Uniquencess for the penny-shaped crack equilibrium problem in linear elasticity

Two uniqueness theorems for the equilibrium problem of an elastic body containing a circular crack (penny-shaped crack) are proved.

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Sommario Si dimostrano due teoremi di unicità per il problema al contorno associato all'equilibrio di un corpo elastico tridimensionale contenente una fessura circolare.

     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

Some examples of nonuniqueness of solutions to the equation of linear elastodynamics

Sunto Si mostra, tramite esempi, come l'equazione che governa il moto di un corpo linearmente elastico unidimensionale possa ammettere, nell'ipotesi che il rapporto tra i campi di elasticità e densità diverga in un punto del corpo, infinite soluzioni corrispondenti ad una stessa assegnazione dei dati iniziali ed al contorno e delle forze.     

On the local analysis of continuum deformation

Summary The role of the cartesian representation of the deformation gradient in the non-linear theory of continuum deformation is studied. Indeed, explicit formulae for the local analysis of deformation are obtained in terms of such a representation. Further, some connections with the multiplicative strain and rotation measures are examined.

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Sommario Si studia il ruolo della rappresentazione cartesiana del gradiente di deformazione nella teoria non-lineare della deformazione di un corpo continua tridimensionale. In termini di tale rappresentazione, si ottengono formule esplicite per le variazioni locali di lunghezza, angolo, area e volume. Si esaminano inoltre alcune connessioni con le misure multiplicative di deformazione pura e di rotazione.

     

A research on the problem of the motion of a rigid body with quasi gyroscopic structure and variable mass,free in space

Summary The problem of the motion of a rigid body, with variable mass, free in space is considered. The problem is studied starting from the Eulerian differential equations, which are modified in relation to the variability of the mass and of the principal moments of inertia.The case of the quasi-gyroscopic structure of the vehicle is considered and the problem of motion using Poincarè's variational equations of the Eulerian dynamical equations is studied. The external moments depend on time only. The variational equations are solved and the stability of the movements considered is demonstrated.

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Sommario Si prende in considerazione il problema del moto di un corpo rigido di massa variabile libero nello spazio. Ciò partendo dalle equazioni differenziali euleriane corrette per effetto della variazione della massa e dei momenti principali d'inerzia. Nella aprossimazione in cui è valida una tale impostazione, si suppone esista una piccola differenza fra i due primi momenti principali d'inerzia del corpo, cioè che il corpo stesso sia a struttura quasi giroscopica. I momenti sollecitanti vengono supposti dipendenti dal solo tempo. Si risolvono le equazioni alle variazioni e si fa vedere che le variazioni si mantengono sempre piccole nel tempo, consentendo così di concludere per una affermazione di stabilità dei moti nel caso a struttura giroscopica.

     

A fractional derivative model for single-link mechanism vibration

A model for a flexible pinned-free link is defined, which is based on a set of linear uncoupled equations and which is even valid for large rotations. A stress-strain relationship based on fractional derivatives is used to define the material properties. Experimental findings and numerical results are compared.

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Sommario Viene definito un modello matematico lineare per lo studio della dinamica di un meccanismo a membro unico deformabile. Tale modello é costituito da equazioni disaccoppiate che rappresentano sia il moto del corpo rigido di riferimento sia i contributi modali alla vibrazione. La relazione tensione deformazione del materiale considerato é definita a mezzo di derivoidi. I risultati ottenuti numericamente sono confrontati con registrazioni sperimentali.

     

Strains by shearing stresses in continuum media

Summary On the basis of the slip theory of the plasticity of metals a general formulation of strain of continuum bodies subjected to shearing stresses is given in incremental form. The isotropic and incompressible elastic body and the strain-hardening plastic body are then studied as particular cases.

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Sommario Sui fondamenti della teoria degli slip della plasticità dei metalli viene formulata in forma incrementale una teoria generale della deformazione dei mezzi continui soggetti all'azione di tensioni tangenziali. Vengono poi trattati, come casi particolari, il corpo elastico isotropo e incompressibile e il corpo plastico incrudente.

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This work has been sponsored by C.N.R. (the Italian Council of Research).     

