关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。     

y=±x在解题中的应用

ｙ＝±ｘ特别是ｙ＝ｘ由于其方程与图象简单且特殊，与许多重要知识结构相关联，因此有不少奇特的妙用．图１１．ｙ＝ｘ是幂函数ｙ＝ｘα，α＞０的图象的分界线，有助于这种幂函数性质的讨论．如图１，在第一象限内，首先，它们都交汇于点（０，０）、（１，１）．当α＞１时，ｘ∈（０，１），ｙ＝ｘα在ｙ＝ｘ的下方；ｘ∈（１，＋∞）则转为上方．当α＜１时，ｘ∈（０，１），ｙ＝ｘα在ｙ＝ｘ的上方；ｘ∈（１，＋∞）则转为下方．２．对于等轴双曲线的标准形式，ｙ＝±ｘ恰是渐近线；对于反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），即ｘｙ＝ｋ，…     

脉冲中立型时滞微分方程解的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型时滞微分方程［ｙ（ｔ）＋Ｐｙ（ｔ－σ）］′＋Ｑ（ｔ）ｙ（ｔ－σ）＝０，ｔ０，ｔ≠ｔｋ，ｋ＝１，２，…，ｙ（ｔ＋ｋ）－ｙ（ｔ－ｋ）＝ｂｋｙ（ｔｋ），ｋ＝１，２，…，｛（Ｅ）这里τ，σ，Ｐ均为常数，τ＞０，σ＞０，Ｑ（ｔ）∈Ｃ（［０，∞），Ｒ＋），ｂｋ＞－１，ｋ＝１，２，…．分三种情况，Ｐ－１；－１＜Ｐ＜０；Ｐ＞０给出了方程（Ｅ）所有解振动的充分条件．     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

非退化扩散过程的极性的必要性

设Ｘ（ｔ）是一Ｎ维非退化扩散过程．设 Ｅ（０，∞）和 Ｆ ＲＮ都为紧集．本文给出了：Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）∩Ｅ≠φ）＞０，Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）≠φ）＞０和Ｐ（Ｘ（Ｅ）≠φ）＞０的充分条件．证明了：ｉ）设 Ｎ≥ ３，ａ）若 ｄｉｍ（Ｆ）＜Ｎ－２，则 Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）＝φ）＝１； ｂ）若ｄｉｍ（Ｆ）＞Ｎ－２，则 Ｐ（Ｘ－１（Ｆ）≠φ）＞０； ｃ）存在 Ｆ１ ＲＮ，Ｆ２ ＲＮ，ｄｉｍ（Ｆ１）＝ｄｉｍ（Ｆ２）＝Ｎ－２，但有Ｐ（Ｘ－１（Ｆ１）＝φ）＝１，Ｐ（Ｘ－１（Ｆ２）≠φ）＞０．ｉｉ）设Ｎ＝１，ａ）若ｄｉｍ（Ｅ）＞１／２，则ｘ∈Ｒ１，Ｐ（Ｘ－１（ｘ）∩Ｅ≠φ）＞０；ｂ）存在Ｅ（０，∞），ｄｉｍ（Ｅ）＝１／２，使得ｘ∈Ｒ１，Ｐ（Ｘ－１（ｘ）∩Ｅ≠φ）＞０．以上这些结果，不仅仅是Ｂｒｏｗｎ运动的推广，即使就Ｂｒｏｗｎ运动的情形而言，其中有些结果也是新的．     

再谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边,其他两边叫做这三角形的腰,两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］,［２］给出了阿基米德三角形的三条性质,本文提供另外一些性质．引理［３］　自抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｔ（ｘ０,ｙ０）引两切线,切点弦所在直线的方程为ｙ０ｙ－ｐ（ｘ＋ｘ０）＝０．性质１　设抛物线ｆ（ｘ,ｙ）＝ｙ２－２ｐｘ＝０（ｐ＞０）的阿基米德三角形的顶点为Ｔ（ｘ０,ｙ０）（ｘ０≠０）,底边为Ｐ１Ｐ２,两腰为ＴＰ１,ＴＰ２,∠Ｐ１ＴＰ２＝α…     

