In-Plane vibration of Timoshenko arcs with variable cross-section

Summary This paper studies in-plane vibrations of Timoshenko arcs with variable cross-section by the transfer matrix approach. For this purpose, the equations governing the in-plane vibration of the arcs are written in a coupled set of first-order differential equations by use of the transfer matrix. Once the transfer matrix has been determined by numerical integration of the equations, the natural frequencies (the eigenvalues) and the mode shapes are calculated in terms of the elements of the matrix for a given set of boundary conditions. This method is applied to arcs with linearly, parabolically and exponentially varying cross-section, and the effects of the varying cross-section and slenderness on the free vibrations of the arcs are studied.

---

Übersicht Diese Abhandlung untersucht die ebenen Schwingungen von Timoshenkoskreisbogenträgern mit veränderlichem Querschnitt mit Hilfe einer Transfermatrix-Methode. Zu diesem Zweck werden die linearen Differentialgleichungen, die die ebenen Schwingungen der Kreisbogenträger beherrschen, durch Anwendung einer Transfermatrix umgeschrieben. Sobald die Transfermatrix durch numerische Integration der Gleichungen bestimmt ist, lassen sich die Eigenwerte und Schwingungsformen aus den Matrixelementen für beliebige Randbedingungen berechnen. Diese Methode wird auf die Analyse von Kreisbogenträgern mit linear, parabolisch und exponentiell veränderlichen Querschnitt angewandt. Die Einwirkungen des veränderlichen Querschnittes und der Schlankheit der Kreisbogentr äger auf die freien Schwingungen werden diskutiert.

     

Nonlinear vibrations of an elastic disk rotating in a viscous fluid

Summary The von Kármán equations are extended to the dynamic case and to manifest the effects of the viscosity of fluid in which the motion takes place. The hydrodynamic aspect of the problem is analyzed and the flow pattern based on the von Kármán solution derived. The system of two nonlinear coupled differential equations is solved for weakened boundary conditions using the Galerkin procedure. A numerical example given for the mode of two nodal diameters and no nodal circles shows that: (a) the period of linear vibrations, T, is markedly increased by the presence of the viscous fluid; (b) the ratio T ^*/T(T ^* = period of nonlinear vibrations) decreases with an increasing amplitude, increases with an increasing speed of rotation, and increases with conversion to vacuum.

---

Nichtlineare Schwingungen einer in einer viskosen Flüssigkeit rotierenden, elastischen Scheibe

Übersicht Die von Kármánschen Gleichungen werden auf den dynamischen Fall erweitert, und der Einfluß der Viskosität der Flüssigkeit, in der die Scheibe rotiert, wird in die Untersuchung einbezogen. Dabei werden sowohl der hydrodynamische als auch der elastodynamische Aspekt des Problems behandelt. Das System von zwei nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen wird mit Hilfe des Verfahrens von Galerkin für abgeschwächte Randbedingungen gelöst.Ein numerisches Beispiel für zwei Knotendurchmesser und keine Knotenkreise zeigt: a) die Schwingungsdauer T der linearen Schwingungen wird durch die viskose Flüssigkeit beträchtlich erhöht; b) das Verhältnis T ^*/T (T ^* = Periode der nichtlinearen Schwingungen) nimmt mit wachsender Amplitude ab, wächst mit steigender Drehzahl und wächst beim Übergang zu Vakuum.

---

---

This work was partially supported by the University of Delaware     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

---

Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

Vibration of stiffened annular sector plates using the spline element method

Summary Vibrations of a stiffened annular sector plate with arbitrary boundary conditions are analysed using the spline element method. The plate is idealized as a system of an annular sector plate and curved beams rigidly connected to each other. To demonstrate the accuracy of the present method several examples are solved, and the results are compared with those obtained analytically and by other numerical methods. Good accuracy is obtained. The effect of stiffening beams on the frequencies of stiffened annular sector plates is also investigated.

