对《构造“代入式”巧解》一文中的补充

《中学生数学》2004年第三期中孙建斌老师的《构造“代入式”,巧解最值题》一文,给出了条件为x y=1(或x y z=1)的分式函数最值问题的普遍求法,很有意义.遗憾的是文中的解答过程过于繁锁,更重要的是文中没有给出“K”值的确定方法,按文中的解答方法求“K”值是较难的,本文将给出简单解法及“K”值的确定方法,使《构造》一文更趋于完美. 例1 原题:已知x,y∈R ,且x y=1,求1/x 4/y的最小值.     

构造“代入式” 巧解最值题

面对一类条件为x y=1(或x y z=1)的分式函数最值问题,怎样巧妙将条件x y=1(或x y z=1)代入呢?本文介绍一个新招:构造“代入式”。例1 已知x,y∈R且x y=1,求1/x 4/y的最小值。解构造代入式k(x y)-k 1/4 4/y。     

一类分式型最值问题的统一求法——代“1”法

均值不等式应用问题中有一类“条件为a1m a2m … anm=1的分式型”的最值问题,本文给出这类问题的统一解法———代“1”法.例1已知x,y>0,且x y=1,求1x 16y的最小值.解把x y=1代入所求分式的分子,有1x 16y=x yx 16(x y)y=17 (yx 16xy)≥17 2yx·16xy=17 8=25,当且仅当yx=16xy,即     

一类分式型最值的另一求法——加零法

文[1]给出了一类带条件的分式型最值问题的一种解法———代“1”法,本文给出这类问题的另一种解法———加零法.例1已知x,y>0且x y=1,求u=1x 16y的最小值.解u=1x 1y6 λ(x y-1),其中λ为待定的正常数.则u=(1x λx) (1y6 λy)-λ≥21x.λx 21y6.λy-λ=10λ-λ,等号成立的充要条件为1x=λx且1y6=λy x=1λ,y=4λ,代入x y=1易求得x=15,y=54,故当x=51,y=54时,u=1x 1y6取最小值25.注上述待定常数λ是用来调节不等式等号成立用的,可以求出,也可以不求出(通过消去λ求得使等号成立的x,y).例2设a,b,c,m,n均为正常数,ax by=c,求u=xm yn(x,y>0)的最…     

善于变换 妙于作答

<正>在数学解题中碰到困难时,若能改编策略,变换不同视角来进行解题处理,则可把"山穷水尽"问题变得"柳暗花明".现举例加以说明,供参考.1.变换位置例1(2012年课标全国卷12题改编)设点p在曲线y=1/2e^x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2e^x与曲     

"双勾"函数的性质及在高考题中的应用

1问题的提出已知x∈(0,π),求y=2sinx sinx2的最小值.错解:∵x∈(0,π),∴sinx>0,由均值不等式2sinx sinx2≥22sinx·sinx2=2·故ym in=2·显然这是个错误的结论.因为当且仅当2sinx=sinx2时才能取最小值.而此时sinx=2(矛盾)·那么如何解决这一问题呢?我们还是先回到基本函数的性质分析,利用单调性来求值域.2“双勾”函数的性质引题求作y=x 1x(x≠0)的函数图像并判断其单调区间.利用描点法(或作y=x与y=1x叠加)作图如下:①从图像可见y=x 1x的图像在y=x与y=1x之间.在(0,1)为减函数,在(1, ∞)为增函数.当x=1时,ym in=2·②f(x)为奇函数,图像关于…     

分式函数值域问题解法举例

函数值域的求法是函数重要内容之一,本文仅就分式函数值域的求法举例说明． 1.直接法例1 求函数y=2/x-1(x≠1)的值域. 解函数y=2/x-1的定义域为x∈R且x ≠1, 因此,函数y=2/x-1的值域为y∈R且y≠0. 2.用均值不等式例2 已知函数f(x)=kx b的图像与     

本期问题

<正> 1.设y=y(x)是定义在(O,∞)内的连续函数,且y+1/y=x+1/x,试求一切满足上条件述的函数。     

等号不成立时的若干处理途径

最值问题往往涉及的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强 ,它是高考考查的一项重要内容 .利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法 .学生在利用这种方法求最值时 ,常常会发现等号不能成立 ,得到的是错解 .但此时往往束手无策 ,一筹莫展 .那么 ,出现这种情况后 ,又该如何走出困境 ?本文介绍几种常见途径 ,供参考 .1　 利用函数单调性解题例 1　求 y =x2 + 5x2 + 4的最小值 .错解　∵　 y =x2 + 5x2 + 4=x2 + 4+ 1x2 + 4≥ 2 ,∴　 y的最小值为 2 .分析　因为 x2 + 4≠ 1 ,所以 y取不到最小值 2 .不等式问题可以看成函数的一个分支 ,…     

一个数学问题的简证及推广

文[1]提出了数学问题1863: 设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 文[2]给出了一个需要较高技巧的证明.笔者将利用平均值不等式,给出一种十分简洁的证法. 证明:猜想x=y=1时,1/x3+2/y3取最小值3.     