一个变形的启发

在推导椭圆、双曲线的标准方程时,我们知道,当２ａ＞２ｃ时,（ｘ－ｃ）２＋ｙ２＋（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２２ａ等价于ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２１（其中ｂ２＝ａ２－ｃ２）;当２ａ＜２ｃ时,｜（ｘ－ｃ）２＋ｙ２－（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２｜２ａ等价于ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２１（其中ｂ２＝ｃ２－ａ２）．因而类似一些根式方程与不等式的求解问题就可以考虑用椭圆或双曲线的方程来处理．首先给出下列两个命题：命题１　对（ｘ－ｃ１）２＋ｎ２＋（ｘ－ｃ２）２＋ｎ２ｍ（ｃ１＜ｃ２,ｎ≠０）（１）当ｍ＞ｃ２－ｃ１时,①与（ｘ－ｃ）２ａ２＋ｎ…     

直线分线段所成比的应用

在中学数学教学过程中,经常见到如下的练习题：设过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）,Ｐ２（ｘ２,ｙ２）的直线与直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相交于点Ｐ（不同于点Ｐ２）,则点Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为λ＝－Ａｘ１＋Ｂｙ１＋ＣＡｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃ①（λ可称为直线ｌ分Ｐ１Ｐ２...     

动态系统中鞍点处的熵与分维

若ｆ（ｘ，ｙ）在不动点为鞍点的特征值满足λ１＞１＞｜λ２｜＞０，｜λ１·λ２｜＜１，则ｆ（ｘ，ｙ）限制在鞍点的局部有公式α＝１＋１ｎｒ是局部熵，α是局部分维数．把公式应用到Ｈｅｎｏｎ映射中，当α＝１．４，ｂ＝０．３时，得到１ｎｒ＝０．４５４，α＝１．２４４．     

区间上平顶单峰扩张自映射的周期轨道

设ｔ（０＜ｔ＜１）是一个常数，ｎ≥３是奇数，ｍ≥０及ｋ≥１是整数，Ｐ０（ｘ）＝ｘ－１，Ｐｉ（ｘ）＝（ｘ２ｉ－１－１）Ｐｉ－１（ｘ）（ｉ≥１），ｒｍｎ（ｔ）及ｒｋ（ｔ）分别是方程Ｐｍ（ｘ）（ｘ２ｍｎ－２ｘ２ｍ（ｎ－２）－１）－ｔ（ｘ２ｍｎ－１）（ｘ２ｍ＋１）＝０及Ｐｋ－１（ｘ）－ｔ（ｘ２ｋ－１＋１）＝０在（１，＋∞）上的唯一实根，ｆ是闭区间Ｉ＝［０，１］上的峰顶区间长度为ｔ的平顶单峰扩张自映射．本文证明了，若ｆ的扩张常数λ≥ｒｍｎ（ｔ）（或＞ｒｋ（ｔ）），，则ｆ有２ｍｎ（或２ｋ）周期点．此外，本文还指出，当１＜λ＜ｒｍｎ（ｔ）（或≤ｒｋ（ｔ）时，在Ｉ上存在着具有扩张常数λ及峰顶区间长度ｔ却无２ｍｎ（或２ｋ）周期点的平顶单峰扩张自映射     

圆锥曲线的两个性质

本文给出了圆锥曲线的两个共性，它使曾在许多书刊中出现的若干结论都为其特例．引理关于ｘ，ｙ的二元二次方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｐｘ＋ｐ２＝０（ｐ＞０，ｅ＞０）①当ｅ＝１时表示抛物线；当０＜ｅ＜１和ｅ＞１时分别表示以（ｐ１－ｅ２，０）为对称中心、以ｘ...     