Some remarks on continuous dependence and uniqueness in finite elastostatics for unbounded domains

Summary In connection with a foregoing paper, in the present note we establish some continuous dependence and uniqueness theorems for classical solutions to the equilibrium problem of finite elasticity. The elastic body is supposed to fill an unbounded domain of the physical space. We employ the weight function method and a suitable extension to the non-linear case of a method previously introduced by other authors for the linear case.

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Sommario In connessione con un precedente lavoro, si dimostrano nella presente nota alcuni teoremi di dipendenza continua ed unicità per soluzioni classiche del problema statico non lineare relativo ad un corpo elastico occupante un dominio illimitato dello spazio fisico. Vengono adoperati il metodo della funzione peso e l'estensione al caso non lineare di un metodo precedentemente introdotto da altri autori per il caso lineare.

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Work performed under the auspices of G.N.F.M. of the Italian Research Council (C.N.R.).     

On the motion of conductive,homogeneous and isotropic elastic bodies in the presence of a magnetic field

Summary This paper deals first with the equations of motion of a conductive, homogeneous and isotropic elastic body subjected not only to externally applied mass forces and surface forces, but also to a uniform magnetic field, in which an induced magnetic field is generated.On the assumption that the electrical conductivity is infinite, the problem of motion is reduced to the consideration of a single differential vector equation in which the displacement of a point in the elastic body is the only unknown. The conditions that must be satisfied at the surface are then considered.Using the generalised formula of Kirchhoff, formulas expressing the Cartesian components of the displacement, the cubic dilatation and the rotation components are established by means of the so-called fundamental elements.

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Sommario In questo lavoro si considerano innanzitutto le equazioni del moto di un corpo elastico omogeneo isotropo, elettricamente conduttore, soggetto, oltre che a forze di massa e superficiali generiche, anche a un campo magnetico uniforme, e nel quale si genera un campo magnetico indotto.Nell'ipotesi di conducibilità elettrica infinita il problema di moto si riduce alla considerazione di una sola equazione differenziale vettoriale indefinita in cui è incognito il solo spostamento di un punto del corpo elastico. Vengono stabilite successivamente le condizioni che devono essere verificate in superficie.Utilizzando poi la formula generalizzata di Kirchhoff, si stabiliscono delle formule di rappresentazione delle componenti cartesiane dello spostamento, della dilatazione cubica e delle componenti della rotazione, per mezzo dei cosidetti elementi fondamentali.

     

The membranal and flexural equations of thin elastic plates deduced exactly from the three-dimensional theory

Summary The classical field and boundary equations governing the in-plane stretching and the transversal bending of a thin plate are obtained by means of an exact mathematical procedure consisting in integrating over the thickness the equilibrium equations for a three-dimensional cylindrical body, made of a homogeneous, linearly elastic, transversely isotropic material, and subject to suitable internal constraints.

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Sommario Le classiche equazioni che descrivono il comportamento flessionale e membranale di una piastra, con le relative condizioni ai limiti, sono ottenute mediante un procedimento matematico esatto, consistente nell'integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio per un corpo tridimensionale cilindrico, costituito da materiale linearmente elastico, omogeneo, trasversalmente isotropo e soggetto ad opportuni vincoli interni.

     

Constraint manifolds with constant reaction spaces

Summary Constitutive equations for materials with internal constraints prescribe the stress tensor only to within a reaction which must belong to an appropriate space. We prove how the assumption that this reaction space be independent from the local configuration of the body restricts the class of possible constraints.

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Sommario Le equazioni costitutive per i materiali con vincoli interni forniscono il tensore degli sforzi solo a meno di una reazione che deve appartenere ad un appropriato spazio. Si dimostra come l'ipotesi che questo spazio sia indipendente dalla configurazione locale del corpo restringa la classe dei vincoli possibili.