由y=引发的探究性学习

在一次习题课中,我选用了这样一道习题: 　　例1、求一次分式函数y=3x+4/2x-1的值域. 　　解答此题并不困难,学生利用反函数法和部分分式法很快得到结果.……     

函数的最大值与最小值

随着高中数学学习的深入 ,我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题 .解决函数的最值 (最大值与最小值 )问题涉及的知识面较广 ,解法也是多种多样的 .下面就是我对处理函数最值问题的几点心得体会 .1　配方法例 1　设x ,y是实数 ,求u =x2 +xy +y2 -x- 2 y +3的最小值 .解 :u =x2 +xy +y2 -x - 2 y +3=[x2 +(y - 1)x +(y - 1) 24 ]+y2 - 2 y +3- (y - 1) 24=(x +y - 12 ) 2 +34(y2 - 2y +1) +2=(x +y - 12 ) 2 +34(y - 1) 2 +2≥ 2 .当且仅当x =0 ,y =1时取等号 ,所以u的最小值为 2 .(同样 ,也可以 y为主元进行配方 ,读者不妨一试 )…     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

智慧窗

一、巧证不等式若a>b>c>d,则二、巧求最小值设x,y,z∈R+,且x+2y+3x=6, 求f(x,y,z)=1/x+2/y+3/z的最小值．     

简单线性规划问题的向量解法

在高中数学新教材中 ,增选简单线性规划为必修内容 .在用图解法求简单线性规划问题的最优解时 ,教师教学用书中 ,通过比较平行线在 x轴或 y轴上的截距大小寻求目标函数的最优解 .本文提出用目标函数法向量的方法寻求目标函数的最优解 ,供同行参考 .先看例题 .例 1　设 z =2 x y,式中变量 x,y满足下列条件x - 4y≤ - 3,3x 5y≤ 2 5,x≥ 1 .求 z的最大值和最小值 .解　画出可行域如图 1中的阴影部分 .过原点 O( 0 ,0 )作直线 l0 :2 x y =0 ,正法向量为 n =( 2 ,1 ) .当直线 2 x y =t沿着正法向量平行移动时 ,t的值就逐渐增大 ,当直线…     

对条件最值问题的思考

本文通过对一道最值问题的多角度思考 ,来说明求最值时的一些常用思想方法 .题目　已知x >0 ,y >0 ,xy -(x +y) =1,求x +y的最小值 .思路 1　由于已知条件中x、y的地位均等 ,x、y实际上是对称的两个量 ,因此 ,从对称的角度我们可以猜想当且仅当x =y时 ,x +y取得最小值 (波利亚的解题思想 ) .解法一　 (猜想 )　若x =y ,则　x2 -2x -1=0 ,∴　x =1± 2 .∵　x >0 ,　∴　x =y =1+2 .故猜想x +y的最小值为 2 +2 2 ,以下工作只是“补行手续”(波利亚语 ) .思路 2　若将x +y看作为一个整体变元 ,问题则变更为设法消去xy项 ,寻求关于x+y的等式或…     

用基本不等式法求y=x+(a2/x)(x>0)的最小值

题设x∈(0,π/2)],求函数y=sinx (4/sinx)的最小值. 文[1]例6认为,求此类函数的最小值不能用基本不等式法.考虑到持此类错误观点者不在少数,笔者认为有必要予以纠正.     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

巧求一类分式函数的最小值

文[1]给出了条件为x+y=1(或x+y+z=1)的分式函数最值问题的“代入法”,文[2]对此进行补充,给出简单解法及最值k的确定方法,但他们的思路与解法依然曲折繁琐,文[2]刻意追求最值k更无必要,其实,只要把1=x+y(或1=x+y+z)直接代入分式函数的分子,然后对分式函数适当分拆,利用算术平均值不等式构造出“积为定值”,最值k就自然迅速直接地浮出水面了.更重要的是,此方法