---

Bestimmung der Schwingungen versteifter Kreisringsegment-Platten mit Hilfe der Spline-Element-Methode

Übersicht Die Schwingungen versteifter Sektorplatten werden mittels der Spline-Element-Methode untersucht. Die Platte wird als ein System von Sektorplatte und gebogenen Trägern idealisiert. An Zahlenbeispielen wird gezeigt, daß bezüglich der üblichen analytischen Methode und numerischen Methoden die genaue Lösung erhalten wird. Der Effekt versteifender, gebogener Träger auf die Frequenzen wird untersucht.

     

Ein einfaches Rechenmodell zur Berechnung winderregter Schwingungen an Hochspannungsleitungen mit Dämpfern

Übersicht Bei der Berechnung winderregter Schwingungen von Leiterseilen wird häufig das Ritz-Verfahren angewendet oder auch mit finiten Elementen gerechnet, wobei wegen der hohen Frequenzen der beobachteten Schwingungen mehrere hundert oder tausend Terme zu berücksichtigen sind. Hier wird ein anderer Weg eingeschlagen: Dämpfungs- und Windleistung werden für das halbunendlich bzw. unendlich lange Seil berechnet, was infolge des sehr dichten Spektrums der Eigenfrequenzcn des endlichen Seiles zu guten Ergebnissen führt. Die Schwingungsamplituden folgen dann aus einer Energiebilanz. Mit Hilfe der Methode der singulären Störungen werden sehr einfache Formeln für die Biegewechseldehnungen im Seil angegeben.

---

Summary Wind-excited vibrations of overhead transmission lines are frequently computed with the aid of the Ritz-method or of finite elements. Several hundred or thousand terms have to be considered in this case, due to the high frequency of the vibrations. In this paper a different approach is used: damping and wind power are calculated for the semi-infinite and for the infinite cable respectively, which gives good results due to the dense spectrum of eigenfrequencies of the finite cable. The vibration amplitudes then follow from an energy ballance. Simple formulas for the bending strain in the cable are obtained by applying singular perturbations.

---

---

Herrn Professor Dr. E. Mettler gewidmet zum 70. Geburtstag

---

Der Verfasser dankt der Fa. R. Bergner, Elektroarmaturen, für die Unterstützung der Arbeit.     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

---

Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

---

---

Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

The application of green's multi-dimensional function to investigate the stochastic vibrations of dynamical systems

Summary In the paper is presented the application of Green's multi-dimensional function to determine the probabilistic characteristics of the solutions of stochastic linear equations with time-variable coefficients, with random initial conditions and random excitations.The method is applied to calculate the variances of solutions for the vibrations of a vehicle model (or suspension) accelerated over a random profile.

---

Anwendung der Greenschen Funktion zur Untersuchung von stochastischen Schwingungen dynamischer Systeme

Übersicht Die Greensche Funktion wird angewendet zur Ermittlung des Lösungsverhaltens stochastischer, linearer Differentialgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten, mit Zufalls-Anfangsbedingungen und mit Zufalls-Erregung. Die Methode wird in einem Anwendungsbeispiel (Schwingungen eines beschleunigten Fahrzeugmodells) demonstriert.

     

Freie Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern

Übersicht Bei den Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern treten Eigenformen auf, die mit den Formen dehnungsloser Schwingungen weitgehend übereinstimmen. Die Abweichungen der exakt berechneten Frequenzen verglichen mit denen, die aus der Theorie der dehnungslosen Schwingungen her folgen, sind teilweise beachtlich groß. Deshalb ist es nur für bestimmte Schalenparameter zulässig, das Problem der freien Schwingungen der Halbkugelschale mit freien Rändern auf die einfachen Beziehungen der dehnungslosen Schwingungen zurückzuführen.