STUDY ON THE UNIQUENESS OF LIMIT CYCLE OF THE QUADRATIC SYSTEM BY USING THE QUADRATIC CURVE WITHOUT CONTACT(CONTINUED 1)

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＲｅｓｕｌｔｓＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｑｕａｄｒａｔｉｃｓｙｓｔｅｍ［１］ｄｘｄｔ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｍｘｙ＋ｎｙ２＝Ｐ２（ｘ，ｙ），ｄｙｄｔ＝ｘ（１＋ａｘ＋ｂｙ）＝Ｑ２（ｘ，ｙ），（ｎ≥０，ａｂ≠０）Ｅ２ｗｉｔｈｏｕ...     

二次曲线的切线与三角形的角平分线

笔者在考察椭圆、双曲线、抛物线的图形时,得到以下结论：曲线上任一点与两焦点或与焦点及该点到准线的垂线段所构成的三角形的角平分线为曲线的过该点的切线．现分述如下,请同行指正．引理１　过椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．定理１　椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）与椭圆的两焦点Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）所构成的△ＰＦ１Ｆ２在顶点Ｐ的外角的平分线为过椭圆上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线．证明　根据椭圆的对称性…     

利用方程（x－a）~2＋λ（y—b）~2＝0（λ＞0）求圆锥曲线方程

利用方程（ｘ－ａ）~２＋λ（ｙ—ｂ）~２＝０（λ＞０）求圆锥曲线方程４３２７３１湖北广水四中黄立俊在直角坐标采中，对于启程（ｘ—ａ）２＋λ（ｙ—ｂ）２＝０①，λ＞０，ａ、ｂ为常数时，表示一个定点Ｍ（ａ，ｂ）．我们规定当λ＝１时，方程①表示的南Ｍ为点圆，...     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

二次函数图象及性质

一、启发提问１．形状如ｙ＝ａｘ２这样的函数叫什么函数,其中ａ的条件是什么？２．二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条以点为顶点,以为对称轴的一条．３．二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的开口方向由确定．当ａ＞０时,开口;当ａ＜０时,开口．二、读书指导１．对于形如ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）这样的函数,我们叫做二次函数,而ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）是二次函数中最简单的形式,我们称它为最简式．２．函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）．自变量ｘ的取值范围是全体实数,由ｘ２≥０可知当ａ＞０时,函数值ｙ≥０;当ａ＜０时,函数值ｙ≤０．…     

关于迭代函数方程f~2(x)=af(x) bx的通解

设λ的二次三项式λ２－ａλ－ｂ的两个零点为λ１＝ｒ，λ２＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与ＷｅｉｎｉａｎＺｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ２（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ０（Ｒ，Ｒ）（１）的通解，并证明了当ｒ及ｓ非实数时方程（１）无解．对ｒ＝－ｓ≠０的情形，Ｍ．Ｋｕｃｚｍａ已给出了方程（１）的通解．本文则对ｒ＜ｓ＜０及ｒｓ＝０这两种情形给出了方程（１）的通解．此外，本文还给出了ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ时关于方程（１）的通解的一个简洁的证明     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

Ⅲa＝0（－1＜n＜0，0＜l＜1）类二次系统存在极限环的充要条件

本文利用旋转向量场理论得到了系统ｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｍｘｙ＋ｎｙ２，ｙ＝ｘ（１＋ｙ），｛（－１＜ｎ＜０，０＜ｌ＜１）存在极限环的充要条件．     

一个代数不等式的推广

文［１］将Ｐｏｐｏｖｉｃｉｕ不等式修正为：“设ｘｉ,ｙｉ≥０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,且ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ＞０和ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ＞０,其中０＜ｐ≤２,则（ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ）（ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ）≤（ｘ１ｙ１－∑ｎｉ＝２ｘｉｙｉ）ｐ①当且仅当ｐ＝２且ｘ１ｙ１＝ｘ２ｙ２＝…＝ｘｎｙｎ时,①式取等号”．这里,应加上“当０＜ｐ≤２,ｘ２＝ｘ３＝…＝ｘｎ＝ｙ２＝ｙ３＝…＝ｙｎ＝０时,①也取等号”才完整．本文我们将不等式①进一步推广为：定理　设ｘｉｊ＞０（ｉ＝１,２,…,ｍ,ｊ＝１…