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早在公元前一世纪前,我国就有一部古书——《周髀算经》。书中说,西周初年商高讲过“勾三股四弦五”,这说明我国很早就知道了勾股定理。勾股定理用式子表示即a~2 b~2=c~2。通常把a、b、c叫做一组勾股数。古希腊数学家刁番都曾以m 2mn~(1/2)、n 2mn~(1/2)、m n 2mn~(1/2)来找勾股数(其中m、n为正整数,2mn是一个完全平方数)。我国清代数学家罗士琳也提出m~2-n~2、2mn、m~2 n~2是一组勾股数(m、n为正整数,且m>n)。我对一些勾股数组观察后,初步归纳出以正整数a(a≥3)来寻找b、c的方法: 相似文献
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初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考. 相似文献
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贵刊84年4期所刊《勾股数组的一个性质的证明。(以下简称《勾股证明》),双勾股数组的一个性质给出了几个初等证明。这个性质是: 任意一组勾股数,a=m~2+n~2,b=2mn,c=m~2-n~2(这里,m、n一奇一偶,m>n,m、n均为自然数)则60|abc, 在本文中,我们将给出一个更为简便的证明,为此,先证明 相似文献
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方程x~2+y~2=z~2 (1)的每一正整数解(a,b,c)(即x=a,y=6,z=c)称为勾股数 勾股数有无穷多组。不难证明,如果(a,b, 相似文献
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我们都知道,勾股数组{a,b,c}的双参数表示是本文给出勾股数组的单参数表示也是求勾股数的一个具体方法。定理设{a,b,c}是个勾股数组,即 相似文献
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定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2= 相似文献
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在《圆和二次方程》一书中,给出了任何一组勾股数组a、b、c都可由公式a=m~2-n~2,b=2m~n,c=m~2+n~2表示(这里m、n-奇-偶,m>n,m、n均为自然数),同时指出“abc一定能被60整除”,因为它的证明“已经超出你们的知识范围,这里就不谈了”。为此,笔者给出一种浅显的证明。下面先证两个引理。引理1。任何自然数p若不能被3整除,则p~2-1能被3整除。证明:因为任何不能被3整除的自然数p均可表示勾:p=3k±1(这里k为自然数)而p~2=(3k±1)~2=9k~2±6k+1=3(3k~2±2k)+1,所以p~2-1能被3整除。引理2.任何自然数q若不能被5整除,则q~4-1能被5整除。证明:因为任何不能被5整除的自然数q可表示为q=5l±1,或q=5l±2 (这里l为自然数) 而当q=5l±1时,q-1或q+1能被5整除;当q=5l±2时,q~2=(5l±2)~2 相似文献
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在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解. 相似文献
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在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互 相似文献
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若三个正整数x,y,z满足x2+y2=z2,,则称x,y,z为一组勾股数,关于勾股数的求法、历史及演变,刊物均有介绍,但对性质则似无系统归纳,本文将略作归纳. 相似文献
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法是I打两fI1已知的勾股数产生与复数尸胆i仑密切相关的. 一组新的勾股数的方例如,考虑勾股数护户 :了+42二矛和5十一l公二l汉另夕11独竹lKj手J股数即,盛丁11羚凌11卜: ({肠一4】少一十(3,l艺一卡!·几卜一5止十1才, 招十从矛二65 勾股数为:门3,56,65). 价末说、若口丰厂二‘和d“+尸’二fZ ,厂了、栩了均加‘件数)则 认牛/,、飞甲一十、)‘_厂 或‘,止了牛片,1十‘,‘,+l))沪二。丫、又‘了d之一几2“b法】十l.川十(“云十Zab价十扩d梦)=厂户,(“d一I,衬红+(。】十寿动’=叮才则组勾股数为(舀l)一加*一卜b‘.f). 麟芳7’琦,二一25和8,十… 相似文献
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“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2= 相似文献
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通过给定的等比数列,可以构造出一组勾股数. 性质 如果等比数列{an}满足:(1)an>0,(2)an单调递增,(3)an为奇数(或偶数),那么an+1-an-1/2,an,an+1+an-1/2(n≥2)是一组勾股数. 证明 ∵(1)an>0,(2)an单调递增,(3)an为奇数(或偶数), 相似文献
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丢番图方程|(εn-ε-n)/(ε-ε-)|=1的解数 总被引:2,自引:1,他引:1
设a、b、c、k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,c∈{1,2,4},k>1且k在c=1或2时为奇数的正整数;又设ε=(()a+()-b)/()c,ε=(()n-()-b)/()c.本文证明了当(a,b,c,k)≠(1,7,4,2)或(3,5,4,2)时,至多有1个大于1的正奇数n适合|(εn-εn)/(ε-ε)|=1,而且如此的n必为满足n<1+(2logn)/logk+2563.43(1+(21.96π)/logk)的奇素数. 相似文献