---

Summary In the case of vibrations of a hemispherical shell with free boundaries eigen-modes are found, whose mode shapes are largely in accordance with those of inextensional vibrations. But comparing the frequencies of these modes with the frequencies of the inextensional vibrations large differences may occur. Therefore the problem of free vibrations of a hemispherical shell with free boundaries can not be sufficiently described for any given parameter by the solution of inextensional vibrations.

     

Kinetische Stabilitätstheorie elastischer Stäbe unter Beachtung nichtlinearer Krümmungen und Torsion

Übersicht Unter Berücksichtigung nichtlinearer Terme sowohl in den Krümmungen als auch in der Torsion wird mit Hilfe des Prinzips von Hamilton das beschreibende Randwertproblem für kinetisches Kippen elastischer, querbelasteter Stäbe formuliert. Mittels der Methode der kleinen Schwingungen werden die zugehörigen Stabilitätsgleichungen hergeleitet, die bisher bekannte Beziehungen ergänzen. Das Beispiel des einfachsten Biege-Kipp-Problems illustriert die verbesserte Wirkung der vorgeschlagenen Gleichungen.

---

Summary Considering non-linear terms in the curvatures as well as in the twist the governing boundary value problem for lateral bending of elastic, transverse loaded rods are formulated by means of Hamilton's principle. Using the method of small vibrations the associated linearized equations of stability are derived, which complete the currently accepted relations. The example of the simplest lateral bending problem illustrate the improved effect of the proposed equations.

     

Nonlinear vibration of generally laminated anisotropic thick plates

Summary Nonlinear equations of motion of generally laminated anisotropic plates are derived by use of Hamilton's principle. The effects of transverse shear and rotatory inertia are included in the analysis. The equations of motion so obtained readily reduce to those obtained in a recent nonlinear theory of anisotropic plates including transverse shear and rotatory inertia and to the dynamic von Kármán equations of plates. Based on the Galarkin procedure and principle of harmonic balance approximate solutions to the governing equations of generally laminated rectangular plates are formulated for various boundary conditions. Including the effects of transverse shear and rotatory inertia numerical results for the ratio of nonlinear frequency to linear frequency of symmetric angle-ply and cross-ply laminates, unsymmetric angle-ply and cross-ply laminates and an arbitrarily laminated plate are presented graphically for various values of elastic properties, fiber orientation angle, number of layers, thickness-to-span ratio and aspect ratio. Present results are also compared with the existing data.

---

Nichtlineare Schwingungen von anisotropen, dicken Verbundplatten

übersicht Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen anisotroper, dicker Verbundplatten werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Dabei werden die Einflüsse der Schubspannungen und der Drehträgheit berücksichtigt. Mit dem Verfahren von Galerkin und der Methode der harmonischen Balance werden Näherungslösungen für Rechteckplatten bei verschiedenen Randbedingungen gewonnen. Numerische Ergebnisse für verschiedene Materialparameter sind graphisch dargestellt und werden mit bereits bekannten Ergebnissen verglichen.

     

Constitutive relations of periodic laminated composites with anisotropic dissipation

Summary A laminated composite, made up of linearly elastic orthotropic laminae with a thermosetting matrix is considered. The laminae are arbitrarily oriented in a periodic manner. Between them, thermoplastic films are inserted producing a viscous coupling effect. The constitutive relations describing such a medium are determined in the form of three-dimensional stress-strain relations, by using homogenization techniques. The effective elastic coefficients of the resulting homogenized material are given. Useful special cases concerning the geometry and the properties of the constituent laminae are examined. The anisotropic dissipation of an elastic wave propagating in the homogenized material is in detail studied.