     

On the extremal properties of the solution in dynamics of rigid-viscoplastic bodies allowing for large displacement effects

Summary This paper discusses the dynamics of rigid-viscoplastic bodies, bearing in mind large displacement effects. The extremal properties of the incremental solution of the dynamic problem are demonstrated. It is shown that the true instantaneous acceleration field minimizes some quadratic functionals in a class of functions constrained by linear equations and inequalities.It is also shown that, by idealizing the body as an assemblage of finite elements, the above principles reduce the problem to the solution of a classical quadratic programming problem that can be solved by several well-known efficient algorithms. Thus a general purpose finite element program for the dynamic analysis of rigid-viscoplastic structures can be derived by using the concepts shown in this paper.

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Sommario Viene discusso il problema della dinamica delle strutture rigido plastiche nel campo dei grandi spostamenti. Vengono dimostrate le proprietà estremali della soluzione incrementale dimostrando che il campo di accelerazioni minimizza alcuni funzionali quadratici in una classe di funzioni vincolata dal rispetto di opportune condizioni di eguaglianza e disegnaglianza lineare. Discretizzando il corpo col metodo degli elementi finiti, i suddetti principi riportano il problema nel campo della programmazione quadratica e consentono quindi di utilizzare i ben noti ed efficienti algoritmi numerici di soluzione dei detti problemi. Si sottolinea quindi come, avvalendosi dei concetti esposti in questo lavoro, si possa pervenire a programmi di calcolo numerico del tutto generali per la soluzione del problema in questione.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

A numerical method for studying the interaction between a partially submerged body and the surrounding fluid

Summary A numerical method has been developed to compute the solution of a mathematical model of the problem known in Naval Hydrodynamics as seakeeping. The solution is written as a potential of a single layer. Unsteady boundary conditions are used both on the free boundary and on the body. The latter take into account the reciprocal interaction between the body and the fluid.The numerical solution of the fluid flow has been obtained by means of the boundary element method, and a suitable difference method has been used to compute the time evolution. A few relevant prototype problems have been solved and compared with experimental data. The method can be directly extended to the nonlinear case, and can be effectively implemented on a parallel computer.

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Sommario Viene presentato un metodo numerico per la soluzione di un modello matematico del problema noto in Idrodinamica Navale con il nome di seakeeping. Si cerca la soluzione sotto forma di potenziale di strato semplice utilizzando condizioni al contorno non stazionarie sia sulla superficie libera che sul corpo; quest'ultima condizione tiene conto dell'interazione reciproca tra il corpo ed il fluido.Il metodo é basato su un'opportuna formulazione integrale delle equazioni nel campo fluidodinamico e su una discretizzazione alle differenze finite per quanto riguarda l'evoluzione temporale. Sono stati risolti alcuni problemi significativi ed i risultati ottenuti sono confrontati con i dati sperimentali disponibili in letteratura. Il metodo proposto é direttamente estendibile al caso non lineare e puó essere efficientemente implementato su un calcolatore parallelo.

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Presented at the II Convegno Italiano di Meccanica Computazionale, Roma, June 2–5, 1987.     

The equations of Reissner-Mindlin plates obtained by the method of internal constraints

The aim of this paper is to give the title theory of shearable plates a precise and exact position with respect to three-dimensional linear elasticity. We assume that the Reissner-Mindlin representation of the displacement field hold in a 3-D body in the shape of a plate, and discuss how a constitutive response consistent with such a representation should be chosen. We find that the Reissner-Mindlin plate theory results from mere integration over the thickness of the equilibrium equations of a cylindrical body made of a linearly elastic material which is both transversely inextensible and transversely isotropic.

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Sommario Scopo di questo articolo è fornire una deduzione esatta, nell'ambito dell'elasticità lineare tridimensionale, della teoria delle piastre deformabili a taglio menzionata nel titolo. Ammesso che la rappresentazione di Reissner-Mindlin per il campo di spostamento valga in una regione tridimensionale a forma di piastra, si discute come scegliere la risposta costitutiva in maniera coerente con quella rappresentazione. Si trova che la teoria delle piastre di Reissner-Mindlin si ottiene per semplice integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio di un corpo cilindrico che sia costituito di un materiale linearmente elastico tanto trasversalmente inestensibile che trasversalmente isotropo.

