文讨论立体几何中几类基本的计算问题.通过构造二面角,可以比较方便地将这些空间图形问题转化为平面图形问题. (一) 异面直线上两点间的距离例1 已知两异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d.在直线a、     

对平面向量数量积"性质1"的解读

1平面向量数量积“性质1”[1]的解读设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量e=|bb|,θ是a与e的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ|bb|·a=a·|bb|=|a|cosθ|a·b|b=|a|cosθ(2)|a·b|b=|a|cosθ都表示a在b方向上的射影(课本上称投影.)(3)a在b方向上的射影(投影)的长度d=|a·b|     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

例谈数形结合求解二元函数的极值问题

二元函数的极值问题的初等解法很多，一般都采用降维法转化为一元函数来处理．但有些极值问题，若题中的数量关系能赋予某种几何意义，则可采用数形结合的观点，凭借图形的直观优势，结合解析几何的知识求解，解法往往显得简捷、直观、从以下数例，我们将得到数形结合求解二元函数的极值问题的常用方法，并从中体会到数形结合的独特偏力．1当目标函数形如f（x，y）＝ax＋by＋c时．可考虑利用直线的截距求解例1已知a、b∈R＋，方程x2＋ax＋2b＝0，x2＋2bx＋a＝0都有实数根，试求2a＋b的最小值．分析问题可化为，若a、b满足求2a＋b的最小值．…     

空间直线与平面

1.本单元重、难点分析点、直线、平面是立体几何中最基本的概念,平面的基本性质是学习立体几何的基础,也是正确处理空间图形中点、直线、平面之间关系以及识图、画图、推理、证明的依据.本单元的重点有:直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的特殊关系(平行与垂直)的判定和性质;空间角(两条异面直线的夹角,直线和平面所成的角,二面角)和空间距离(点到直线的距离,点到平面的距离,两条异面直线之间的距离,直线和平面之间的距离,两个平行平面之间的距离)的计算.三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的重要工具,也是构造…