---

Konstitutive Gleichungen von periodisch beschichteten Verbundwerkstoffen mit anisotropem Dämpfungsverhalten

Übersicht Ein beschichteter Verbundwerkstoff, bestehend aus linear-elastischen, orthotropen Schichten mit duroplastischer Matrix, wird untersucht. Die Schichten sind beliebig periodisch orientiert. Zwischen den Schichten befinden sich thermoplastische Filme, die eine sich viskos verhaltende Haftung verursachen. Die konstitutiven Gleichungen, die einen derartigen Werkstoff beschreiben, werden mit Hilfe von Homogenisierungstechniken in Form von dreidimensionalen Spannungs-Dehnungs-Gleichungen ermittelt. Die effektiven elastischen Koeffizienten des resultierenden homogenisierten Werkstoffes werden dargestellt; charakteristische Geometrien und Eigenschaften der zusammengesetzten Schichten werden untersucht. Es erfolgt eine detaillierte Untersuchung der Dämpfung einer elastischen Welle, die in dem homogenisierten Werkstoff forschreitet.

     

Seltsame Attraktoren in Zahnradgetrieben

Übersicht Rassel- und Klapperschwingungen in Zahnradgetrieben lassen sich als Folgen von Stoßprozessen beschreiben [3, 5]. Dabei kann man die Bewegung von einem Stoß zum nächsten im allgemeinen analytisch darstellen. Dies ermöglicht die Herleitung diskreter und invertierbarer Abbildungsfunktionen und damit eine Darstellung der Bewegung im Phasenraum als eine Art Poincaré-Abbildung. Als Ergebnis erhält man je nach Parametersituation seltsame Attraktoren oder Fixpunkte, die sich verzweigen. Die Übergänge von periodischen zu chaotischen Zuständen und umgekehrt werden vom Verlauf der Ljapunov-Exponenten angezeigt, strukturelle Aussagen werden mit Hilfe von Abschätzungen der Phasenraumgrenzen möglich. Die Anwendungsbeispiele des einstufigen und zweistufigen Stirnradgetriebes zeigen die Vorteile des Verfahrens, insbesondere gegenüber gewöhnlichen numerischen Simulationen.

---

Attractors in gear-boxes

Summary Clattering vibrations in gear-boxes may be described as a sequence of impulsive processes [3, 5]. The motion between two impacts during teeth-meshing can be represented analytically. This leads to discrete and invertible mappings for the motion in phase-space. As a result one gets strange attractors or periodical behaviour according to the set of parameters under consideration. Transitions from periodic to chaotic states (and vice versa) are indicated by Ljapunov's exponents. Some parameter influences become visible by applying estimates of the phasespace boundaries. The examples of a one-stage and a two-stage gearing show advantages of the method as compared to usual numerical simulations.

     

Über die Stabilität der Biegeschwingungen von in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben

Übersicht Es werden die freien Biegeschwingungen von geführten und in Längsrichtung periodisch hin- und herbewegten Stäben untersucht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre wird die Bewegungsgleichung hergeleitet. Mit Hilfe der Methode von Kantorowitsch wird sie auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen Koeffizienten reduziert. Anhand dieses Systems werden Instabilitätsbereiche bestimmt.

---

Summary The free bending vibrations of elastic beams moving periodically in longitudinal direction through clampings are investigated. The differential equation for these vibrations is established by assumptions of the technical theory of bending. It is reduced to a system of ordinary differential equations of second order with periodic coefficients by means of Kantorowitsch's Method. The instability regions are determined.

---

---

Dank eines Stipendiums der Alexander-von-Humboldt-Stiftung ist diese Arbeit während meiner Tätigkeit am Institut für Getriebelehre und Maschinendynamik der Technischen Universität Braunschweig und am Institut für Technische Mechanik der Universität Karlsruhe entstanden.     

On the use of a rheogoniometer

Summary Further consideration is given to the usefulness of theWeissenberg Rheogoniometer in the characterization of elastico-viscous liquids. The theory for free and forced oscillation experiments in the parallel-plate system is developed. The advantages of the parallel-plate geometry in the case of forced oscillation experiments is stressed, and the limited value offree oscillation experiments is indicated.