     

On smoothly growing bodies and the eshelby tensor

A continuum mechanical theory of growing bodies is presented. It is assumed that the various parts of the body are identifiable. The growth of a body is manifested by mapping the identifiable elements of the growing body into a material manifold. Kinematics and stress theory are formulated on the basis of an infinite dimensional differentiable bundle structure for the configuration space. Stresses representing the forces associated with the growth of the body are analogous to the Eshelby tensor.

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Sommario Si propone una teoria meccanica dei corpi di massa crescente. Si postula che le varie parti del corpo siano identificabili. La crescita del corpo si manifesta mediante l'applicazione degli elementi identificabili del corpo in una varietà materiale. La cinematica e la teoria degli sforzi vengono formulati sulla base di un fibrato differenziabile a infinite dimensioni per lo spazio delle configurazioni. Gli sforzi associati alla crescita del corpo sono analoghi al tensore di Eshelby.

     

Relationships of the limit loads of a perfectly plastic body to those of its parts,variously constrained

Summary Some simple relationships, of general validity, between the limit loads of a perfectly plastic body and those of its parts, variously constrained, are proven. The results are immediately applicable to problems of unlimited continua, for instance soil, solved by usual approximate methods (Finite Element Method, FEM, or Boundary Element Method, BEM, for example).

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Sommario In questo articolo si dimostrano alcune semplici relazioni, di validità generale, fra i carichi di collasso di un corpo perfettamente plastico e quelli di corpi ricavati come parti del primo e variamente vincolati. I risultati trovano immediata applicazione in problemi coinvolgenti continui di estensione praticamente illimitata — ad esempio il terreno — affrontati con gli usuali metodi di discretizzazione (Elementi Finiti, Elementi di Contorno, ecc.).

     

Uniqueness theorems for the entropy in any differential body of complexity one

By using in an essential way a certain condition of mutual physical equivalence between admissible response functions for the heat flux, in a previous paper uniqueness theorems were proved for the response functions of the internal energy and of the equilibrium stress, in connection with differential bodies of complexity 1. It was then pointed out that the equality expressing the vanishing of the static internal dissipation uniquely determines the rate of entropy variation in terms of the rate of the internal energy variation and of the equilibrium stress. This paper shows, in a threefold manner, that the last result also holds if one does not impose the condition of physical equivalence. The first proof uses the assumption that the response functions are Euclidean invariant. The second proof uses (i) the weaker assumption of Galilean invariance and (ii) a greater degree of smoothness of the response function for the internal energy. Both of these proofs use an axiom postulating the possibility of putting the body in contact with a vacuum. The third proof of the uniqueness property for the entropy is independent of the isolation axiom and uses the assumptions of the second proof. Whereas any of the first two proofs is a consequence of the uniqueness theorem for the internal energy-proved here by using the afore-mentioned axiom-the third proof does not depend on this theorem. Rather, disregarding the above isolation axiom, it implies that uniqueness of the entropy is compatible with non-uniqueness of both the stress and internal energy.

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Sommario In un precedente articolo, utilizzando in maniera essenziale una certa condizione di mutua equivalenza fisica tra ammissibili funzioni costitutive per il flusso di calore, si dimostrano teoremi di unicità per le funzioni costitutive di energia interna e di stress statico in corpi di tipo differenziale e complessità 1. Inoltre si osserva che, di conseguenza, la uguaglianza esprimente l'annullarsi della dissipazione interna statica permette di determinare univocamente la velocità di variazione dell'entropia in termini della velocità di variazione dell'energia interna e dello stress statico. Nel presente lavoro si dimostra, in triplice maniera, che l'ultimo risultato vale anche se non si impone la accennata condizione di equivalenza fisica. Nella prima dimostrazione si usa l'ipotesi di invarianza Euclidea per le funzioni costitutive. Nella seconda si usa (i) la più debole ipotesi di invarianza Galileiana e (ii) un maggiore grado di regolarità per la funzione costitutiva dell'energia interna. In entrambe le dimostrazioni si usa un assioma che postula la possibilità di porre in contatto il corpo con il vuoto. La terza dimostrazione della proprietà di unicità per l'entropia, che usa le medesime ipotesi della seconda, è indipendente da tale assioma. Mentre nelle prime due dimostrazioni si richiama il teorema il teorema di unicità per l'energia interna-qui dimostrato con l'assioma di isolamento-la terza dimostrazione non dipende da tale teorema. Invece, se non si assume l'assioma di isolamento con il vuoto, l'unicità dell'entropia risulta compatibile con certe non-unicità per stress ed energia interna.

