“恒成立”问题的一种错解分析

本刊2002年22期《再解“恒成立”问题》一文介绍了以下一种求解“恒成立问题”的方法,笔者认为存在逻辑推理方面的错误。为了便于说明,将原文中的解法摘录如下。     

含参不等式恒成立问题的解法

在解含参数的不等式恒成立问题时，需要理清思路，分清层次，找准方法，如果直接求解较繁，可以转变角度，变换思维，就会有“柳暗花明又一村”的感觉，下面通过几个实例来说明含参不等式恒成立问题的解法．     

含参数不等式四类问题的辨析与求解

含参数的不等式历来是高考和竞赛命题的热点,也是中学数学的一个难点．大家都喜欢用分离参数法来解决这类问题,但如果不注意“有解”、“无解”、“恒成立”和“已知解集”这些条件的区别,是很容易犯错误的．下面给出三组命题,说明这四者之间的关系．用数形结合的思想,不难得出这些命题．     

一道竞赛题的多种解法

原题来自第二届"南方杯"数学邀请赛最后一道压轴题:原题设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax~2-bxy+ay~2=1,试求f=x~2+y~2的取值范围(值域).解法一:巧妙变换、数形结合令x=m+n,y=m-n.代入已知条件ax~2-bxy+ay~2=1得(2a-b)m~2+(2a+b)n~2=1(※)这表示的是什么曲线?椭圆、圆、双曲线?     

存在与恒成立问题

在考试时,我们会经常遇到一些关于“存在”、“恒成立”的题目,它们似是而非,很让人头疼,下面通过具体实例加以区别,以供参考．     

导数恒成立问题中“端点效应”解法的辨析及思考

本文对导数恒成立问题中“端点效应”与“假性端点效应”问题进行辨析,对例题解题的细节过程进行还原,对思维盲点进行探讨,对此类问题的两种解法进行探究,将数学思想方法贯穿于教学过程之中,对数学核心素养进行培养,同时根据不同学生思维情况提出了不同的解题建议,希望能促使学生学有所得、得有所想、反思内化,帮助学生提升数学学科素养,也可以在考试中获得更好的表现.     

例谈高考中“参数范围”问题的求解策略

在近几年的高考中,求参数的取值范围问题成了高考的热点,对于学生来说也是难点,求参变量的取值范围是高中数学中的一个重要内容,其中不少问题靠传统方法不容易求解,下面笔者结合一些教学实践谈谈其应用.一、利用函数最值求参数的取值范围解题中遇到形如"要使f(x)>a成立"或"要使f(x)a恒成立或f(x)_max0,b∈R,函数f(x)=4ax~3-2bx-a+b.     

不等式恒成立问题的分离参数解法

参数讨论是中学数学教学中的一个重点和难点问题，同时也是高考和数学竞赛试题中的热点问题．参数讨论的方法和题型多种多样，其中不等式恒成立问题中求参数范围的题目更是屡见不鲜．笔者在文[1]中介绍了几种最基本的求解途径，但题目稍复杂一点用文[1]中的方法就无能为力了．为此本文试图通过分离参数的办法，使有一定难度的不等式恒成立问题能够转化为我们较为熟悉的内容来求解．     

一类不等式恒成立问题的错误解法

不等式恒成立问题是中学数学问题中的难点，原因之一就是在解决这类问题时往往容易对恒成立的理解发生偏差，从而引发错误，有时的错误比较隐蔽而不容易被觉察，甚至在一些正规考试题中也出现．下面将2007年某地区的模拟试题及解答摘抄如下：     

从解题“误区”谈含参数不等式的恒成立

1．学生解题的误区案例1 在一次高中数学教师优质课评比中,有位选手在讲授“分类讨论思想在最值问题中的应用”课题时,先从实际问题引出分类在解决数学问题的必要性,并辩明什么是分类思想,分类思想的核心意义,分类的标准以及分类思想应用的几种数学类型．最后,为了说明可以简化分类或者是避免分类时应尽量简化或避免,选用了如下的例子．     

求恒成立不等式中参数范围的解题策略

求恒成立不等式中参数范围的解题策略熊光汉（湖北恩施市教研室４４５０００）求参数不等式的参数的取值范围，是一类综合性较强、灵活性较高、难度较大的热门题型．虽然解答此类题需要较强的技巧，但也并非完全无章可循，本文拟从几个方面入手，归纳总结参数不等式的参数...     

似是而非的“恒成立”问题

《中学生数学》杂志2008年5月（上）P7《“双元不等式恒成立”解法举列》一文的开头提出了这样的结论：f（x）≤g（x）对A↓x∈A恒成立→←f（x）max≤g（x）min;     

集合与简易逻辑

1　本单元重、难点分析本章是高中数学的起始单元 ,也是整个高中数学的基础 .它的基础性体现在两个方面 :首先 ,集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节 ,如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用 ;其次 ,数学离不开变换 (等价或不等价的 )和推理 ,而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念 ,因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表达判断的重要工具 .本章的重点是集合的概念及其运算、条件的充要性的判断、命题真假的判定 .难点是集合语言和集合思想的灵活运…     

高考中的有限、无穷与所有型问题解析

众所周知,恒成立问题在函数与不等式中一直备受高考的青睐,它很好地考查了分类与分步、数形结合、化归与转化、函数与方程等数学思想.而近年来,此类问题又延伸到了其它领域并作了进一步的拓展升华,出现了与有限、无穷和所有（恒成立）有关的考题.     

解析几何中“存在”问题的解决策略

高考解析几何中“是否存在…”问题,是指没有给出明确的结论,要我们去探索、研究的问题．由于方向不定,自由度大,有利于考查数学思维能力,成为近几年高考的热点．解决的主要策略是从“假设存在”入手,数形结合地探究．     

不等式的三类“成立”问题

在数学领域中,一个问题的成立有三种类型,即能成立、恒成立、恰成立．这三类问题,非常相似,极易混淆,最易解错．对此,为能分清是非,明确异同,准确解答,本文对其进行论述研究．先看下面的例题：     

一道解析几何题的多种解法

解析几何是用代数方法研究几何问题的数学分支，其中的题目可涉及到函数，三角，不等式等各种数学知识，这就决定了一个解析几何问题可能有多种不同的解法。解析几何的一题多解可以提高思维的灵活性，拓展人的思路，进而可以提高解决数学综合问题的能力。下面就以一道解析几何题给出几种不同的解法。     

剖析“任意、存在”型问题

自从高中数学新课改教材引入了"任意"和"存在"量词以后,与之相关的题目层出不穷,从起初的求含有一个量词命题的否定形式,到含有一个量词的方程或者不等式恒成立、有解问题,演变到今天的在同一题目中"任意"和"存在"相遇时各种方程或者不等式问题,让很多学生感到不适应,既读不懂题意,也不知道如何下手,更不清楚怎么转化.笔者就最近几年各省市对此类问题的改革创新探讨一下,以便让学生能够掌握好这类问题的解题策略.一、以方程形式出现1.两个不同函数的相等且没有附属条件,可     

分析解法 突破难点 提炼方法——解析2014年高考含有绝对值不等式问题引发的启示

近年来,含有绝对值不等式问题的高考题频频出现,这些试题源于课本选修教材含有绝对值的不等式及其解法,但出现在高考卷中却新颖别致,看似难度不大实际却得分很低.笔者选取2014年高考题分析为例,与大家交流.一、试题解析