---

Zusammenfassung Die Brauchbarkeit des Weissenberg'schen Rheogoniometers bei der Charakterisierung viskoelastischer Flüssigkeiten wird einer weiteren Erörterung unterzogen. Es wird die Theorie für Versuche mit freien und erzwungenen Schwingungen im Parallelplattensystem entwickelt. Die Vorteile der Parallelplattengeometrie im Falle von Versuchen mit erzwungenen Schwingungen werden betont, auf den beschränkten Wert von Versuchen mit freien Schwingungen wird hingewiesen.

---

---

Paper read at the Annual Meeting of the German Rheologists, Bad Ems, May 18–19, 1967.     

Coupling of bending and torsional vibration of a cracked Timoshenko shaft

Summary A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 × 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 × 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomachinery.

---

Kopplung zwischen Biege- und Torsionsschwingungen einer Welle Tom Timoshenko-Balkentyp mit Riß

Übersicht Bekanntlich verringert ein von der Oberfläche in den Querschnitt reichender Riß infolge der Spannungs- und Verzerrungssingularität an der Rißspitze örtlich die Steifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 × 6-Nachgiebigkeitsmatrix für ein kurzes Wellenstück, das den Riß enthält, beschrieben werden. Die Matrix enthält Elemente außerhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegungen in die Richtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen sind dabei verknüpft. Zur Untersuchung der Kopplung von Torsion und Querschub wird eine 3 × 3-Nachgiebigkeitsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enthält. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkengleichung werden letztendlich Biegef- und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effekt ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einfluß des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, Rißtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleitet. Darüber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersucht. Der deutliche Einfluß der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedeutsam, da er für die Identifizierung von Rotorrissen beim Betrieb nützlich sein müßte.

     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

---

Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

---

---

Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

Vibration damping characteristics of a thin cylindrical shell stiffened with viscoelastic rings

Summary The vibrations of a circular cylindrical shell reinforced with viscoelastic rings are theoretically treated. The frequency equation is derived using the transfer matrix together with the stiffness matrix. The numerical example surveys the damping effect of viscoelastic rings upon the dynamic behavior of the system.

---

Übersicht Die Schwingungen einer durch viskoelastische Kreisringe versteiften dünnwandigen Kreiszylinderschale werden theoretisch behandelt. Die Frequenzgleichung wird durch eine Kombination der Übertragungsmatrix mit der Steifigkeitsmatrix abgeleitet. An numerischen Beispielen wird ein Überblick über die dämpfende Wirkung der viskoelastischen Kreisringe auf das dynamische Verhalten des Systems gewonnen.

     

Hydroelastische Schwingungen eines schwimmenden Balkens unter einem gleichförmig bewegten Einachsfahrzeug als ebenes Problem

Übersicht Die hydroelastischen Schwingungen eines schwimmenden Rechteckbalkens unter einem gleichförmig bewegten Einachsfahrzeug werden mit Hilfe der Eigenformmethode berechnet für ebene Potentialströmung bei Ausschaltung seitlicher Wellenabstrahlung. Für den Fall des homogenen Balkens auf einem stehenden Gewässer mit rechteckigem Bett werden die Eigenformen bestimmt unter Berücksichtigung des Volumenausgleichs durch die Oberflächenwellen. Der Lösungsweg zur Berechnung der Bahnbeschleunigung des Einachsfahrzeugs wird aufgezeigt, die für die Systemantwort maßgebend ist. Am Beispiel einer kontinuierlichen Pontonbrücke unter einer rollenden Einzelmasse werden die Lastwegkurve, Oberflächenwellen und die Verteilung der Strömungsgeschwindigkeit vorgestellt.

---

Two-dimensional hydroelastic beam vibrations due to an uniformly moving one axle vehicle

The hydroelastic vibrations of a rectangular beam under the effect of an uniformly moving one axle vehicle will be investigated by normal mode method for the case of two-dimensional potential flow realized by artificial elimination of surface waves aside the beam. In the case of homogeneous beam spanning over a rectangular channel filled with calm water the normal modes are determined considering surface waves only that are able to compensate the volume of the enclosed fluid. An analytical method will be shown to find the vehicle's vertical acceleration governing the response of the system. The presented example of a continuous pontoonbridge crossed by a rolling mass demonstrates the load's way, surface waves and the velocity distribution of the flow.