     

Hemivariational inequalities for linear and non linear elastic materials

Summary In the present paper we study hemivariational inequalities arising in linear and nonlinear elastic bodies which are subjected to boundary conditions of nonmonotone multivalued type. After the formulation of the boundary conditions and the derivation of the variational principles we study a hemivariational inequality for a plane elastic body concerning the approximation of its solution. The proposed method is illustrated by an example dealing with the adhesive contact problem of two cylinders and another one concerning an adhesively supported beam.

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Sommario Nel presente lavoro si studiano diseguaglianze semivariazionali che nascono in relazione a corpi elastici lineari e non lineari, sottoposti a condizioni al contorno di tipo a più valori non monotono. Dopo la formulazione delle condizioni al contorno e la derivazione dei principi variazionali si studia una diseguaglianza semivariazionale per un corpo elastico piano, con particolare riguardo per l'approssimazione della sua soluzione. Il metodo proposto viene illustrato con un esempio che tratta il problema del contatto con adesione di due cilindri.

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On leave from School of Technology. Aristotle University Thessaloniki, Greece. Fulbright Visiting Scholar.     

Stability,buckling, and postbuckling of elastic structures

Summary This paper is the continuation of a research on the stability and postbuckling behaviour of elastic structures; in the first Part [n. 4, Vol. X, 1975 of this Journal], the potential energy of elastic tridimensional bodies has been defined in a suitable configuration space, and its properties of regularity have been studied. According to the program given in the previous Paper, we examine now the potential energy functional for some monodimensional and bidimensional structural models. Then the Part II of this research is developed so that the Liapunov stability of the equilibrium configuration of continuous elastic structures is analyzed by means of suitable energy criteria.

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Sommario Questo lavoro costituisce il proseguimento di uno studio sulle stabilità e comportamento postcritico delle strutture elastiche; nel precedente lavoro, pubblicato sul n. 4, vol. X, 1975 di questa rivista, è stato esaminato il problema della definizione dell'energia potenziale di un corpo elastico tridimensionale in un opportuno spazio funzionale delle configurazioni, e sono state esaminate le proprietà di regolarità di questo funzionale. Proseguendo il programma formulato nel lavoro precedente, viene ora innanzitutto completato lo studio del funzionale energia potenziale con riferimento a modelli strutturali mono e bidimensionali. Viene poi sviluppata la Parte II e cioè l'analisi della stabilità secondo Liapunov di una configurazione di equilibrio attraverso opportune formulazioni dei criteri dell'energia.

     

Constitutive equation and compatibility of the external loads for linear elastic masonry-like materials

Summary The first part of the paper is devoted to the motivation of the constitutive equation of the masonry-like material. It is proved that this equation is the result of three fundamental constitutive assumptions: infinitesimal elasticity, no tensile strength, and a postulate of normality. A necessary and sufficient condition for the existence of a strain energy function is also supplied.In the second part are examined some necessary conditions for equilibrium in the absence of tensile strength. As a consequence of them it is shown that, under some particular loads, a body can be decomposed into separate, self-equilibrated subbodies. This property, which has no counterpart in ordinary elastic bodies, is used to explain some peculiar behaviours of masonry structures.

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Sommario La prima parte del lavoro è dedicata alla ricerca di una soddisfacente motivazione dell'equazione costitutiva comunemente usata per i solidi murari. Si dimostra che essa è il risultato di tre ipotesi costitutive: elasticità infinitesima, non resistenza a trazione, e un postulato di normalità. Viene inoltre data una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una energia di deformazione. Nella seconda parte si esaminano alcune condizioni necessarie per l'equilibrio, in assenza di resistenza a trazione. Si dimostra che, sotto particolari condizioni di carico, un corpo continuo può essere decomposto in sottocorpi autoequilibrati. Questa proprietà, che non trova riscontro negli ordinari solidi elastici, spiega alcuni comportamenti tipici dei materiali non resistenti a trazione.