2012年高考主观题训练题

题目1已知向量a=(sin x,cos x+sin x),b=(2cos x,cos x-sin x),x∈R,设函数f(x)=a.b.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及相应的自变量x的取值集合;(Ⅱ)当x0∈(0,π8)且f(x0)=4槡25时,求f(x0+π3)的值.命题意图本题主要考查二倍角公式、两角     

2012年高考数学主观题强化训练题(2)

1.设a=(1,2cos x),b=(cos2xsin-sin2x,sin x),x∈R,f(x)=a.b+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,π/2],求f(x)的最大值与最小值及相应的x值.     

构造平面向量,解决三角问题

平面向量的引入 ,不仅给传统的中学数学增添了新的活力 ,也为一些三角问题的解决提供了新的思路 .下面就如何利用向量这一有力工具 ,简捷而巧妙地解决某些三角问题作一粗浅的探讨 .例 1　求sin2 2 0° +cos2 5 0° +sin2 0°cos5 0°之值 .解　构造向量a =(3sin2 0° ,sin2 0°) ,b =(3cos5 0° ,-cos5 0°) ,则a +b =(3(sin2 0° +cos5 0°) ,sin2 0° -cos5 0°)=(2 3sin30°cos10° ,2cos30°sin (- 10°) ) =(3cos10° ,- 3sin10°) .由 (a +b) 2 =a2 +2a·b +b2 ,有3=4sin2 2 0° +2 (3sin2 0°cos5 0° -sin2 0°cos5 0°) +4cos2 5 0…     

一道联考题的多角度思考

题目(2006年高三第6次全国大联考(湖北专用)第19题)设0<α<π,0<β<π,a=(cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),且a·b=32-cosβ.1)求向量a与b的夹角θ;2)求sin(α β)的值.分析该题融三角、向量、不等式于一体,符合高考“在知识点的交汇处设计试题”的命题思想与创新精神,下面给出     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

sin nx+cos mx周期的求法

1956年第12期《数学通报》上曾发表过阿意今斯他和別罗郭夫斯卡娅写的“求三角函数的周期”一文(由张鉴卿譯自苏联“中学数学”),該文提出了求f_1(x)=cos(3/2)x-sin(x/3),f_2(x)=cos 2x-tgx的周期的問題。本文打算就这些問題加以推广,进而求sin nx+cos mx的周期(其中m,n为实数)。分析:若該函数存在周期b(b>0),則根据周期函数的周期的定义,f(x+b)=sin n(x+b)+cos m(x+b) =sin(nx+nb)+cos(mx+mb) =sin nx+cos mx=f(x). 現在的任务是判断b是否存在;如果存在,如何把它求出来。根据三角函数的性貭知道,对sin nx来說,要使sin(nx+nb)=sin nx对一切x的值都成立,則     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

一道自招试题的三种解法

题目在△ABC中,tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,求AC/AB.解法1不妨设A、B、C所对应的三边分别为a、b、c,a则 tanA=sinA/cos A=a/2R/b2+c2-a2/2bc=abc/R(b2+c2-a2),