---

---

Herrn Professor Dr.-Ing. Chr. Petersen zum 60. Geburtstag gewidmet     

Free vibrations of a gravity-loaded clamped-free beam

Summary For the free vibrations of a gravity-loaded clamped-free Euler-Bernoulli-beam (flexible pendulum) no exact analytical solutions are known in the literature. Approximate analytical closed-form solutions are determined by use of the Ritz-Galerkin method with gravity-free beam eigenfunctions in the series expansion. A comparison with experimentally obtained modal data on a heavy beam with strong gravity influence shows good agreement and justifies the necessity of modelling gravity effects. Since in many vibration problems of engineering one of both influences of gravity or flexural rigidity is dominating, further approximated solutions are determined by applying regular perturbation theory (influence of bending moment dominates) and singular perturbation theory by the method of the matched asymptotic expansions (influence of gravity dominates: heavy rope with small bending stiffness), which creates a boundary layer problem at the clamped end. Within a wide range of values of the perturbated parameters the lower eigenfrequencies agree well with the Ritz-Galerkin solutions.

---

Freie Schwingungen des eingespannt-freien Balkens unter Schwerkraft-Einflu\

übersicht Die freien Schwingungen des parallel zum Schwerefeld der Erde hÄngenden Balkens (flexibles Pendel) werden durch die Schwerkraft entscheidend beeinflu\t. Da für das entsprechende Eigenwertproblem des Euler-Bernoulli-Balkens keine Lösungen in geschlossener Form bekannt sind, werden NÄherungslösungen für die unteren Eigenfrequenzen und Eigenformen mit Hilfe des Ritz-Galerkin-Verfahrens gesucht. Ein Vergleich zwischen den theoretisch und experimentell bestimmten modalen Daten für einen schweren Balken ergibt eine sehr gute übereinstimmung, wodurch die Notwendigkeit der Schwerkraftmodellierung und die Güte des NÄherungsverfahrens unterstützt werden. Bei vielen technischen Schwingungsproblemen wird einer der beiden Einflüsse von Schwerkraft und Biegemoment überwiegen. Daher erschien es nützlich, für das Eigenwertproblem weitere NÄherungslösungen zu bestimmen mit Hilfe der Methode der singulÄren Störung (herabhÄngendes Seil mit kleiner Biegesteifigkeit) bzw. mit Hilfe der regulÄren Störungsrechnung (Biegemomenteinflu\ überwiegt). Innerhalb eines weiten Bereiches der Störparameter stimmen die unteren Eigenfrequenzen recht gut überein mit den entsprechenden Ritz-Galerkinschen Lösungen.

     

Instability of a rotating disk with a support under the action of a static in-plane load

Summary Vibrations of a rotating disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed under the action of a static in-plane load. A solution of the equation of motion is described in form of series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions. Relations between natural frequencies and angular velocity and then those between regions of instability of vibrations and the magnitude of static load are shown.

---

Instabilität einer drehenden Scheibe mit einer Stütze unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung

Übersicht Schwingungen einer drehenden Scheibe mit einem befestigten inneren Umfang, einem freien äußeren Umfang und einer elastischen Stütze in einem Punkt werden unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung analysiert. Eine Lösung der Bewegungsgleichung wird in der Form von Reihen mit orthogonalen Eigenfunktionen einer nicht drehenden Scheibe mit den gleichen Randbedingungen beschrieben. Beziehungen zwischen Eigenfrequenzen und der Drehgeschwindigkeit sowie zwischen instabilen Bereichen und der Größe der statischen Belastung werden gezeigt.